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1、高考數(shù)學一輪總復習 必考解答題 模板成形練 立體幾何 理 蘇教版
(建議用時：60分鐘)
1．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.
(1)求證：BD⊥AA1；
(2)若E為棱BC的中點，求證：AE∥平面DCC1D1.
證明 (1)在四邊形ABCD中，因為BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
BD?平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，
又因為AA1?平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.
(2)在三角形AB
2、C中，因為AB＝AC，且E為BC中點，所以AE⊥BC，又因為在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CA＝，DA＝DC＝1，
所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因為DC?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1
2. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N為PC的中點．
(1)若M為AB的中點，求證：MN∥平面ADP；
(2)求證：平面BDN⊥平面ACP.
證明 (1)設AC∩BD＝G，連接NG，MG，易知G是AC，BD的中點，
又N是PC的中點，M為AB的中
3、點，
∴NG∥PA，MG∥AD，
∴平面GMN∥平面APD.又MN?平面GMN，∴MN∥平面APD.
(2)∵BC⊥平面PAB，AP?平面PAB，∴BC⊥PA，
∵∠APB＝90°，∴BP⊥PA.
∵BC∩BP＝B，∴PA⊥平面PBC，∴BN⊥PA.
∵PB＝BC，點N為PC的中點，∴BN⊥PC.
∵PC∩PA＝P，∴BN⊥平面ACP.
又BN?平面BDN，∴平面BDN⊥平面ACP.
3. 如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點．
(1)求證：EF∥平面PAD；
(2)求證：EF⊥CD；
證明 (1)取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G.因
4、為FG為△PCD的中位線，
所以FG∥CD，且FG＝CD，
又AE∥CD，且AE＝CD，
所以AE∥FG，且AE＝FG，
故四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF∥AG.
又AG?平面PAD，EF?平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
因為AG?平面PAD，所以CD⊥AG.
又EF∥AG，所以EF⊥CD.
4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分別為AB，DE的中點，將△ADE沿直線
5、DE翻折成△A′DE，連接A′C，A′B，F(xiàn)為A′C的中點，A′C＝4.
(1)求證：平面A′DE⊥平面BCD；
(2)求證：FB∥平面A′DE.
證明 (1)由題意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.
∵∠ABC＝120°，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，
∴△A′DE和△ADE都是等邊三角形．連接A′M，MC.
∵M是DE的中點，∴A′M⊥DE，A′M＝.
在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC＝.
在△A′MC中，A′M2＋MC2＝()2＋()2＝42＝A′C2.
∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.
又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.
又∵A′M?平面A′DE，
∴平面A′DE⊥平面BCD.
(2)取DC的中點N，連接FN，NB.
∵A′C＝DC＝4，F(xiàn)，N分別是A′C，DC的中點，
∴FN∥A′D.
又∵N，E分別是平行四邊形ABCD的邊DC，AB的中點，
∴BN∥DE.
又∵A′D∩DE＝D，F(xiàn)N∩NB＝N，
∴平面A′DE∥平面FNB.
∵FB?平面FNB，∴FB∥平面A′DE.
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