2022年高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 第4講 定積分與微積分基本定理習題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 第4講 定積分與微積分基本定理習題 理 新人教A版 一、選擇題 1.(xx·西安調(diào)研)定積分(2x＋ex)dx的值為(　　) A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1 解析　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故選C. 答案　C 2.直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 解析　如圖，y＝4x與y＝x3的交點A(2，8)，圖中陰影部分即為所求圖形面積. S陰＝(4x－x3)dx＝＝8－×24＝4，故選D. 答案　D

2、3.從空中自由下落的一物體，在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒末物體落地，已知自由落體的運動速度為v＝gt(g為常數(shù))，則電視塔高為(　　) A.g B.g C.g D.2g 解析　電視塔高h＝gtdt＝＝g. 答案　C 4.(xx·河北五校聯(lián)考)若f(x)＝f(f(1))＝1，則a的值為(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 解析　因為f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝ ＝a3，由f(f(1))＝1，得a3＝1，a＝1. 答案　A 5.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關系為(　　) A.S1

3、 B.S20，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 解析　封閉圖形如圖所示， 則dx＝＝a－0＝a2，解得a＝. 答案　 7.汽車以v＝3t＋2 (單位：m/s)作變速直線運動時，在第1 s至第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是________ m. 解析　陰影部分面積S＝

4、(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝ (m). 答案　6.5 8.(xx·福建卷)如圖，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(2，4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________. 解析　陰影部分面積S＝(4－x2)dx＝＝，∴所求概率P＝＝＝. 答案　 三、解答題 9.求曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x圍成的圖形的面積. 解　作出曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x的圖象，所求面積為圖中陰影部分的面積. 解方程組得交點(1，1)， 解方程組得交點(3，9)， 因此，所求圖形的面積為 S＝(3x－x)dx＋

5、(3x－x2)dx ＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2 ＝1＋－＝. 10.(xx·陜西卷改編)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，試求原始的最大流量與當前最大流量的比值. 解　建立如圖所示的直角坐標系，可設拋物線的方程為x2＝2py(p＞0)，由圖易知(5，2)在拋物線上，可得p＝，拋物線方程為x2＝y(tǒng)， 所以當前最大流量對應的截面面積為2dx＝，原始的最大流量對應的截面面積為＝16.所以原始的最大流量與當前最大流量的比值為＝1.2. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則

6、f(x)dx＝(　　) A.－1 B.－ C. D.1 解析　由題意知f(x)＝x2＋2f(x)dx， 設m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m， f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝ ＝＋2m＝m，∴m＝－. 答案　B 12.已知函數(shù)f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸是(　　) A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 解析　由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0， 即－cos (x－φ)＝0，∴－cos＋cos φ＝0， ∴cos φ－sin φ＝0，∴cos＝0， ∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)

7、，解得φ＝kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)＝sin ，由x－kπ－＝k′π＋ 得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故選A. 答案　A 13. (xx·乳山一中模擬)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)： ①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2. 其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是________(填序號). 解析?、僦衒(x)g(x)dx＝dx ＝dx＝0； ②中f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)d

8、x＝(x2－1)dx＝)＝－≠0； ③中f(x)·g(x)＝x3為奇函數(shù)，在[－1，1]上的積分為0，故①③滿足條件. 答案?、佗? 14.在區(qū)間[0，1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值. 解　S1面積等于邊長分別為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形邊長分別為t2，1－t面積，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以陰影部分的面積S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0時，S(t)＝；t＝時，S(t)＝；t＝1時，S(t)＝.所以當t＝時，S(t)最小，且最小值為.