2021版高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6講 離散型隨機變量及其分布列教學案 理 北師大版

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1、第6講　離散型隨機變量及其分布列 一、知識梳理 1．隨機變量的有關(guān)概念 (1)隨機變量：將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應于一個數(shù)，這種對應稱為一個隨機變量，通常用大寫的英文字母如X，Y來表示． (2)離散型隨機變量：隨機變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量． 2．離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì) (1)概念：設離散型隨機變量X的取值為a1，a2，…，隨機變量X取ai的概率為pi(i＝1，2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1，2，…)，或把上式列成表： X＝ai a1 a2 … P(X＝ai) p1 p2

2、 … 稱為離散型隨機變量X的分布列，并記為X～. (2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) ①pi＞0(i＝1，2，…)； ②p1＋p2＋…＝1． 3．超幾何分布 一般地，設有N件產(chǎn)品，其中M(M≤N)件次品，從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝(其中k為非負整數(shù))． 如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． 常用結(jié)論 1．隨機變量的線性關(guān)系 若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機變量． 2．分布列性質(zhì)的兩個作用 (1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值． (2)隨機

3、變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率． 二、教材衍化 1．設隨機變量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p＝________． 解析：由分布列的性質(zhì)知，＋＋＋＋p＝1， 所以p＝1－＝. 答案： 2．有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________． 解析：因為次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0，1，2，3. 答案：0，1，2，3 3．設隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P m

4、 則P(|X－3|＝1)＝________． 解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4) ＝＋＝. 答案： 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映射為實數(shù)．(　　) (2)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．(　　) (3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (4)離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．(　　) (5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何

5、分布．(　　) (6)由下表給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布．(　　) X 2 5 P 0.3 0.7 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 二、易錯糾偏 (1)隨機變量的概念不清； (2)超幾何分布類型掌握不準； (3)分布列的性質(zhì)不清致誤． 1．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是(　　) A．至少取到1個白球　　　　 B．至多取到1個白球 C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù) 解析：選C.A，B兩項表述的都是隨機事件，D項是確定的值2，并不隨機；C項是隨機變量，可能取值為0，1，2.故選C.

6、 2．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)＝________． 解析：{X＝4}表示從盒中取了2個舊球，1個新球，故P(X＝4)＝＝. 答案： 3．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝________． 解析：由已知得X的所有可能取值為0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝. 答案： 　　　　　　離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(典例遷移) 設離散型隨機變量X的分布列為

7、 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)P(1＜X≤4)． 【解】　由分布列的性質(zhì)知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7. 【遷移探究】　(變問法)在本例條件下，求|X－1|的分布列． 解：|X－1|的分布列： |X－1| 0 1

8、2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用 (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負值． (2)若X為隨機變量，則2X＋1仍然為隨機變量，求其分布列時可先求出相應的隨機變量的值，再根據(jù)對應的概率寫出分布列．　 1．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為 X －1 0 1 P 2－3q q2 則q的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 B．± C.－ D．＋ 解析：選C.由分布列的性質(zhì)知 解得q＝－. 2．離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝

9、(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P(

10、． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列． 【解】　(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝. (2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 【遷移探究1】　(變問法)若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù)，求X的分布列． 解：由題意可知X的取值為1，2，3，

11、4，5，則 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 因此X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P 【遷移探究2】　(變問法)若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差，求X的分布列． 解：由題意可知X的取值為3，1，－1，－3，－5， 則P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝－1)＝＝，P(X＝－3)＝＝， P(X＝－5)＝＝. 因此X的分布列為 X 3 1 －1 －3 －5 P (1)超幾何分布描述的是不放回

12、抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)． (2)超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布． (3)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．　 　(2020·鄭州模擬)為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機在高考期間至少進行一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機，他們進行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示． (1)求該出租車公司的司機進行“愛心送考”的人均次數(shù)； (2)從這200名司機中任選兩人，設這兩人進行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機變量X，求X的分布列． 解：

13、(1)由統(tǒng)計圖得200名司機中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，所以該出租車公司的司機進行“愛心送考”的人均次數(shù)為＝2.3. (2)從該公司任選兩名司機，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次”為事件A，“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次”為事件B， “這兩人中一人送考1次，另一人送考3次”為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D， 由題意知X的所有可能取值為0，1，2， P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝， P(X＝2)＝P(C)＝＝， P(X＝0)＝P(D)＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P

14、 　　　　　　求離散型隨機變量的分布列(師生共研) (2020·安陽模擬)某公司為了準確把握市場，做好產(chǎn)品計劃，特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查：先銷售該產(chǎn)品50天，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x分布在[50，100)內(nèi)，且銷售量x的分布頻率 f(x)＝ (1)求a的值并估計銷售量的平均數(shù)； (2)若銷售量大于或等于70，則稱該日暢銷，其余為滯銷．在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機抽取8天，再從這8天中隨機抽取3天進行統(tǒng)計，設這3天來自X個組，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望(將頻率視為概率)． 【解】　(1)由題意知 解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9， 結(jié)合f(x)＝ 得＋＋＋＋＝1，則

15、a＝0.15. 可知銷售量分別在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)內(nèi)的頻率分別是0.1，0.1，0.2，0.3，0.3， 所以銷售量的平均數(shù)為55×0.1＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.3＝81. (2)銷售量分布在[70，80)，[80，90)，[90，100)內(nèi)的頻率之比為2∶3∶3，所以在各組抽取的天數(shù)分別為2，3，3. X的所有可能取值為1，2，3， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝2)＝1－－＝. X的分布列為 X 1 2 3 P 數(shù)學期望EX＝1×＋2

16、×＋3×＝. 求離散型隨機變量X的分布列的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值； (2)求X取每個值的概率； (3)寫出X的分布列．求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識．　 　為了減少霧霾，還城市一片藍天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策，鼓勵民眾不開車低碳出行．市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示： (1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x； (2)現(xiàn)從圖中的

17、數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列． 解：(1)由題意知 ＝122，解得x＝8. (2)由題得ξ1的所有可能取值為0，1，2，ξ2的所有可能取值為0，1，2，因為η＝ξ1＋ξ2，所以隨機變量η的所有可能取值為0，1，2，3，4. 因為甲單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4，所以 P(η＝0)＝＝； P(η＝1)＝＝； P(η＝2)＝＝； P(η＝3)＝＝； P(η＝4)＝＝. 所以η的分布列為

18、 η 0 1 2 3 4 P [基礎題組練] 1．(2020·河北保定模擬)若離散型隨機變量X的分布列如下表，則常數(shù)c的值為(　　) X 0 1 P 9c2－c 3－8c A.或　　　　　　 B． C. D．1 解析：選C.由隨機變量的分布列的性質(zhì)知，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，9c2－c＋3－8c＝1，解得c＝.故選C. 2．(2020·陜西咸陽模擬)設隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值為(　　) A. B． C. D． 解析：選D.因為隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝

19、k)＝a，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故選D. 3．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：選C.X服從超幾何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故選C. 4．一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(　　) A. ξ 1 2 3 P

20、 B. ξ 1 2 3 4 P C. ξ 1 2 3 P D. ξ 1 2 3 P 解析：選C.隨機變量ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故選C. 5．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：選B.設10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因為次品率不超過4

21、0%，所以x＝2，所以次品率為＝20%. 6．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________． 解析：由題意知，X服從超幾何分布， 其中N＝10，M＝3，n＝4， 故P(X＝2)＝＝. 答案： 7．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是________． 解析：設所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布， 則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 答案： 8．隨機變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)

22、＝________，公差d的取值范圍是________． 解析：因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，所以b＝， 所以P(|X|＝1)＝a＋c＝. 又a＝－d，c＝＋d， 根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤－d≤，0≤＋d≤， 所以－≤d≤. 答案：　[－，] 9．(2020·宿州模擬)某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2020年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動．為設計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學生征集活動方案，該中學某班數(shù)學興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成

23、64個相同的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η. (1)求P(ξ＝3)． (2)凡是元旦當天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎．記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎．求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數(shù)學期望． 解：(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色， 所以P(

24、ξ＝3)＝＝＝. (2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0， P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝， P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝， P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝， P(η＝0)＝1－－－＝. 所以η的分布列如下： η 50 30 10 0 P 所以Eη＝50×＋30×＋10×＋0×＝. 10．(2020·三明模擬)為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響民眾的身體健康，某地要求這種產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪苛刻的核輻射檢測，只有兩輪檢測都合格才能上市銷售，否則不能銷售．已知該產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第

25、二輪檢測不合格的概率為，每輪檢測結(jié)果只有“合格”、“不合格”兩種，且兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響． (1)求該產(chǎn)品不能上市銷售的概率； (2)如果這種產(chǎn)品可以上市銷售，則每件產(chǎn)品可獲利50元；如果這種產(chǎn)品不能上市銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利為－80元)．現(xiàn)有這種產(chǎn)品4件，記這4件產(chǎn)品獲利的金額為X元，求X的分布列． 解：(1)記“該產(chǎn)品不能上市銷售”為事件A， 則P(A)＝1－＝， 所以該產(chǎn)品不能上市銷售的概率為. (2)由已知可知X的取值為－320，－190，－60，70，200. P(X＝－320)＝C＝， P(X＝－190)＝C＝， P(X＝－60)＝C＝＝，

26、 P(X＝70)＝C＝， P(X＝200)＝C＝. 所以X的分布列為 X －320 －190 －60 70 200 P [綜合題組練] 1．(2020·唐山模擬)我國城市空氣污染指數(shù)范圍及相應的空氣質(zhì)量類別如下表： 空氣污染指數(shù) 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重污染 重污染 我們把空氣污染指數(shù)在0～100內(nèi)的稱為A類天，在101～200內(nèi)的稱為B類天，大于200的稱為C類天．某市從2014年全年

27、空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取了18天的數(shù)據(jù)制成如下莖葉圖(百位為莖)： (1)從這18天中任取3天，求至少含2個A類天的概率； (2)從這18天中任取3天，記X是達到A類天或B類天的天數(shù)，求X的分布列． 解：(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)為C＝816，3天中至少有2個A類天的取法種數(shù)為CC＋C＝46，所以這3天至少有2個A類天的概率為. (2)X的所有可能取值是3，2，1，0. 當X＝3時，P(X＝3)＝＝， 當X＝2時，P(X＝2)＝＝， 當X＝1時，P(X＝1)＝＝＝， 當X＝0時，P(X＝0)＝＝＝. 所以X的分布列為 X 3 2 1 0 P

28、 2.(2020·湖南邵陽聯(lián)考)為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織了“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與．志愿者的工作內(nèi)容有兩項：①到各班宣傳，倡議同學們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物．每位志愿者根據(jù)自身實際情況，只參與其中的某一項工作，相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示： 到班級宣傳 整理、打包衣物 總計 20人 30人 50人 (1)如果用分層抽樣的方法從這50名志愿者中抽取5人，再從這5人中隨機選2人，求至少有1人是參與班級宣傳的志愿者的概率； (2)若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿

29、者，用X表示女生人數(shù)，寫出隨機變量X的分布列及數(shù)學期望． 解：(1)用分層抽樣的方法，抽樣比是＝， 所以5人中參與班級宣傳的志愿者有20×＝2(人)， 參與整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)， 故所求概率P＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0，1，2， 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 所以X的數(shù)學期望EX＝0×＋1×＋2×＝. 3．(2020·安徽宿州三調(diào))為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，安徽省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標準：以一個年度

30、為計費周期、月度滾動使用．第一階梯：年用電量在2 160度以下(含2 160度)，執(zhí)行第一檔電價0.565 3元/度；第二階梯：年用電量在2 161度到4 200度內(nèi)(含4 200度)，超出2 160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.615 3元/度；第三階梯：年用電量在4 200度以上，超出4 200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.865 3元/度． 某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下： 用戶編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用電量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423

31、 2 815 3 325 4 411 4 600 (1)計算表中編號10的用戶該年應交的電費； (2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列與數(shù)學期望． 解：(1)因為第二檔電價比第一檔電價每度多0.05元， 第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元， 編號為10的用戶一年的用電量是4 600度， 所以該戶該年應交電費 4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)． (2)設取到第二階梯的戶數(shù)為X， 易知第二階梯的有4戶，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 故X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 18