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1、高考數(shù)學一輪總復習 必考解答題 模板成形練 數(shù)列 理 蘇教版
(建議用時：60分鐘)
1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝1－an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝logan，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證＜2.
解 (1)當n＝1時，2S1＝1－a1,2a1＝1－a1，∴a1＝；
當n≥2時，
兩式相減得2an＝an－1－an(n≥2)，
即3an＝an－1(n≥2)，又an－1≠0，∴＝(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
∴an＝·n－1＝n.
(2)由(1)知bn＝logn＝n，
∴Tn＝1＋2＋3＋…
2、＋n＝，
＝＋＋…＋
＝2
＝2＜2.
2．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)．
(1)求Sn；
(2)是否存在等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出數(shù)列{bn}的通項公式；若不存在，說明理由．
解 (1)因為Sn＝Sn－1＋2n，
所以有Sn－Sn－1＝2n對n≥2，n∈N*成立，
即an＝2n對n≥2成立，又a1＝2·1.
所以an＝2n對n∈N*成立．
所以an＋1－an＝2對n∈N*成立，所以{an}是等差數(shù)列，
所以有Sn＝·n＝n2＋n，n∈N*.
(2)存在．
由(1)，得
3、an＝2n，n∈N*成立，
所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，
所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，則＝＝3.
所以存在以b1＝2為首項，公比為3的等比數(shù)列{bn}，
其通項公式為bn＝2·3n－1.
3．已知數(shù)列{an}是首項a1＝1的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是首項b1＝2的等比數(shù)列，且b2S2＝16，b1b3＝b4.
(1)求an和bn；
(2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1,2,3，…)，求數(shù)列{cn}的前2n＋1項和T2n＋1.
解 (1)設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，
則an＝1＋(
4、n－1)d，bn＝2qn－1.
由b1b3＝b4，得q＝＝b1＝2，
由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2.
∴an＝2n－1，bn＝2n.
(2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2·b2)＋…＋a2n－1＋(a2n＋nbn)＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋…＋nbn)．
令A＝b1＋2b2＋…＋nbn，
則A＝2＋2·22＋…＋n·2n，
∴2A＝22＋2·23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
∴－A＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，
∴A＝n·2n＋1－2n＋1＋2.
又S2n＝＝4n2，
∴T2n＋1＝1＋4n2＋n·2n＋1－2
5、n＋1＋2
＝3＋4n2＋(n－1)2n＋1.
4．已知數(shù)列{an}滿足：an≠±1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝1－a，cn＝a－a(n∈N*)．
(1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}、{cn}的通項公式．
(2)是否存在數(shù)列{cn}的不同項ci，cj，ck(i＜j＜k)使之成為等差數(shù)列？若存在，請求出這樣的不同項ci，cj，ck(i＜j＜k)；若不存在，請說明理由．
(3)是否存在最小的自然數(shù)M，對一切n∈N*都有(n－2)cn＜M恒成立？若存在，求出M的值，若不存在，說明理由．
(1)證明 因為an≠±1，a1＝，3(1－a)＝2(1－a)，bn＝
6、1－a，
所以＝＝(n∈N*)，b1＝1－a＝，所以{bn}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以bn＝×n－1(n∈N*)，所以a＝1－bn＝1－×n－1(n∈N*)
所以cn＝a－a＝×n－1(n∈N*)
(2)解 假設存在cj，cj，ck(i＜j＜k)滿足題意，則有2cj＝ci＋ck代入得
2××j－1＝×i－1＋×k－1化簡得2j－i＋1＝3j－1＋2k＋j－i，
即2j－i＋1－2k＋j－i＝3j－1，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)不可能相等．
所以假設不成立，這樣的三項不存在．
(3)∵(n－2)cn－(n－1)cn＋1＝×n－1×，
∴(1－2)c1＜(2－2)c2＜(3－2)c3＜(4－2)c4，
(4－2)c4＝(5－2)c5，(5－2)c5＞(6－2)c6＞(7－2)c7＞……
即在數(shù)列{(n－2)cn}中，第4項和第5項是最大項，當n＝4時(n－2)cn＝2××3＝，
所以存在最小自然數(shù)M＝1符合題意．
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