2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講　合情推理與演繹推理教案 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第1講　合情推理與演繹推理教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 1．從近年來(lái)的新課標(biāo)高考來(lái)看，高考對(duì)本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，試題的難度以低、中檔題為主． 2．演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，要注意做好以下兩點(diǎn)：一要聯(lián)系具體實(shí)例，體會(huì)和領(lǐng)悟歸納推理、類比推理、演繹推理的原理、內(nèi)涵及特點(diǎn)，并會(huì)用這些方法分析、解決具體問(wèn)題．二由于歸納、類比、演繹推理思維方式貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)知識(shí)體系

2、，所以復(fù)習(xí)時(shí)要有意識(shí)地培養(yǎng)邏輯分析等方面的訓(xùn)練． 基礎(chǔ)梳理 1．合情推理 (1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理． (2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．

3、 2．演繹推理 (1)演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷． 一條規(guī)律 在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． 兩個(gè)防范 (1)合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明． (2)演繹推理是由一般到特殊的推

4、理，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)． A．28 B．32 C．33 D．27 解析　從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，所以x＝20＋12＝32. 答案　B 2．某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是(　　)． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析　由題干圖知，圖形是三白二黑

5、的圓周而復(fù)始相繼排列，是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列，因?yàn)?6÷5＝7余1，所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同，即白色． 答案　A 3．給出下列三個(gè)類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　③正確． 答案　B

6、4．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于(　　)． A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 解析　“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷?shí)數(shù)a的取值范圍沒(méi)有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的． 答案　A 5．(xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0) 觀察：f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝，…… 根據(jù)以上事

7、實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析　根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝. 答案　. 考向一　歸納推理 【例1】?觀察下列等式： 可以推測(cè)：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)． [審題視點(diǎn)] 第二列的右端分別是12,32,62,102,152，與第一列比較可得． 解析　第二列等式的右端分別是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,

8、15，…第n項(xiàng)an與第n－1項(xiàng)an－1(n≥2)的差為：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，各式相加得， an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝，∴a＝n2(n＋1)2. 答案　n2(n＋1)2 所謂歸納，就是由特殊到一般，因此在歸納時(shí)就要分析所給條件之間的變化規(guī)律，從而得到一般結(jié)論． 【訓(xùn)練1】 已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請(qǐng)寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式________． 解析　觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個(gè)

9、根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，n∈R＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋＜2. 答案　若m，n∈R＋，則當(dāng)m＋n＝20時(shí)，有＋＜2 考向二　類比推理 【例2】?在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為________”． [審題視點(diǎn)] 注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論． 解析　三角形的面積類比為四

10、面體的體積，三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑．二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案　V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. (1)類比是從已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測(cè)正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；(3)類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能． 【訓(xùn)練2】 已知命題：“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，n∈N*)，則am＋n＝”．現(xiàn)已知數(shù)列{bn}(bn＞0，n∈N*)

11、為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，若類比上述結(jié)論，則可得到bm＋n＝________. 答案　a· 考向三　演繹推理 【例3】?數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. [審題視點(diǎn)] 在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成．大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi)，小前提有時(shí)也可以省略，而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式． 證明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1

12、)Sn. ∴＝2·，(小前提) 故是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件) 演繹推理是從一般到特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略． 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)

13、f(x)＝(x∈R)． (1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)判定函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，并證明． 解　(1)對(duì)?x∈R有－x∈R，并且f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)法一　f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下： 任取x1，x2∈R，并且x1＞x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0， 即2x1－2x2＞0，又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0. ∴＞0. ∴f(x1)＞f(x2)． ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)． 法二　f′(x)＝＞0 ∴f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)． 難點(diǎn)突破25—

14、—高考中歸納推理與類比推理問(wèn)題的求解策略 從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出高考對(duì)歸納推理與類比推理的考查主要以填空題的形式出現(xiàn)，難度為中等，常常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等為載體來(lái)考查歸納推理與類比推理． 一、歸納推理 【示例】? (xx·陜西)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為________． 二、類比推理 【示例】? 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，______，成等比數(shù)列．