2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 四種命題講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.1 四種命題講義（含解析）蘇教版選修2-1 命題的概念 (1)這幅畫真漂亮！ (2)求證是無理數(shù)； (3)菱形是平行四邊形嗎？ (4)等腰三角形的兩底角相等； (5)x>2 012； (6)若x2＝2 0122，則x＝2 012. 問題：在這些語句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假． 提示：(1)(2)(3)(5)不能判斷真假；(4)(6)能判斷真假． 1．能夠判斷真假的語句叫做命題． 2．命題 四種命題及其關(guān)系 觀察下列四個(gè)命題： (1)若兩個(gè)

2、三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似； (2)若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形全等； (3)若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不相似； (4)若兩個(gè)三角形不相似，則這兩個(gè)三角形不全等． 問題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ 提示：命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論，且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件． 對(duì)于命題(1)和(3)．其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定； 對(duì)于命題(1)和(4)．其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定． 1．四種命題的概念 (1)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論是另

3、一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題． (2)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題． (3)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題． 2．命題的四種形式 原命題：若p，則q；逆命題：若q，則p； 否命題：若非p，則非q；逆否命題：若非q，則非p. 3．四種命題之間的關(guān)系 四種命題真假之間的關(guān)系 觀察下列命題，回答后面的問題： (1)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的面積相等； (2)如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么它們?nèi)龋? (3)如

4、果兩個(gè)三角形不全等，那么它們的面積不相等； (4)如果兩個(gè)三角形面積不相等，那么它們不全等． 問題1：若把命題(1)看作原命題，這四個(gè)命題之間有什么關(guān)系？ 提示：(1)與(2)、(3)與(4)為互逆關(guān)系；(1)與(3)、(2)與(4)為互否關(guān)系；(1)與(4)、(2)與(3)為互為逆否關(guān)系． 問題2：判斷四個(gè)命題的真假． 提示：命題(1)(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題． 1．四種命題的真假性 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 2．四種命題的真假性之間的關(guān)系

5、 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． (2)兩個(gè)命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 1．原命題是相對(duì)其他三種命題而言的．事實(shí)上，可以把任意一個(gè)命題看成原命題，來研究它的其他形式的命題． 2．當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，大前提仍作大前提． 3．若兩個(gè)命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假．所以，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過對(duì)其逆否命題的真假的判斷來判斷原命題的真假． 命題的概念及其判斷 [例1]　判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假： (1)是無限循環(huán)小數(shù)； (2)x2－3

6、x＋2＝0； (3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？ (4)一個(gè)等比數(shù)列的公比大于1時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列； (5)當(dāng)x＝4時(shí)，2x＋1>0； (6)把門關(guān)上． [思路點(diǎn)撥]　首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題． [精解詳析]　(1)能判斷真假，是命題，是假命題． (2)不是命題，因?yàn)檎Z句中含有變量x，在沒給變量x賦值前，無法判斷語句的真假(這種語句叫“開語句”)． (3)不能判斷真假，不是命題． (4)是命題，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)a1<0，公比q>1時(shí)，該數(shù)列是遞減數(shù)列，因此是一個(gè)假命題． (5)能判斷真假，是命題，是真命題． (6)因?yàn)闆]有作出判

7、斷，所以不是命題． [一點(diǎn)通]　 1．判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵是看能不能判斷真假． 2．判定一個(gè)命題是真命題時(shí)，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，論證要有推理依據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷；而判定一個(gè)命題為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可． 1．下列語句： (1)2＋2 是有理數(shù)； (2)1＋1>2； (3)2100是個(gè)大數(shù)； (4)968能被11整除； (5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？ 其中是命題的是________． 解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題； (2)能判斷真假，是命題，是假命題； (3)不能判斷真假，不是命題； (4)是命題，是真命題；

8、 (5)不能判斷真假，不是命題． 答案：(1)、(2)、(4) 2．判斷下列命題的真假： (1)函數(shù)y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π； (2)斜率相等的兩條直線平行； (3)不等式|3x－2|>4的解集是(－∞，－)∪(2，＋∞)； (4)平行于同一平面的兩條直線平行． 解：(1)y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，顯然其最小正周期為π，故(1)為真命題． (2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題． (3)由|3x－2|>4得，3x－2>4或3x－2<－4， ∴x>2或x<－， ∴|3x－2|>4的解集

9、是(－∞，－)∪(2，＋∞)． 故(3)為真命題． (4)平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故(4)為假命題. 四種命題及其真假判斷 [例2]　分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假： (1)若實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac； (2)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)時(shí)，loga2<0. [思路點(diǎn)撥]　先分清所給命題的條件和結(jié)論，再按要求寫出逆命題、否命題和逆否命題，并做出真假判斷． [精解詳析]　 (1)原命題可以寫成：若實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，為真命題． 逆命題：若實(shí)數(shù)a

10、，b，c滿足b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列，為假命題． 否命題：若實(shí)數(shù)a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac，為假命題． 逆否命題：若實(shí)數(shù)a，b，c，滿足b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列，為真命題． (2)原命題可以寫成：若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則loga2<0，為真命題． 逆命題：若loga2<0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，為真命題． 否命題：若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是減函數(shù)，則loga2≥0，為真命題． 逆否命題：若loga2≥0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a

11、≠1)在(0，＋∞)上不是減函數(shù)，為真命題． [一點(diǎn)通]　 1．四種命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)首先找出原命題的條件和結(jié)論，然后利用四種命題的概念直接轉(zhuǎn)化即可． 2．對(duì)于命題的真假判斷，當(dāng)直接判斷有難度時(shí)，可以通過判斷它的逆否命題的真假來判斷． 3．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假： (1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等； (2)當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，x2－6x＋8＝0； (3)已知x、y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2. 解：(1)原命題可改寫成：若一個(gè)三角形是等腰三角形，則兩個(gè)底角相等，真命題． (2)原命題可改寫成：若x＝2或x＝4，則x2－6x＋8＝0，

12、真命題． (3)原命題可改寫成：已知x、y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.假命題． 4．寫出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假： (1)在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B； (2)正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù)； (3)若x∈A則x∈(A∪B)． 解：(1)原命題：在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B，真命題； 逆命題：在△ABC中，若∠A>∠B，則a>b，真命題； 否命題：在△ABC中，若a≤b，則∠A≤∠B，真命題； 逆否命題：在△ABC中，若∠A≤∠B，則a≤b，真命題． (2)原命題：若一個(gè)數(shù)是正偶數(shù)，則它一定不是質(zhì)數(shù)，假命題，例如2； 逆命題：若一個(gè)數(shù)不是質(zhì)

13、數(shù)，則它一定是正偶數(shù)，假命題，例如9； 否命題：若一個(gè)數(shù)不是正偶數(shù)，則它一定是質(zhì)數(shù)，假命題，例如9； 逆否命題：若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則它一定不是正偶數(shù)，假命題，例如2. (3)原命題：若x∈A，則x∈(A∪B)，真命題； 逆命題：若x∈(A∪B)，則x∈A，假命題； 否命題：若x?A，則x?(A∪B)，假命題； 逆否命題：若x?(A∪B)，則x?A，真命題. 四種命題的綜合應(yīng)用 　　 [例3]　證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)原命題與逆否命題的等價(jià)性，先證逆否命

14、題即可． [精解詳析]　法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)

15、＋f(－b)． 這與已知條件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾． 因此假設(shè)不成立，故a＋b≥0. [一點(diǎn)通] 由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題． 5．已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R，如果p和q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍． 解：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減?01的解集為R?函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|

16、＝ ∴函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c. ∴不等式x＋|x－2c|>1的解集為R?2c>1?c>. 記Q＝. 如果p正確，且q不正確， 借助數(shù)軸得0

17、“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”為真命題． 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確． 1．寫四種命題時(shí)，可以按下列步驟進(jìn)行： (1)找出原命題的條件p和結(jié)論q； (2)寫出條件p的否定非p和結(jié)論q的否定非q； (3)按照四種命題的概念寫出所有命題． 2．判斷命題的真假時(shí)，可以根據(jù)互為逆否的命題的真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ)． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(一)]　 1．給出下列語句：①空集是任何集合的真子集；②三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？③一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④老師寫的粉筆字真漂亮！⑤若x∈R，則x2＋4x＋5>0.其中為命題的序

18、號(hào)是________，為真命題的序號(hào)是________． 解析：①是命題，且是假命題，因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?；②該語句是疑問句，不是命題；③是命題，且是假命題，因?yàn)閿?shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④該語句是感嘆句，不是命題；⑤是命題，因?yàn)閤2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命題． 答案：①③⑤　⑤ 2．設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是________________________． 答案：若|a|＝|b|，則a＝－b 3．命題“對(duì)于正數(shù)a，若a>1，則lg a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為________

19、． 解析：逆命題：對(duì)于正數(shù)a，若lg a>0，則a>1. 否命題：對(duì)于正數(shù)a，若a≤1，則lg a≤0. 逆否命題：對(duì)于正數(shù)a，若lg a≤0，則a≤1. 根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知都是真命題． 答案：4 4．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是________． 解析：將條件與結(jié)論分別否定，再交換即可． 答案：若tan α≠1，則α≠ 5．給出下列命題：①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題；②“若{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則an＝an＋1(n∈N*)”的逆命題；③“若m>1，則不等式x2＋2x＋m>0的解集為R”的逆否命題． 其中所有真命題的序號(hào)是_

20、_______． 解析：①的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”是真命題；②的逆命題為“數(shù)列{an}中，若an＝an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”是假命題，如0,0,0……；對(duì)于③當(dāng)m>1時(shí)，Δ＝4－4m<0恒成立，x2＋2x＋m>0的解集為R是真命題．因此逆否命題是真命題． 答案：①③ 6．把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假． (1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (2)當(dāng)x2－2x－3＝0時(shí)，x＝－3或x＝1； (3)a<0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x值的增大而增大． 解：(1)若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是真命題

21、． (2)若x2－2x－3＝0，則x＝－3或x＝1，是假命題． (3)若a<0，則函數(shù)y＝ax＋b的值隨著x值的增大而增大，是假命題． 7．證明：若m2＋n2＝2，則m＋n≤2. 證明：將“若m2＋n2＝2，則m＋n≤2”視為原命題，則它的逆否命題為“若m＋n>2，則m2＋n2≠2”． 由于m＋n>2，則m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2， 所以m2＋n2≠2. 故原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題． 8．判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形； (2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)． 解：(1)該命題為真． 逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，為真． 否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真． 逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，為真． (2)該命題為假． 逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有交點(diǎn)，則b2－4ac<0，為假． 否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，則函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，為假． 逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無交點(diǎn)，則b2－4ac≥0，為假．