2022年高考數(shù)學大一輪復習 第8章 第5節(jié) 橢圓課時作業(yè) 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105523261 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):8 大小:159.02KB
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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第8章 第5節(jié) 橢圓課時作業(yè) 理 一、選擇題 1.(xx·衡水一模)已知F1,F(xiàn)2是橢圓+y2=1的兩個焦點,P為橢圓上一動點,則使|PF1|·|PF2|取最大值 的點P為(  ) A.(-2,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1) 答案:D 解析:由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=4, ∴|PF1|·|PF2|≤2=4, 當且僅當|PF1|=|PF2|=2時,取“=”. 故應選D. 2.設e是橢圓+=1的離心率,且e∈,則實數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(0,3)       B. C.(0,3)∪ D

2、.(0,2) 答案:C 解析:當k>4時,c=,由條件知<<1,解得k>; 當0b>0)的離心率e=,右焦點F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個根分別為x1,x

3、2,則點P(x1,x2)在(  ) A.圓x2+y2=2上   B.圓x2+y2=2內(nèi) C.圓x2+y2=2外   D.以上三種情況都有可能 答案:B 解析:由題意,知e==, ∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=<2, ∴點P(x1,x2)在圓x2+y2=2內(nèi). 5.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,|F1F2|=2c,點A在橢圓上,且AF1垂直于x軸,·=c2,則橢圓的離心率e等于(  ) A. B. C. D. 答案:C 解析:如圖,由橢圓的幾何性質可得|AF1|=,假設A在x軸上方,則A,而F1(-c,0),F(xiàn)2(c

4、,0). 故=,=, 所以·=0×2c+×=. 由題意可得=c2,所以b2=ac,即a2-c2=ac,也就是1-e2=e,解得e=或e=(舍). 故應選C. 6.(xx·新課標全國Ⅰ)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案:D 解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=-2, ①-②,得+=0, 所以kAB==-=. 又kAB==,所以=. 又9=c2=a2-b2, 解得b2=9

5、,a2=18, 所以橢圓E的方程為+=1.故應選D. 二、填空題 7.(xx·遼寧)已知橢圓C:+=1,點M與C的焦點不重合,若M關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則|AN|+|BN|=________. 答案:12 解析:橢圓+=1中,a=3. 如圖,設MN的中點為D,則|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為MN,AM,BM的中點, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 8.已知點A(4,0)和B(2,2),M是橢圓+=1上一動點,則|MA|+|MB|的最大

6、值為________. 答案:10+2 解析:顯然A是橢圓的右焦點,如圖所示,設橢圓的左焦點為A1(-4,0),連接BA1并延長交橢圓于M1,則M1是使|MA|+|MB|取得最大值的點.事實上,對于橢圓上的任意點M有 |MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(當M1與M重合時取等號), ∴|MA|+|MB|的最大值為 2a+|A1B|=2×5+=10+2. 9.已知橢圓+=1的左頂點為A1,右焦點為F2,點P為該橢圓上一動點,則當·取最小值時|+|的取值為________. 答案:3 解析:由已知得a=2,b=,c=1, 所以F2(1,0),A1(-2

7、,0),設P(x,y), 則·=(1-x,-y)·(-2-x,-y) =(1-x)(-2-x)+y2. 又點P(x,y)在橢圓上,所以y2=3-x2,代入上式, 得·=x2+x+1=(x+2)2. 又x∈[-2,2], 所以x=-2時,·取得最小值. 所以P(-2,0),求得|+|=3. 10.(xx·合肥一模)若橢圓+=1的焦點在x軸上,過點作圓x2+y2=1的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓的方程是________. 答案:+=1 解析:由題可設斜率存在的切線的方程為y-=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,

8、由=1,解得k=-, ∴圓x2+y2=1的一條切線方程為3x+4y-5=0,求得切點A,易知另一切點B(1,0),則直線AB的方程為y=-2x+2.令y=0得右焦點為(1,0),令x=0得上頂點為(0,2). ∴a2=b2+c2=5, 故所求橢圓的方程是+=1. 三、解答題 11.(xx·新課標全國Ⅱ)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為,求C的離心率; (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解:(1)根據(jù)c=及題設,知M,2b2

9、=3ac. 將b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得=或=-2(舍去). 故C的離心率為. (2)由題意,原點O為F1F2的中點,MF2∥y軸, 所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點, 故=4,即b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 設N(x1,y1),由題意知y1<0,則 即 代入C的方程,得+=1.② 將①及c=代入②,得+=1. 解得a=7,b2=4a=28, 故a=7,b=2. 12.(xx·臨沂模擬)已知橢圓C的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點,P是橢圓C上任意一點,

10、且|PF1|·|PF2|的最大值為2. (1)求橢圓C的方程; (2)設過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A,B,滿足+=t(O為坐標原點),當|-|<時,求實數(shù)t的取值范圍. 解:(1)由拋物線y2=4x的準線是x=-1,得橢圓C的一個焦點是F1(-1,0),即c=1. 由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|·|PF2|≤2=a2, 當且僅當|PF1|=|PF2|=a時取等號. ∴a2=2,∴b2=a2-c2=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)由題意知直線AB的斜率存在,設直線AB的斜率為k, 則其方程為y=k(x-2). 由消去y,得

11、(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得k2<. 設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 則x1+x2=,x1x2=. ∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y). ∴x==, y==[k(x1+x2)-4k]=. ∵點P在橢圓上,∴+2×=2, 整理得16k2=t2(1+2k2), 又∵|-|<,∴||<, ∴=· <, ∴(1+k2)<, 化簡,得56k4+38k2-13>0, ∴(4k2-1)(14k2+13)>0,解得k2>, ∴

12、2),∴t2==8-. ∵b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2.以O為圓心,a為半徑作圓,若過點P的圓的兩切線互相垂直,切點分別為A,B. (1)求橢圓C的方程; (2)過點F1的直線l與該橢圓交于M,N兩點,且|+|=,求直線l的方程. 解:(1)由題意知,橢圓的半焦距c=1, ∵過點P的⊙O:x2+y2=a2的兩條切線互相垂直, ∴四邊形OAPB為正方形,∴=a,∴a=. 由a2=b2+c2,知b2=1, ∴

13、橢圓方程為+y2=1. (2)由(1)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0), 若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-1, 將x=-1代入橢圓方程,得y=±. 不妨設M,N, ∴+=+=(-4,0), ∴|+|=4,與題設矛盾, ∴直線l的斜率存在. 設直線l的斜率為k,則直線的方程為y=k(x+1). 設M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立消y,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 由根與系數(shù)的關系,知x1+x2=, 從而y1+y2=k(x1+x2+2)=, 又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2), ∴+=(x1+x2-2,y1+y2), ∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2 =2+2 =, ∴=2, 化簡得40k4-23k2-17=0, 解得k2=1或者k2=-(舍去),∴k=±1, ∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.

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