2021高考數學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第2節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件教學案 理 北師大版

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1、第二節(jié)　命題及其關系、充分條件與必要條件 [最新考綱]　1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義． 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其相互關系 (1)四種命題間的相互關系 (2)四種命題的真假關系 ①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 3．充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，

2、則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且qp p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp 1．在四種形式的命題中，真命題的個數只能為0,2,4. 2．p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條 件．其他情況依次類推． 3．集合與充要條件：設p，q成立的對象構成的集合分別為A，B，p是q的充分不必要條件?AB；p是q的必要不充分條件?AB；p是q的充要條件?A＝B. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命題．(　

3、　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) (3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．下列命題是真命題的是(　　) A．矩形的對角線相等 B．若a＞b，c＞d，則ac＞bd C．若整數a是素數，則a是奇數 D．命題“若x2＞0, 則x＞1”的逆否命題 A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，則ac＜bd，故B錯誤；當a＝2時，a是素數但不是奇數，故C錯誤；取x＝－1，則x2＞0，但x＜1，故D錯誤．]

4、 2．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是(　　) A．“若x＜y，則x2＜y2”　 B．“若x＞y，則x2＞y2” C．“若x≤y，則x2≤y2” D．“若x≥y，則x2≥y2” C　[根據原命題和逆否命題的條件和結論的關系得命題“若x2＞ y2，則x＞y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．故選C.] 3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.]

5、 4．命題“若α＝，則sin α＝”的逆命題為________命題，否命題為________命題．(填“真”或“假”) 假　假　[若α＝，則sin α＝的逆命題為“若sin α＝，則α＝”是假命題；否命題為“若α≠，則sin α≠”是假命題．] 考點1　命題及其關系 　判斷命題真假的2種方法 (1)直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可． (2)間接判斷：當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假． 　1.下列命題是真命題的是(　　) A．若＝，則x＝y　　　 B．若x2＝1，則x＝1 C．若x＝y

6、，則＝ D．若x＜y，則x2＜y2 [答案]　A 2．下列命題中的真命題是(　　) ①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題； ②“正多邊形都相似”的逆命題； ③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題； ④“若x＝3，則x是無理數”的逆否命題． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ B　[①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”，是真命題；②“正多邊形都相似”的逆命題是“相似的多邊形是正多邊形”，為假命題；③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實根”是真命題，故其逆否命題也是真命題；④“若x＝3，則x是無理

7、數”是真命題，故其逆否命題也是真命題．故選B.] 3．已知命題α：如果x＜3，那么x＜5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如果x≥5，那么x≥3.關于這三個命題之間的關系中，下列說法正確的有________．(填序號) ①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題； ②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題； ③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題． ①③　[本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結論互換，否命題是把原命題的條件和結論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結論先都否定然后互換所得，故①正確，②錯誤，③正確．] 4．

8、設m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是________． 若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0　[m∈R是大前提，故該命題的逆否命題為“若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0.”] 　四種命題的3個處理技巧 (1)要分清原命題的條件與結論．當原命題有大前提時，它的其他三種命題要保持大前提不變，只需改變小前提和結論．如T4. (2)根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假． (3)判斷一個命題是真命題，要給出推理證明；判斷一個命題為假命題可舉反例． 考點2　充分、

9、必要條件的判定 　充分條件和必要條件的3種判斷方法 (1)定義法：可按照以下三個步驟進行 ①確定條件p是什么，結論q是什么； ②嘗試由條件p推結論q，由結論q推條件p； ③確定條件p和結論q的關系． (2)等價轉化法：對于含否定形式的命題，如綈p是綈q的什么條 件，利用原命題與逆否命題的等價性，可轉化為求q是p的什么條件． (3)集合法：根據p，q成立時對應的集合之間的包含關系進行判斷． 　(1)(2019·浙江高考)設a＞0，b＞0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (

10、2)(2019·天津高考)設x∈R，則“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (3)(2019·北京高考)設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|＋|＞||”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)A　(2)B　(3)C　[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；當a＝4，b＝1時，滿足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不滿足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab

11、≤4”的充分不必要條件，選A. (2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，記A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，記B＝{x|0＜x＜2}，顯然BA， ∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分條件，故選B. (3)|＋|＞||?|＋|＞|－|?2＋2＋2·＞2＋2－2·?·＞0，由點A，B，C不共線，得〈，〉∈，故·＞0?，的夾角為銳角．故選C.] [逆向問題]　(2019·湘東五校聯考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是(　　) A．m＞ B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1 C　[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ

12、＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此當不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時，必有m＞0，但當m＞0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0.] 　判斷充要條件需注意3點 (1)要分清條件與結論分別是什么． (2)要從充分性、必要性兩個方面進行判斷． (3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明． 　1.已知x∈R，則“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的(　　) A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 B　[x2－5x－6＝0?x＝－1或x＝6， ∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不

13、出x＝－1， ∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要條件，故選B.] 2．給定兩個命題p，q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈 q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[因為綈p是q的必要不充分條件，所以q?綈p，但綈p q，其等價于p?綈q，但綈qp，故選A.] 3．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的(　　) A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充

14、分條件 D　[非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分條件．] 考點3　充分條件、必要條件的應用 　根據充要條件求參數值(或范圍)的方法是先把充要條件轉化為集合之間的關系，再根據集合的關系列出關于參數的不等式(組)求解． 　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________． [0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 又S為非空集合， 則 ∴0≤m≤3. 即所求m的取值范圍是

15、[0,3]．] [母題探究]　把本例中的“必要條件”改為“充分條件”，求m的取值范圍． [解]　由x∈P是x∈S的充分條件，知P?S，則 解得m≥9， 即所求m的取值范圍是[9，＋∞)． 　利用充要條件求參數的2個關注點 (1)巧用轉化求參數：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解． (2)端點取值慎取舍：在求參數范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍． 提醒：含有參數的問題，要注意分類討論． 　設n∈N＋，則一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數根的充要條件是n＝________. 3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，則n＝1,2,3,4. 當n＝1,2時，方程沒有整數根； 當n＝3時，方程有整數根1,3， 當n＝4時，方程有整數根2. 綜上可知，n＝3或4.] 7