2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》 1.不等式證明的方法 (1)比較法: ①作差比較法: 知道a>b?a-b>0,ab只要證明a-b>0即可,這種方法稱為作差比較法. ②作商比較法: 由a>b>0?>1且a>0,b>0,因此當(dāng)a>0,b>0時(shí),要證明a>b,只要證明>1即可,這種方法稱為作商比較法. (2)綜合法: 從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過(guò)推理論證,最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫綜合法.即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? (3)分析法: 從待證不等式出發(fā),逐步

2、尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等),從而得出要證的不等式成立,這種證明方法叫分析法.即“執(zhí)果索因”的方法. (4)反證法和放縮法: ①先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,這種方法叫做反證法. ②在證明不等式時(shí),有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小,此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立,這種方法稱為放縮法. (5)數(shù)學(xué)歸納法: 一般地

3、,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟: ①證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k (k∈N*,且k≥n0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. 2.幾個(gè)常用基本不等式 (1)柯西不等式: ①柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立). ②柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí)成立

4、. ③柯西不等式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,則+≥. ④柯西不等式的一般形式:設(shè)n為大于1的自然數(shù),ai,bi (i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)成立(當(dāng)ai=0時(shí),約定bi=0,i=1,2,…,n). (2)算術(shù)—幾何平均不等式 若a1,a2,…,an為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí),等號(hào)成立. 1.設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,求的最小值. 解 根據(jù)柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25

5、≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值為. 2.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求++的最大值. 解 (++)2=(1×+1×+1×)2 ≤(12+12+12)(a+b+c)=3. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),等號(hào)成立. ∴(++)2≤3. 故++的最大值為. 3.設(shè)x>0,y>0,若不等式++≥0恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值. 解 ∵x>0,y>0, ∴原不等式可化為-λ≤(+)(x+y)=2++. ∵2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立. ∴min=4, 即-λ≤4,λ≥-4. 題型一 用綜合法與分析法證明不等式 例1 (1)已知x,y均

6、為正數(shù),且x>y,求證:2x+≥2y+3; (2)設(shè)a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求證:a+b+c≥. 證明 (1)因?yàn)閤>0,y>0,x-y>0, 2x+-2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ≥3=3, 所以2x+≥2y+3. (2)因?yàn)閍,b,c>0,所以要證a+b+c≥, 只需證明(a+b+c)2≥3. 即證:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而ab+bc+ca=1, 故需證明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 而ab+bc+ca≤++=a2+b2+

7、c2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立)成立. 所以原不等式成立. 思維升華 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程,表述簡(jiǎn)單、條理清楚,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往用分析法找思路,用綜合法寫(xiě)步驟,由此可見(jiàn),分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開(kāi)闊視野.  設(shè)a、b、c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1. 證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca

8、. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c. 所以++≥1. 題型二 放縮法證明不等式 例2 若a,b∈R,求證:≤+. 證明 當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立. 當(dāng)|a+b|≠0時(shí), 由0<|a+b|≤|a|+|b|?≥, 所以= ≤= =+≤+. 思維升華 (1)在不等式的證明中,“放”和“縮”是常用的推證技巧.常見(jiàn)的放縮變換有: ①變換分式的

9、分子和分母,如<,>,<,>.上面不等式中k∈N*,k>1; ②利用函數(shù)的單調(diào)性; ③真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若00,則<”. (2)在用放縮法證明不等式時(shí),“放”和“縮”均需把握一個(gè)度.  設(shè)n是正整數(shù),求證:≤++…+<1. 證明 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得 ≤<. 當(dāng)k=1時(shí),≤<; 當(dāng)k=2時(shí),≤<; … 當(dāng)k=n時(shí),≤<, ∴=≤++…+<=1. ∴原不等式成立. 題型三 柯西不等式的應(yīng)用 例3 已知x,y,z均為實(shí)數(shù). (1)若x+y+z=1,求證:++≤3; (2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值. (1)證明

10、 因?yàn)?++)2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27. 所以++≤3. 當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=,z=0時(shí)取等號(hào). (2)解 因?yàn)?=x+2y+3z≤·, 所以x2+y2+z2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x==即x=,y=,z=時(shí),x2+y2+z2有最小值. 思維升華 (1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形,化為符合它的結(jié)構(gòu)形式,當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí),就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為:(a+a+…+a)(++…+)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式時(shí),要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.  已知大于1

11、的正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=3.求證:++≥. 證明 由柯西不等式及題意得, (++) ·[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27. 又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=6(x+y+z)=18, ∴++≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=時(shí),等號(hào)成立. 證明不等式的方法和技巧: (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題,則考慮用反證法;如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān),則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等. (2)在必要的情況下,可能還需

12、要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明.尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明,其簡(jiǎn)化的基本思路是去絕對(duì)值號(hào),轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式(組)求解.多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略,而絕對(duì)值三角不等式,往往作為不等式放縮的依據(jù). (3)在使用基本不等式時(shí),等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情,特別是連續(xù)使用時(shí),要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立. (4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式,也要注意等號(hào)成立的條件. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:40分鐘) 1.已知x+y=1,求2x2+3y2的最小值. 解 由柯西不等式(2x2+3y2)· ≥2=(x+

13、y)2=1, ∴2x2+3y2≥,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,即x=,y=時(shí),等號(hào)成立.所以2x2+3y2的最小值為. 2.設(shè)a+b=2,b>0,當(dāng)+取得最小值時(shí),求a的值. 解 由于a+b=2,所以+=+=++,由于b>0,|a|>0,所以+≥2=1,因此當(dāng)a>0時(shí),+的最小值是+1=;當(dāng)a<0時(shí),+的最小值是-+1=.故+的最小值為,此時(shí)即a=-2. 3.設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=9,求++的最小值. 解 ∵(a+b+c) =[()2+()2+()2]· ≥2=18. ∴++≥2.∴++的最小值為2. 4.設(shè)x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3

14、z=,求x+y+z. 解 由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2,即(x+2y+3z)2≤14,因此x+2y+3z≤.因?yàn)閤+2y+3z=,所以x==,解得x=,y=,z=,于是x+y+z=. 5.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c.求證:++≥a+b+c. 證明 因?yàn)閇(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)]≥(a+b+c)2, 又a+b+c>0, 所以++≥a+b+c(當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào)). 6.已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值. 解 由柯西不等式得 (4+4+1

15、)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2, ∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2. ∵2a+2b+c=8, ∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==c-3時(shí)等號(hào)成立, ∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是. B組 專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:30分鐘) 7.(xx·湖南)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+. 證明:(1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 證明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab

16、=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立, 則由a2+a<2及a>0得0<a<1; 同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾. 故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 8.已知:an=+++…+(n∈N*),求證:n, ∴an=++…+>1+2+3+…+n=. ∵<, ∴an<+++…+ =+(2+3+…+n)+=. 綜上得

17、值范圍. 解 (1)∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,且|x-3|+|x-4|1,即a的取值范圍是(1,+∞). (2)由柯西不等式,得 [42+()2+22]·[()2+()2+()2] ≥(4×+×+2×)2 =(x+y+z)2, 即25×1≥(x+y+z)2. ∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z的取值范圍是[-5,5]. 10.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞). (1)求++的最小值; (2)求證:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. (1)解

18、 因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞), 所以++≥3·=3·≥3·=3×=6, 當(dāng)且僅當(dāng)==且a=b,即a=b= 且x1=x2=1時(shí),++有最小值6. (2)證明 方法一 由a,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得: (ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2]·[()2+)2]≥(·+·)2=(a+b)2=x1x2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x1=x2時(shí)取得等號(hào). 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 方法二 因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1) =a2x1x2+abx+abx+b2x1x2 =x1x2(a2+b2)+ab(x+x) ≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2) =x1x2(a2+b2+2ab) =x1x2(a+b)2 =x1x2, 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取得等號(hào). 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.

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