2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義講義（含解析）蘇教版選修2-1 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 拋物線可以看成平面內(nèi)的到定點(diǎn)(焦點(diǎn))F的距離與到定直線(準(zhǔn)線)l的距離的比值等于1(離心率)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．在坐標(biāo)平面內(nèi)有一定點(diǎn)F(c,0)，定直線x＝(a>0，c>0)．動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與到定直線x＝的距離的比為. 問(wèn)題1：求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程． 提示：由＝， 化簡(jiǎn)得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 問(wèn)題2：當(dāng)a>c，即0<<1時(shí)，軌跡是什么？ 提示：橢圓． 問(wèn)題

2、3：當(dāng)a1時(shí)，軌跡是什么？ 提示：雙曲線． 圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡． 當(dāng)0＜e＜1時(shí)，它表示橢圓， 當(dāng)e＞1時(shí)，它表示雙曲線， 當(dāng)e＝1時(shí)，它表示拋物線． 其中e是離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線. 圓錐曲線的準(zhǔn)線 從拋物線的定義知，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，那么橢圓、雙曲線有幾個(gè)焦點(diǎn)，幾條準(zhǔn)線？ 提示：橢圓、雙曲線分別有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線． 橢圓、雙曲線和拋物線的準(zhǔn)線方程 曲線方程 準(zhǔn)線方程 曲線方程 準(zhǔn)線方程 ＋＝1(a

3、＞b＞0) x＝± ＋＝1(a＞b＞0) y＝± －＝1(a＞0，b＞0) x＝± －＝1(a＞0，b＞0) y＝± y2＝2px(p＞0) x＝－ x2＝2py(p＞0) y＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝－2py(p＞0) y＝ 圓錐曲線的第一定義與第二定義的區(qū)別 橢圓、雙曲線的第一定義突出了動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時(shí)可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇．利用第一定義可以把到一個(gè)定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一點(diǎn)的距離，利用第二定義可以把到定點(diǎn)與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于拋物

4、線，第一定義與第二定義是一致的． 利用統(tǒng)一定義確定曲線形狀 [例1]　過(guò)圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準(zhǔn)線相交，則曲線C為_(kāi)_______． [思路點(diǎn)撥]　利用圓錐曲線第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系，建立不等式求e的范圍即可判斷． [精解詳析]　設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝，R＝＝＝.由題意知R＞d，則e＞1，圓錐曲線為雙曲線． [答案]　雙曲線 [一點(diǎn)通]　解答這種類型的問(wèn)題時(shí)，巧妙應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行

5、轉(zhuǎn)化，即e＝＝.有時(shí)會(huì)應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種類型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應(yīng)用為主． 1．方程 ＝|x＋y－1|對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡為_(kāi)_______． 解析：由＝|x＋y－1| 得＝. 可看作動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(－1,0)的距離與到定直線x＋y－1＝0的距離比為>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線． 答案：雙曲線 2．若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線的形狀． 解：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M是AB中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R， 則d＝， R＝＝＝.

6、 當(dāng)圓與準(zhǔn)線相離時(shí)，R＜d， 即＜， ∴0＜e＜1，圓錐曲線為橢圓． 當(dāng)圓與準(zhǔn)線相切時(shí)，R＝d， ∴e＝1，圓錐曲線為拋物線. 用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求軌跡 [例2]　已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(0,3)與到定直線y＝9的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡． [思路點(diǎn)撥]　此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法． [精解詳析]　法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：P點(diǎn)的軌跡是一橢圓，c＝3，＝9，則a2＝27，a＝3， ∴e＝＝，與已知條件相符． ∴橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為(0，±3)，準(zhǔn)線y＝±9. b2＝18，其方程為＋＝1. 法二：由題意得＝. 整理得＋＝1. P點(diǎn)

7、的軌跡是以(0，±3)為焦點(diǎn)，以y＝±9為準(zhǔn)線的橢圓． [一點(diǎn)通]　解決此類題目有兩種方法：①是直接列方程，代入后化簡(jiǎn)整理即得方程．②是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程． 3．平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(y>0)到點(diǎn)F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡． 解： 如圖：作PM⊥x軸于M，延長(zhǎng)PM交直線y＝－2于點(diǎn)N. ∵PF－PM＝2， ∴PF＝PM＋2. 又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN. ∴P到定點(diǎn)F與到定直線y＝ －2的距離相等． 由拋物線的定義知，P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，p＝4. ∴

8、拋物線方程為x2＝8y(y>0)． ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1(－4,0)，直線l：x＝－2，動(dòng)點(diǎn)M到F1的距離是它到定直線l距離d的倍．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線為E. (1)求曲線E的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)F2(4,0)，若直線m為曲線E的任意一條切線，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由． 解：(1)由題意，設(shè)點(diǎn)M(x，y)， 則有MF1＝， 點(diǎn)M(x，y)到直線l的距離d＝|x－(－2)|＝|x＋2|， 故＝|x＋2|， 化簡(jiǎn)得x2－y2＝8. 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2－y2＝8. (2)d1

9、d2是常數(shù)，證明如下： 若切線m斜率不存在，則切線方程為x＝±2， 此時(shí)d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8. 當(dāng)切線m斜率存在時(shí)，設(shè)切線m：y＝kx＋t， 代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8， 即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0. Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0， 化簡(jiǎn)得t2＝8k2－8. 又由kx－y＋t＝0，d1＝，d2＝， d1d2＝＝＝8,8為常數(shù)． 綜上，對(duì)任意切線m，d1d2是常數(shù). 圓錐曲線統(tǒng)一定義的應(yīng)用 　　 [例3]　已知定點(diǎn)A(－2，)，點(diǎn)F為橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求

10、AM＋2MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)． [思路點(diǎn)撥]　利用統(tǒng)一定義把MF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，數(shù)形結(jié)合便可迎刃而解． [精解詳析]　∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2. ∴離心率e＝.A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d，則＝e，即MF＝ed＝d，右準(zhǔn)線l：x＝8. ∴AM＋2MF＝AM＋d. ∵A點(diǎn)在橢圓內(nèi)， ∴過(guò)A作AK⊥l(l為右準(zhǔn)線)于K，交橢圓于點(diǎn)M0. 則A、M、K三點(diǎn)共線，即M與M0重合時(shí)，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10. 故AM＋2MF的最小值為10，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2， )． [一點(diǎn)通]　圓錐曲線的統(tǒng)一定義通常用來(lái)解決一些與距離有關(guān)的最值問(wèn)

11、題，利用定義，實(shí)現(xiàn)曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離間的互化，互化時(shí)應(yīng)注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)． 5．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(9,2)，M為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則MA＋MF的最小值為_(kāi)_____． 解析：雙曲線離心率e＝，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知＝e(d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線l的距離)，右準(zhǔn)線l的方程為x＝，顯然當(dāng)AM⊥l時(shí)，AM＋d最小， 而AM＋MF＝MA＋de＝MA＋d. 而AM＋d的最小值為A到l的距離為9－＝. 答案： 6．若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－1，－3)，F(xiàn)為橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng)，當(dāng)QF＋PQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出最小值． 解：在＋＝1中a＝

12、4，b＝2 ，c＝2， ∴e＝，橢圓的右準(zhǔn)線l：x＝8， 過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l于Q′， 則＝e. ∴QF＝QQ′. ∴QF＋PQ＝QQ′＋PQ＝(QQ′＋PQ)． 要使QQ′＋PQ最小，由圖可知P、Q、Q′三點(diǎn)共線，所以由P向準(zhǔn)線l作垂線，與橢圓的交點(diǎn)即為QF＋PQ最小時(shí)的點(diǎn)Q， ∴Q的縱坐標(biāo)為－3，代入橢圓得：Q的橫坐標(biāo)為x＝2. ∴Q為(2，－3)，此時(shí)QF＋PQ＝. 圓錐曲線的準(zhǔn)線、離心率的求解及應(yīng)用 [例4]　求橢圓＋＝1的離心率與準(zhǔn)線方程，并求與該橢圓有相同準(zhǔn)線且離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程． [思路點(diǎn)撥]　由方程確定a、c，從而求e與準(zhǔn)線，由橢圓的準(zhǔn)線

13、、離心率再確定雙曲線的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)，求出雙曲線的方程． [精解詳析]　由＋＝1知a＝5，b＝4，c＝3. e＝＝，準(zhǔn)線方程為y＝±. 設(shè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b′，實(shí)半軸長(zhǎng)為a′，半焦距為c′， 離心率為e′，則e′＝＝，又∵＝＝. 解得：a′＝，c′＝，b′2＝. ∴雙曲線方程為－＝1. [一點(diǎn)通]　此類問(wèn)題首先判斷該圓錐曲線是什么曲線，然后化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定出a、b、c、p，進(jìn)而求離心率和準(zhǔn)線方程． 7．(天津高考)已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)_______． 解析：拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線

14、x＝－2過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以c＝2，又離心率為2，所以a＝1，b＝＝，所以該雙曲線的方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2，若一雙曲線與此橢圓共焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)短8，雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比是5∶1，求橢圓和雙曲線的方程，并求其相應(yīng)的準(zhǔn)線方程． 解：設(shè)a′，b′分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)， 依題意有　解得 所以橢圓的短半軸長(zhǎng)b＝＝， 雙曲線的虛半軸長(zhǎng)b′＝＝3. 故橢圓和雙曲線的方程分別是 ＋＝1和x2－＝1. 橢圓的準(zhǔn)線方程為x＝±， 雙曲線的準(zhǔn)線方程為x＝±. 1．圓錐曲線的判斷：

15、要判斷所給曲線是哪種圓錐曲線，常利用圓錐曲線的定義求解，其思路是： (1)如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線的定義． (2)如果遇到動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義． 2．圓錐曲線共同特征的應(yīng)用： 設(shè)F為圓錐曲線的焦點(diǎn)，A為曲線上任意一點(diǎn)，d為點(diǎn)A到定直線的距離，由＝e變形可得d＝.由這個(gè)變形可以實(shí)現(xiàn)由AF到d的轉(zhuǎn)化，借助d則可以解決一些最值問(wèn)題． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十四)]　 1．雙曲線2x2－y2＝－16的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______． 解析：原方程可化為－＝1. ∵a2＝16，c2＝a2＋b

16、2＝16＋8＝24， ∴c＝2. ∴準(zhǔn)線方程為y＝±＝±＝±. 答案：y＝± 2．設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM＋PN的最小值、最大值分別為_(kāi)_______________． 解析：PM＋PN最大值為PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值為PF1－1＋PF2－1＝8. 答案：8,12 3．到直線y＝－4的距離與到A(0，－2)的距離的比值為的點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)M(x，y)，由題意得＝. 化簡(jiǎn)得＋＝1. 答案：＋＝1 4．(福建高考)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

17、F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：直線y＝(x＋c)過(guò)點(diǎn)F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1. 答案：－1 5．已知橢圓＋＝1內(nèi)部的一點(diǎn)為A，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MA＋MF的最小值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d， 由圓錐曲線定義知＝，右準(zhǔn)線方程為x＝＝2. ∴d＝MF. ∴MA＋MF＝MA＋d.

18、 由A向右準(zhǔn)線作垂線，垂線段長(zhǎng)即為MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2－1. 答案：2－1 6．已知橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，到其左、右兩焦點(diǎn)距離之比為1∶3，求點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：設(shè)P(x，y)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2. 由已知的橢圓方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，準(zhǔn)線方程為x＝±. ∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3， ∴PF1＝5，PF2＝15. 設(shè)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為d1、d2，則 由＝＝e＝，得d1＝，d2＝. ∴x＋＝x＋＝，∴x＝－. 代入橢圓方程，得y＝±. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或. 7．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定直

19、線l：x＝2 的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(，0)之比為. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，過(guò)原點(diǎn)O作直線AB，交(1)中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問(wèn)k1·k2是否為定值？ 解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，依題意，有＝. 整理，得＋＝1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為 ＋＝1. (2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，＋＝1，＋＝1. k1·k2＝·＝ ＝＝－，為定值． 8．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距

20、離為d，雙曲線的一條漸近線為y＝x，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使d、PF1、PF2成等比數(shù)列？若存在，則求出P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由． 解：假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)P(x，y)． ∵雙曲線的一條漸近線為y＝x， ∴＝，b2＝3a2，c2－a2＝3a2. ∴＝2. 若d、PF1、PF2成等比數(shù)列， 則＝＝2，PF2＝2PF1.① 又∵雙曲線的準(zhǔn)線為x＝±， ∴PF1＝＝|2x0＋a|， PF2＝＝|2x0－a|. 又∵點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)， ∴PF1＝－2x0－a，PF2＝－2x0＋a. 代入①得－2x0＋a＝2(－2x0－a)， x0＝－a. 代入－＝1得y0＝±a. ∴存在點(diǎn)P使d、PF1、PF2成等比數(shù)列， P.