2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練22 立體幾何 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練22 立體幾何 文 1．(xx·高考浙江卷)如圖，已知拋物線C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點(diǎn)． (1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)； (2)求△PAB的面積． 注：直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn)． 解：(1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為y＝k(x－t)． 由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0， 由于直線PA與拋物線相切Δ＝0，得k＝t. 因此，點(diǎn)A的坐

2、標(biāo)為(2t，t2)． 設(shè)圓C2的圓心為D(0,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)．由題意知：點(diǎn)B，O關(guān)于直線PD對稱，故 解得因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)． (2)由(1)知|AP|＝t·， 直線PA的方程為tx－y－t2＝0. 點(diǎn)B到直線PA的距離是d＝. 設(shè)△PAB的面積為S(t)，則S(t)＝|AP|·d＝. 2．(xx·廣東惠州調(diào)研)已知橢圓C過點(diǎn)M，點(diǎn)F(－，0)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一定點(diǎn)A. (1)解：設(shè)橢圓C的方程為 ＋＝1(a>b

3、>0)． 由已知，得解得 ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 可知|PF|＝ ＝ ＝2＋x1， 同理|QF|＝2＋x2， |MF|＝＝2＋. ∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2＝4＋(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2. ①當(dāng)x1≠x2時，由得 x－x＋2(y－y)＝0， ∴＝－·. 設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(1，n)，由kPQ＝＝－，得線段PQ的垂直平分線方程為y－n＝2n(x－1)，即(2x－1)n－y＝0，該直線恒過一定點(diǎn)A. ②當(dāng)x1＝x2時，P，Q或P，Q. 線段PQ的垂直平分線是x軸

4、，也過點(diǎn)A. 綜上，線段PQ的垂直平分線過定點(diǎn)A. 3.如圖，已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(diǎn)(2，)，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓E上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，kAC·kBD＝－. (1)求·的取值范圍； (2)求證：四邊形ABCD的面積為定值． 解：(1)得∴＋＝1. 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)lAB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2·＋km·＋m2＝. ∵kOA·kOB＝－?·＝－， ∴＝－·?m2

5、＝4k2＋2. ·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝2－， ∴－2≤·<2，當(dāng)k＝0時，·＝－2， 當(dāng)k不存在，即AB⊥x軸時，·＝2， ∴·的取值范圍是[－2,2]． (2)由題意知S四邊形ABCD＝4S△AOB. ∵S△AOB＝···＝2＝2， ∴S△四邊形ABCD＝8. 4．已知拋物線C：y＝2x2，直線l：y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (1)證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N？若存在，求k的值；若不存在，說明理由． (1)證法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2

6、)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝. ∵xN＝xM＝＝，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∵(2x2)′＝4x，∴(2x2)′|x＝＝k， 即拋物線在點(diǎn)N處的切線的斜率為k. ∵直線l：y＝kx＋2的斜率為k，∴切線平行于AB. 證法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中得2x2－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝. ∵xN＝xM＝＝，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l1的方程為y－＝m， 將y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0， ∵直線l1與拋物線C相切，∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0， ∴m＝k，即l1∥AB. (2)解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N. ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|＝|AB|. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝ [k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2， ∵M(jìn)N⊥x軸，∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. ∵|AB|＝×＝×＝×. ∴＝×，∴k＝±2， ∴存在實(shí)數(shù)k＝±2，使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N.