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1、2022年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理(含解析)
1.(xx山東,12分)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(-1)n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解:(1)因為S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,
由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.
當n為偶數(shù)時,
Tn=-+…+-=1-=.
當n為奇數(shù)時,
2、
Tn=-+…-+=1+=.
所以Tn=
2.(xx浙江,14分)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2.
(1)求an與bn;
(2)設cn=-(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn.
①求Sn;
②求正整數(shù)k,使得對任意n∈N*,均有Sk≥Sn.
解:(1)由題意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,
知a3=()b3-b2=8.
又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),
所以數(shù)列{an}的通項為an=2n(n∈N*).
所以a1a2a3…an=2=()n(n+1).
3、
故數(shù)列{bn}的通項為bn=n(n+1)(n∈N*).
(2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),
所以Sn=++…+-=1--=-(n∈N*).
②因為c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;
當n≥5時,
cn=,
而-=>0,
得≤<1,
所以,當n≥5時,cn<0.
綜上,對任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.
3.(xx江西,12分)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*),滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求數(shù)列{cn}的通項公式;
(2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
4、解析:(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),
所以-=2,即cn+1-cn=2.
所以數(shù)列{cn}是以首項c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是數(shù)列{an}前n項和
Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,
相減得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
4.(xx四川,
5、12分)設等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項和Tn.
解:(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,
有2a8=4×2a7=2a7+2,
解得d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為
y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),
它在
6、x軸上的截距為a2-.
由題意知,a2-=2-,
解得a2=2.
所以d=a2-a1=1.
從而an=n,bn=2n,
所以Tn=+++…++,
2Tn=+++…+.
因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.
所以Tn=.
5.(xx福建,5分)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,記bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*),則以下結(jié)論一定正確的是( )
A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qm
B.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2m
C.數(shù)列{cn}為等
7、比數(shù)列,公比為qm2
D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為qmm
解析:本題考查等比數(shù)列的定義與通項公式、等差數(shù)列前n項和的公式等基礎知識,意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應用能力和運算求解能力.等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1,所以cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m=a1qm(n-1)·a1qm(n-1)+1·…·a1qm(n-1)+m-1=aqm(n-1)+m(n-1)+1+…+m(n-1)+m-1=aqm2(n-1)+=aqm2(n-1)+,因為==qm2,所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為qm2.
答案:C
6.(xx重慶,5分)已
8、知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=________.
解析:本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運算,意在考查考生的基本運算能力.因為{an}為等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2a1=2,所以S8=64.
答案:64
7.(xx江蘇,16分)設{an}是首項為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項的和.記bn=,n∈N*,其中 c為實數(shù).
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:
9、c=0.
證明:本題考查等差、等比數(shù)列的定義,通項及前n項和,意在考查考生分析問題、解決問題的能力與推理論證能力.
由題設,Sn=na+d.
(1)由c=0,得bn==a+d.又b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b=b1b4,即2=a,化簡得d2-2ad=0.因為d≠0,所以d=2a.
因此,對于所有的m∈N*,有Sm=m2a.
從而對于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
(2)設數(shù)列{bn}的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表達式,整理得,對于所有的n∈N*,有
n3+n2+cd1n=c(d1
10、-b1).
令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),則對于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)
在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得
A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,
從而有
由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,從而cd1=0.
即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.
若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設矛盾,所以d1≠0.
又cd1=0,所以c=0.
8.(xx浙江,14分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2
11、a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2) 若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解:本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念,等差數(shù)列通項公式,求和公式等基礎知識,同時考查運算求解能力.
(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,
即d2-3d-4=0.
故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.則
當n≤11時,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
當n≥12時,|a1|+|a2|+|
12、a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
綜上所述,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
9.(xx四川,12分)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和.
解:本題考查等差數(shù)列、等比中項等基礎知識,考查運算求解能力,考查分類與整合等數(shù)學思想.設該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).
所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,
解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為
13、3.
所以,數(shù)列的前n項和Sn=4n或Sn=.
10.(xx湖南,5分)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,則
(1)a3=________;
(2)S1+S2+…+S100=________.
解析:本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識,考查推理論證能力及分類討論思想.
(1)當n=1時,S1=(-1)a1-,得a1=-.
當n≥2時,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-.當n為偶數(shù)時,Sn-1=-,當n為奇數(shù)時,Sn=Sn-1-,從而S1=-,S3=-,又由S3=S2-=-,得S2=0,則S3=S2+a3=a3=-.
(2)由(1
14、)得S1+S3+S5+…+S99=----…-,S101=-,
又S2+S4+S6+…+S100=2S3++2S5++2S7++…+2S101+=0,故S1+S2+…+S100=.
答案:-
11.(xx湖南,13分)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.
(1)求a1,a2,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和.
解:本題主要考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想,意在考查考生的運算求解能力.
(1)令n=1,得2a1-a1=a,即a1=a.
因為a1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=
15、S2=1+a2,解得a2=2.
當n≥2時,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1兩式相減得2an-2an-1=an,
即an=2an-1.
于是數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.因此,an=2n-1.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
(2)由(1)知,nan=n·2n-1.
記數(shù)列{n·2n-1}的前n項和為Bn,于是
Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
①-②得
-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n
=2n-1-n·2n.
從而Bn=1+(n-1)·2n.
1
16、2.(xx江西,12分)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前項n項和為Tn.證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.
解:本題主要考查求一類特殊數(shù)列的和,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想及運算求解能力.
(1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.
由于{an}是正項數(shù)列,所以Sn>0,Sn=n2+n.
于是a1=S1=2,n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.
綜上,數(shù)列{a
17、n}的通項公式為an=2n.
(2)證明:由于an=2n,故bn===.
Tn=
=
<=.
13.(xx山東,12分)在等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
解:(1)因為{an}是一個等差數(shù)列,
所以a3+a4+a5=3a4=84,a4=28.
設數(shù)列{an}的公差為d,
則5d=a9-a4=73-28=45,
故d=9.
由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.
所以an=a1
18、+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*).
(2)對m∈N*,若9m