2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 解三角形 小結(jié)教案 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯提醒] 1．三角形解的個數(shù)的確定(易錯點) 已知兩邊和其中一邊的對角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”，此時一般用正弦定理，但也可用余弦定理． (1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，無解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，兩解． (2)利用余弦定理討論： 已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，

2、這是關(guān)于c的一元二次方程．若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解． 2．三角形形狀的判定方法 判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系 進行判斷．此時注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系．如： sin A＝sin B?A＝B；sin (A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如：sin A＝(R為△ABC外接圓半徑)，c

3、os A＝等，通過代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷． 3.解三角形應(yīng)用題的基本思路 解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題來解決．其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問題(如測量距離、高度、角度等)，然后依題意畫出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，哪個定理求解，并進行作答．解題時還要注意近似計算的要求． (對應(yīng)學(xué)生用書P22) 專題一　利用正、余弦定理解三角形(自主研析) [例1]　△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c＝2，C＝. (1)若△ABC的面積等

4、于，求a，b； (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面積． [自主解答]　(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4.又因為△ABC的面積等于，所以absin C＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組 解得a＝2，b＝2. (2)由正弦定理已知條件可化為b＝2a， 聯(lián)立方程組 解得a＝，b＝， 所以△ABC的面積S＝absin C＝. 歸納升華 正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個方面 (1)正弦定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時要根據(jù)題目條件恰當(dāng)?shù)貙崿F(xiàn)邊角的統(tǒng)一． (2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方

5、、因式分解等代數(shù)變換方法進行變形． (3)求值時注意方程思想的運用． [變式訓(xùn)練]　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求角B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝ . 故a＝b×＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， c＝b×＝2×

6、＝. 專題二　判斷三角形的形狀問題 [例2]　在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀． 解：因為lg sin B＝－lg，所以sin B＝， 又因為0°＜B＜90°，所以B＝45°. 由lg a－lg c＝－lg，得＝. 由正弦定理得＝ 即2sin(135°－C)＝sin C， 即2(sin 135°cos C－cos 135°sin C)＝sin C．所以cos C＝0，得C＝90°， 又因為A＝45°，所以B＝45°，從而△ABC是等腰直角三角形． 歸納升華 利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法 主要有兩種方

7、法：方法一，通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二，通過角之間的關(guān)系判斷形狀． 利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化，把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系． [變式訓(xùn)練]　在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 解：法一：由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C. 因為∠B＝60°， 所以∠A＋∠C＝120°. 所以2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C. 展開整理得sin C＋cos C＝1. 所以sin(C＋30°)＝1.因為0＜C＜120°， 所以∠C＋30°＝90°.所以∠C＝60°. 故∠A＝60°. 所以△

8、ABC為等邊三角形． 法二：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B. 因為∠B＝60°，b＝， 所以＝a2＋c2－2accos 60°，化簡得(a－c)2＝0， 所以a＝c. 又∠B＝60°，所以a＝b＝c. 所以△ABC為等邊三角形． 專題三　正、余弦定理的實際應(yīng)用 [例3]　航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔10 000 m，速度為180 km/h，飛機先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨?取≈1.4，≈1.7)． 解：如圖所示，根據(jù)題意可得∠A＝15°，∠DBC＝45°，

9、所以∠ACB＝30°， AB＝180×＝21(km)＝21 000(m)． 所以在△ABC中，＝， 所以BC＝·sin 15°＝10 500(－)(m)． 因為CD⊥AD， 所以CD＝BCsin∠CBD＝ 10 500(－)×＝10 500(－1)≈ 10 500×(1.7－1)＝7 350(m)， 所以，山頂?shù)暮０胃叨龋?0 000－7 350＝2 650(m)． 歸納升華 正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 (1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來考查三角形問題是近年高考的一類熱點題型．在具體解題時，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件

10、合理選用三角函數(shù)公式，達到化簡問題的目的． (2)解三角形問題的實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．在高考中，出題者有時會利用平面向量等知識給出問題的某些條件，這些知識一般只起到“點綴”作用，難度較?。? [變式訓(xùn)練]　(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從 D沿DA走到A用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(精確到1米)． (2)在△ACB中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c， 且a＞c，已知·＝2，cos

11、 B＝，b＝3，求： ①a和c的值； ②cos(B－C)的值． (1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD＝ 500 米，DA＝300 米，∠CDO＝60°. 在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos 60°＝OC2， 即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2， 解得r＝≈445 (米)． 法二：連接AC，作OH⊥AC，交AC于點H， 由題意，得CD＝500米， AD＝300米， ∠CDA＝120°. 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD· cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×＝7

12、002， 所以AC＝700(米)． cos∠CAD＝＝. 在Rt△HAO中，AH＝350(米)， cos∠HAO＝， 所以O(shè)A＝＝≈445(米)． (2)解：①由·＝2，得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝32＋2×6×＝13. 解得或 因為a＞c，所以a＝3，c＝2. ②在△ABC中， sin B＝＝ ＝， 由正弦定理，得 sin C＝sin B＝×＝. 因a＝b＞c，所以C為銳角， 因此cos C＝＝＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝ ×＋×＝.