2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第3節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題教學案 文 北師大版

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1、第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [最新考綱]　1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． (對應學生用書第113頁) 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C>0 直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.線性規(guī)劃中的相關概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組

2、成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 目標函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 線性目標函數(shù) 關于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 1．確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法 把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示為y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，則平面區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，則平面區(qū)域為直線Ax＋By

3、＋C＝0的下方． 2．點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方． (　　) (2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一． (　　) (3)線性目標函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上． (　　) (4)目標函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－

4、z＝0在y軸上的截距． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) C　[x－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方的平面區(qū)域，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方的平面區(qū)域，故選C.] 2．不等式2x－y＋6＞0表示的區(qū)域在直線2x－y＋6＝0的(　　) A．右上方　　 B．右下方 C．左上方 D．左下方 B　[不等式2x－y＋6＞0可化為y＜2x＋6，結合直線2x－y＋6＝0的位置可知，選B.] 3．投資生產A產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產B產品時

5、，每生產100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為________．(用x，y分別表示生產A，B產品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸) 　[由題意知，x，y滿足的關系式為] 4．設x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 3　[根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z. 作出直線y＝－x，并平移該直線， 當直線y＝－x＋z過點A時，目標函數(shù)取得最大值． 由圖知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.] (對應學生用書第114頁) ⊙考點1　二元一次不等式(

6、組)表示的平面區(qū)域 　 1．求平面區(qū)域面積的方法 (1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域； (2)對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和． 2．根據(jù)平面區(qū)域確定參數(shù)的方法 在含有參數(shù)的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問題中，首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好，然后用數(shù)形結合的方法根據(jù)參數(shù)的不同取值情況畫圖觀察區(qū)域的形狀，根據(jù)求解要求確定問題的答案． (1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為____

7、____． (2)已知關于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為3，則實數(shù)k的值為________． (1)1　(2)　[(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求平面區(qū)域的面積． 求出點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. (2)直線kx－y＋2＝0恒過點(0,2)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由題意知 ×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.] 　解答本例T(2)時，直線kx－y＋2＝0恒過定點(0,2)是解題的關

8、鍵． 　1.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. C　[由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，A，B(1,1)，C(0,4)，則△ABC的面積為×1×＝.故選C.] 2．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　) A．a<5 B．a≥7 C．5≤a<7 D．a<5或a≥7 C　[如圖，當直線y＝a位于直線y＝5和y＝7之間(不含y＝7)時滿足條件，故選C. ] 3．點(－2，t)在直線2x－3y＋6＝0的上方，則t的取值范圍是________． 　[直線2x－3y＋6＝0上方的點滿足不等式y(tǒng)＞

9、x＋2，∴t＞×(－2)＋2，即t＞.] ⊙考點2　求目標函數(shù)的最值問題 　求線性目標函數(shù)的最值 　求線性目標函數(shù)最值的一般步驟 (1)(2019·全國卷Ⅱ)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最大值是________． (2)(2018·北京高考)若x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是________． (1)9　(2)3　[(1)作出已知約束條件對應的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當直線y＝3x－z過點C時，－z最小，即z最大． 由 解得 即C點坐標為(3,0)， 故zmax＝3×3－0＝9. (2)x＋1≤y≤2x可化為其表示的平面區(qū)域如

10、圖中陰影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在點A(1，2)處取得最小值，最小值為3. ] 　解答本例T(2)時，首先要把約束條件變?yōu)槠浯卧O目標函數(shù)為z＝2y－x. [教師備選例題] 　(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為______． 9　[畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標函數(shù)z＝x＋y可化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x，并平移，當平移后的直線經(jīng)過點B時，z取得最大值．聯(lián)立，得解得所以B(5,4)，故zmax＝5＋4＝9. ] 　求非線性目標函數(shù)的最值 　常見的兩種非線性目標函數(shù)及其意義 (1)點到點的距離型：形如z＝(x－a)2＋(y

11、－b)2，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方； (2)斜率型：形如z＝，表示區(qū)域內的動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率． 　實數(shù)x，y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍． [解]　由作出可行域， 如圖中陰影部分所示． (1)z＝表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率． 因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)． 由得B(1,2)， 所以kOB＝＝2，即zmin＝2， 所以z的取值范圍是[2，＋∞)． (2)z＝x

12、2＋y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方． 因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2. 由得A(0,1)， 所以OA2＝()2＝1， OB2＝()2＝5， 所以z的取值范圍是[1,5]． [母題探究] 1．保持本例條件不變，求目標函數(shù)z＝的取值范圍． [解]　z＝可以看作過點P(1,1)及(x，y)兩點的直線的斜率，所以z的取值范圍是(－∞，0]． 2．保持本例條件不變，求目標函數(shù)z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值． [解]　z＝x2＋y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1， 而(x－1)2＋(y－1)2表示點P(1,1)與Q(x，

13、y)的距離的平方PQ2， PQ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， PQ＝＝， 所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝. 　求定點到區(qū)域內動點的距離的最小值時，要數(shù)形結合，可能轉化為點到直線的距離問題． 　線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 　求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法 (1)把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍． (2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)． (1)若實數(shù)x，y滿足約束條件目標函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，

14、則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－6,2] B．(－6,2) C．[－3,1] D．(－3,1) (2)若實數(shù)x，y滿足不等式組其中m＞0，且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝________. (1)B　(2)1　[(1)作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示． 將z＝ax＋2y化成y＝－x＋，當－1＜－＜3時，直線y＝－x＋的縱截距僅在點(1,0)處取得最小值，即目標函數(shù)z＝ax＋2y在點(1,0)處取得最小值，解得－6＜a＜2，故選B. (2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設z＝x＋y，則y＝－x＋z，當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A時，x＋y有最大值，此時x＋y＝9，

15、由得A(4,5)，將A(4,5)代入x－my＋1＝0得4－5m＋1＝0，解得m＝1.] 　當參數(shù)在目標函數(shù)中時，應把斜率值的大小對最優(yōu)解的影響作為解題突破口． 　1.(2019·北京高考)若x，y滿足則y－x的最小值為________，最大值為________． －3　1　[x，y滿足的平面區(qū)域如圖所示． 設z＝y(tǒng)－x， 則y＝x＋z. 把z看作常數(shù)，則目標函數(shù)是可平行移動的直線，z的幾何意義是直線y＝x＋z的縱截距，通過圖像可知，當直線y＝x＋z經(jīng)過點A(2,3)時，z取得最大值，此時zmax＝3－2＝1. 當經(jīng)過點B(2，－1)時，z取得最小值，此時zmin＝－1－2＝－3.

16、] 2．若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為________． －　[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因為表示平面區(qū)域內的點與定點P(0,1)連線的斜率．由圖知，點P與點A連線的斜率最小，所以min＝kPA＝＝－.] 3．已知x，y滿足約束條件且z＝x＋3y的最小值為2，則常數(shù)k＝________. －2　[作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由z＝x＋3y得y＝－x＋，結合圖形可知當直線y＝－x＋過點A時，z最小， 聯(lián)立方程，得得A(2，－2－k)， 此時zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.] ⊙考點3　線性規(guī)劃的實際應用 　解線性規(guī)

17、劃應用問題的一般步驟 (1)審題：仔細閱讀材料，抓住關鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系． (2)設元：設問題中起關鍵作用(或關聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應的不等式組和目標函數(shù)． (3)作圖：準確作出可行域，平移找點(最優(yōu)解)． (4)求解：代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值)． (5)檢驗：根據(jù)結果，檢驗反饋． 　(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時長(分鐘) 廣告播放時長(分鐘) 收視

18、人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學關系式， 并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ [解](1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分中的整數(shù)點． (2)設總收視人次為z萬，則目標函數(shù)為z＝60x＋25y

19、. 考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一組平行直線.為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大． 又因為x，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得則點M的坐標為(6,3)． 所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多． 　本例中x，y∈N，因此二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是整數(shù)點組成的． 　某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產品都需要在A，B兩種設備上加工，生產一件甲產品需用A設備2小時，B設備6小時；生產一件乙產品需用A設備3小時，B設備1小時．A，B兩種設備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產的產品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為(　　) A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 B　[設生產甲產品x件，生產乙產品y件，利潤為z千元，則z＝2x＋y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示， 作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線經(jīng)過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150,60)時，z取得最大值，為360.] - 10 -