2021高考數(shù)學一輪復習 第11章 概率 第2節(jié) 古典概型教學案 文 北師大版

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1、第二節(jié)　古典概型 [最新考綱]　1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． (對應學生用書第191頁) 1．古典概型 具有以下兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型(古典的概率模型)． (1)試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果； (2)每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 確定基本事件個數(shù)的三種方法 (1)列舉法：此法適合基本事件較少的古典概型． (2)列表法(坐標法)：此法適合多個元素中選定兩個元素的試驗． (3)樹狀圖法：適合有順序的問題及較復

2、雜問題中基本事件個數(shù)的探求． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”． (　　) (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事件是等可能事件． (　　) (3)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同． (　　) (4)“從長為1的線段AB上任取一點C，求滿足AC≤的概率是多少”是古典概型． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．從1,2,3,4,5中隨機取

3、出三個不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的基本事件個數(shù)為(　　) A．4 B．5　　　　 C．6　　　　 D．7 C　[任取三個數(shù)和為偶數(shù)共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6個，故選C.] 2．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(　　) A. B. C. D. A　[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝.] 3．現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，則甲被選中的概率為________． 　[從甲、乙、丙3人中隨機選派2人參加某項活動，有

4、甲乙，甲丙，乙丙三種可能，則甲被選中的概率為.] 4．口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取2次，每次從中任意取出1個球，則2次取出的球顏色不同的概率是________． 　[由題意，知基本事件有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，白)，(白，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黑)，共9種，其中2次取出的球顏色相同有3種，所以2次取出的球顏色不同的概率為1－＝.] (對應學生用書第191頁) ⊙考點1　古典概型的概率計算 　求古典概型概率的步驟 (1)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A； (2)分別求出基

5、本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m； (3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率． (1)(2019·全國卷Ⅱ)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)(2019·全國卷Ⅲ)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. (1)B　(2)D　[(1)設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3

6、)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能． 故恰有2只測量過該指標的概率為＝.故選B. (2)設兩位男同學分別為A，B，兩位女同學分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學排成一列所有可能的結果如圖所示． 由圖知，共有24種等可能的結果，其中

7、兩位女同學相鄰的結果(畫“√”的情況)共有12種，故所求概率為＝.故選D.] (3)(2019·天津高考)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況． ①應從老、中、青員工中分別抽取多少人？ ②抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪． 員

8、工 項目　　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續(xù)教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫(yī)療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 贍養(yǎng)老人 ○ ○ × × × ○ a.試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果； b．設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率． [解]?、儆梢阎美稀⒅?、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工

9、中分別抽取6人、9人、10人． ②a.從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種． b．由表格知，符合題意的所有結果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種． 所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝. 　求古典概型概率的關鍵是列出所有可能的結果． [教師備選例題] 某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A

10、2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游． (1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率． [解](1)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個． 所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件

11、有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個，則所求事件的概率為P＝＝. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個． 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個，則所求事件的概率為P＝. 　1.(2019·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________． 　[法一：設3名男同

12、學分別為A，B，C,2名女同學分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為. 法二：同方法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1－＝.] 2．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動． (1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿

13、者中分別抽取多少人？ (2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作． ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果； ②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率． [解](1)因為甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，所以應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． (2)①從抽取的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，

14、{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． ②不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝. ⊙考點2　古典概型與其他知識的交匯問題 　求解古典概型的交匯問題，關鍵是把相關的知識轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關知識解決，其解題流程為： 　古典概型與平面向量相結合 　

15、從集合{1,2,3,4}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,2,3}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(2,1)共線的概率為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. A　[由題意可知，向量m＝(a，b)的所有可能結果有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12個，∵向量m＝(a，b)與向量n＝(2,1)共線，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共2個，故所求概率為.] 　解答本題的關鍵是根據(jù)向量m與n共線，得到a與b的關系，再從所有基本事件

16、中找出滿足條件的基本事件的個數(shù)． 　古典概型與解析幾何相結合 　將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________． 　[依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足≤，即a≤b，則當a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共有6種，當a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當a＝3時，有4種，a＝4時，有3種，a＝5時，有2種，a＝6時，有1種，故共6＋5＋4＋3＋

17、2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝.] 　解答本題的關鍵是根據(jù)直線與圓有公共點得到a≤b.再從所有基本事件中找出滿足a≤b的基本事件的個數(shù)． 　古典概型與方程、不等式、函數(shù)相結合 　已知a＝log0.55，b＝log32，c＝20.3，d＝，從這四個數(shù)中任取一個數(shù)m，使函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋x＋2有極值點的概率為(　　) A. B. C. D．1 B　[f′(x)＝x2＋2mx＋1， 由題意知Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1， 而a＝log0.55＜－2,0＜b＝log32＜1，c＝20.3＞1， 0＜d＝＜1，滿足條件的有兩個，分別是a，c. 因此所求

18、的概率為P＝＝，故選B.] 　解答本題的關鍵是根據(jù)函數(shù)f(x)有極值點得到m的取值范圍，再根據(jù)m的取值范圍確定滿足條件的個數(shù)． 　1.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. C　[函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3,5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是＝.故選C.] 2．設平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”

19、為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. A　[有序數(shù)對(m，n)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4)，共2個，所以P(A)＝＝.故選A.] 3．將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是(　　) A. B. C. D. C　[投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關系為∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a. 當b＝1時，沒有a符合條件；當b＝2時，a可取1；當b＝3時，a可取1,2；當b＝4時，a可取1,2,3,4；當b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6. 滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝，故選C.] - 8 -