江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案

《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題 [考情考向分析]　應(yīng)用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上．命題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實(shí)際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題，可以通過建立函數(shù)、不等式模型，解決實(shí)際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實(shí)際問題． 熱點(diǎn)一　和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例1　某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬(wàn)元．為了提高工人的收入，工廠將進(jìn)行技術(shù)改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬(wàn)元；剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高2x%. (1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的

2、人均年收入為y萬(wàn)元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為多少時(shí)，能使這200人的人均年收入達(dá)到最大，并求出最大值． 解　(1)y＝ ＝ ＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4. 其中100≤x≤150，x∈N*. (2)①當(dāng)100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時(shí)， 當(dāng)x＝25(a＋3)時(shí)，y取最大值，即ymax＝(a＋3)2＋4； ②當(dāng)25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時(shí)， 函數(shù)y在[100,150]上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，即ymax＝3a＋4. 答　當(dāng)1≤a≤3，a∈N*，x＝25(a＋3)時(shí)，y取最大值(a＋

3、3)2＋4； 當(dāng)a＞3，a∈N*，x＝150時(shí)，y取最大值3a＋4. 思維升華　二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個(gè)重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)． 跟蹤演練1　某企業(yè)參加A項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為1 000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元．根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從A項(xiàng)目中調(diào)出x人參與B項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元(a＞0)，A項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)需要提高0.2x%. (1)若要保證A項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)出多少人參加B項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？ (2)在(1)的條件下，當(dāng)從A項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超

4、過總?cè)藬?shù)的40%時(shí)，能使得A項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)根據(jù)題意可得(1 000－x)(10＋10×0.2x%)≥1 000×10， 整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500， 最多調(diào)出的人數(shù)為500. (2)由解得0≤x≤400. 10×x≤(1 000－x)·(10＋10×0.2x%) 對(duì)x∈[0,400]恒成立， 即10ax－≤1 000×10＋20x－10x－2x2%恒成立， 即ax≤＋x＋1 000對(duì)于任意的x∈[0,400]恒成立． 當(dāng)x＝0時(shí)，不等式顯然成立； 當(dāng)0＜x≤400時(shí)， a

5、≤＋＋1＝＋1. 令函數(shù)f(x)＝x＋， 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)， 故f(x)min＝f(400)＝1 025， 故＋＋1≥. 故0＜a≤，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 熱點(diǎn)二　和不等式有關(guān)的應(yīng)用題 例2　秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田，花137 600元購(gòu)買了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入6萬(wàn)元(已減去所用柴油費(fèi))；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng)，所付費(fèi)用y(元)與使用年數(shù)

6、n的關(guān)系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費(fèi)1 800元，第五年付費(fèi)6 000元． (1)試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； (2)這臺(tái)收割機(jī)使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費(fèi)用－購(gòu)買機(jī)械費(fèi)用) 解　(1)依題意知，當(dāng)n＝2時(shí)，y＝1 800； 當(dāng)n＝5時(shí)，y＝6 000， 即解得 所以f(n)＝ (2)記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)] ＝60 000－ ＝60 000－(1

7、37 200＋700n2－300n) ＝60 300－≤60 300－2＝40 700， 當(dāng)且僅當(dāng)700n＝，即n＝14時(shí)取等號(hào)． 所以這臺(tái)收割機(jī)使用14年，可使年均收益最大． 思維升華　運(yùn)用基本不等式求解應(yīng)用題時(shí)，要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件． 跟蹤演練2　小張于年初支出50萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元．小張?jiān)谠撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為(25－x)萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為1

8、0年)． (1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤(rùn)最大？ (利潤(rùn)＝累計(jì)收入＋銷售收入－總支出) 解　(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬(wàn)元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*， 即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*， 由－x2＋20x－50＞0， 解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3， 故從第三年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出． (2)因?yàn)槔麧?rùn)＝累計(jì)收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤(rùn)為 ＝[y＋(

9、25－x)]＝(－x2＋19x－25) ＝19－， 又19－≤19－2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立． 答　第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤(rùn)最大． 熱點(diǎn)三　和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例3　(2018·鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點(diǎn)D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點(diǎn)A，B間距離為1米， AB與桿AC的夾角為60°，桿AC長(zhǎng)為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設(shè)∠ADB＝α，則制作整個(gè)支架的總成本記為S元． (1)求S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并求出α的取值范圍； (

10、2)問AD段多長(zhǎng)時(shí)，S最??？ 解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝， ∴BD＝， AD＝＋， 則S＝a＋ 2a ＋ 4a＝a， 由題意得α∈. (2)令S′＝a·＝0，設(shè)cos α0＝. α α0 cos α S′ － 0 ＋ S  極小值  ∴當(dāng)cos α＝時(shí)， S最小，此時(shí)sin α＝， AD＝＋＝. 思維升華　諸如航行、建橋、測(cè)量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，用三角函數(shù)知識(shí)來求解． 跟蹤演練3　某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設(shè)計(jì)要求

11、彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))．彩門的下底BC固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長(zhǎng)度和記為l. (1)請(qǐng)將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)； (2)問當(dāng)α為何值時(shí)l最小，并求最小值． 解　(1)過D作DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示． 則∠DCB＝α，DH＝h， 則DC＝，CH＝. 設(shè)AD＝x，BC＝x＋. 因?yàn)镾＝·h，則x＝－， 則l＝f(α)＝2DC＋AD ＝＋h. (2)由(1)可知，l＝f(α)＝＋h， 則f′(α)＝h·＝h·， 令f′(α)＝h·＝0，得α＝. α

12、 f′(α) － 0 ＋ f(α)  極小值  所以lmin＝f?＝h＋. 1．某學(xué)校有長(zhǎng)度為14 m 的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動(dòng)室，工程條件是：①建1 m新墻的費(fèi)用為a元；②修1 m舊墻的費(fèi)用是元；③ 拆去1 m舊墻所得的材料，建1 m新墻的費(fèi)用為元，經(jīng)過討論有兩種方案： (1)利用舊墻的一段x m(0

13、形另一邊長(zhǎng)為 m. (1)當(dāng)0＜x＜14時(shí)， 總費(fèi)用f(x)＝x＋(14－x)＋a ＝7a≥35a， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)取最小值35a. (2)當(dāng)x≥14時(shí)， 總費(fèi)用f(x)＝×14＋a ＝2a， 則f′(x)＝2a＞0， 故f(x)在[14，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝14時(shí)取最小值35.5a. 答　第(1)種方案最省，即當(dāng)x＝12 m時(shí)，總費(fèi)用最省，為35a元． 2．某油庫(kù)的容量為31萬(wàn)噸，年初儲(chǔ)油量為10萬(wàn)噸，從年初起計(jì)劃每月月初先購(gòu)進(jìn)石油m萬(wàn)噸，然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求．若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬(wàn)噸，區(qū)域外前x個(gè)月的需求量y(萬(wàn)噸)與x的函數(shù)

14、關(guān)系為y＝5＋(p＞0,1≤x≤10，x∈N*)．已知前4個(gè)月區(qū)域外的需求量為15萬(wàn)噸． (1)試寫出第x個(gè)月石油調(diào)出后，油庫(kù)內(nèi)儲(chǔ)油量M(x)(萬(wàn)噸)的函數(shù)表達(dá)式； (2)要使油庫(kù)中的石油在前10個(gè)月內(nèi)任何時(shí)候都不超出油庫(kù)的容量，又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，求m的取值范圍． 解　(1)因?yàn)榍?個(gè)月區(qū)域外的需求量為15萬(wàn)噸， 所以15＝5＋， 則p＝25，y＝5＋5(1≤x≤10，x∈N*)． M(x)＝10＋mx－x－(5＋5)＝mx－x－5＋5 (1≤x≤10，x∈N*)． (2)因?yàn)榈趚個(gè)月的月初購(gòu)進(jìn)石油后，儲(chǔ)油量不能多于31萬(wàn)噸，所以M(x－1)＋m≤31， 即10＋

15、mx－(x－1)－(5＋5)≤31， 則mx－x－5≤25， 此式對(duì)一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 令＝t， 則m≤＋1(t＝，k＝0,1，…，9)恒成立， 令u＝t＋5，m≤＋1(u＝5＋，k＝0,1，…，9)恒成立， 因?yàn)閡＋－10在u＝8時(shí)取得最大值， 所以＋1的最小值為5，則m≤5. 另一方面，第x個(gè)月調(diào)出石油后，儲(chǔ)油量不能少于0萬(wàn)噸， 所以M(x)≥0，即mx－x－5＋5≥0. 即m≥－＋＋1， 此式對(duì)一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 所以m≥－52＋， 此式對(duì)一切1≤x≤10(x∈N*)恒成立， 則m≥(x＝4時(shí)取等號(hào))． 綜上所述，≤m≤5

16、 答　每月購(gòu)進(jìn)石油m的取值范圍是. A組　專題通關(guān) 1．某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價(jià)是3元，年銷售量為100萬(wàn)件．為獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x(單位：十萬(wàn)元)時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表 x(十萬(wàn)元) 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果把利潤(rùn)看作是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤(rùn)S(十萬(wàn)元)與廣告費(fèi)x(十萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式； (3)如果投入的年廣告費(fèi)為x，x∈[10,30]萬(wàn)元，問廣告

17、費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？ 解　(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由關(guān)系表，得解得 ∴函數(shù)的解析式為y＝－x2＋x＋1(x≥0)． (2)根據(jù)題意，得S＝10y(3－2)－x＝－x2＋5x＋10(x≥0)． (3)S＝－x2＋5x＋10＝－2＋， ∵1≤x≤3，∴當(dāng)1≤x≤2.5時(shí)，S隨x的增大而增大． 故當(dāng)年廣告費(fèi)為10～25萬(wàn)元之間，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大． 2．在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成

18、一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b. (1)當(dāng)a＝90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值； (2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值． 解　(1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600平方厘米， 故當(dāng)a＝90時(shí)，b＝40， 從而包裝盒子的側(cè)面積 S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x) ＝－8x2＋260x，x∈(0,20) . 因?yàn)镾＝－8x2＋260x＝－82＋， 故當(dāng)x＝ 時(shí)，側(cè)面積最大，最大值為平方厘米． (2)包裝盒子的體積V＝(a－2x)(b－2x)x ＝x[a

19、b－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60. V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2) ＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時(shí)等號(hào)成立． 設(shè)f (x)＝4x3－240x2＋3 600x，x∈(0,30)． 則f′(x)＝12(x－10)(x－30)． 于是當(dāng)0＜x＜10時(shí)，f′(x)＞0， 所以f (x)在(0,10)上單調(diào)遞增； 當(dāng)10＜x＜30時(shí)，f′(x)＜0， 所以f (x)在(10,30)上單調(diào)遞減． 因此當(dāng)x＝10時(shí)，f(x)有最大值f(10)＝16 000， 此時(shí)a＝b＝60

20、，x＝10. 所以當(dāng)a＝b＝60，x＝10時(shí)紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米． 3．(2018·蘇州模擬)某“T” 型水渠南北向?qū)挒? m，東西向?qū)挒?m，其俯視圖如圖所示．假設(shè)水渠內(nèi)的水面始終保持水平位置． (1)過點(diǎn)A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點(diǎn)，且與水渠的一邊的夾角為θ(θ為銳角)，將線段PQ的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)； (2)若從南面漂來一根長(zhǎng)度為7 m的筆直的竹竿(粗細(xì)不計(jì))，竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會(huì)卡住)？試說明理由． 解　(1)由題意得，PA＝，QA＝， 所以l＝PA＋QA＝＋. (2

21、)設(shè)f(θ)＝＋， 由f′(θ)＝－＋＝， 令f′(θ)＝0，得tan θ0＝. 且當(dāng)θ∈(0，θ0)時(shí)，f′<0；當(dāng)θ∈時(shí)，f′(θ)>0， 所以f在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)θ＝θ0時(shí)，f取得極小值，即為最小值． 當(dāng)tan θ0＝時(shí)，sin θ0＝，cos θ0＝， 所以f的最小值為3， 即這根竹竿能通過拐角處的長(zhǎng)度的最大值為3 m. 因?yàn)?>7，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠． 答　竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠． 4．(2018·江蘇啟東中學(xué)月考)園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為r米，圓心角為θ(弧度)的扇形觀景水池，其中θ∈， O

22、為扇形AOB的圓心，同時(shí)緊貼水池周邊(即 OA，OB和θ所對(duì)的圓弧)建設(shè)一圈理想的無(wú)寬度步道．要求總預(yù)算費(fèi)用不超過24萬(wàn)元，水池造價(jià)為每平方米400元，步道造價(jià)為每米1 000元． (1)若總費(fèi)用恰好為24萬(wàn)元，則當(dāng)r和θ分別為多少時(shí)，可使得水池面積最大，并求出最大面積； (2)若要求步道長(zhǎng)為105米，則可設(shè)計(jì)出的水池最大面積是多少？ 解　(1)弧長(zhǎng)AB為θr，扇形AOB面積為S＝θr2, 則400×θr2＋1 000＝240 000. 即θr2＋5＝1 200. 所以θ＝. S＝θr2＝××r2＝650－5≤650－5×2＝400. 當(dāng)且僅當(dāng)r＋5＝，即r＝20時(shí)取等號(hào)

23、，此時(shí)θ＝2∈. 答　r＝20, θ＝2，面積最大值為400平方米． (2) 由θr＋2r＝105，得出θ＝， ∴S＝θr2＝r， 所以 所以所以45≤r<. ∴S＝θr2＝r， r∈， 所以當(dāng)r＝45, θ＝時(shí)，水池的最大面積為337.5平方米． 答　 r的取值范圍為，且當(dāng)r＝45, θ＝時(shí)，水池的最大面積為337.5平方米． B組　能力提高 5．(2018·南通模擬)如圖，某機(jī)械廠欲從AB＝2米，AD＝2米的矩形鐵皮中裁剪出一個(gè)四邊形ABEF加工成某儀器的零件，裁剪要求如下：點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且EB＝EF，AF

24、為f(θ)(單位：平方米)． (1)求f(θ)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，求出定義域； (2)當(dāng)BE，AF的長(zhǎng)為何值時(shí)，裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，并求出最小值． 解　(1)過點(diǎn)F作FM⊥BE，垂足為M. 在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ， 所以EF＝，ME＝， 故AF＝BM＝EF－EM＝－， 所以f(θ)＝(AF＋BE)×AB ＝××2＝－. 根據(jù)題意得，AF

25、僅當(dāng)3tan＝時(shí)，不等式取等號(hào)， 又θ∈，∈， 故tan＝，＝，θ＝. BE＝＝，AF＝－＝. 答　當(dāng)BE，AF的長(zhǎng)度分別為米，米時(shí)，裁剪出的四邊形ABEF的面積最小，最小值為2平方米． 6．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)圖(Ⅰ)是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖(Ⅱ)所示的數(shù)學(xué)模型．索塔AB，CD與橋面AC均垂直，通過測(cè)量知兩索塔的高度均為60 m，橋面AC上一點(diǎn)P到索塔AB，CD距離之比為21∶4，且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35°. 　 (1)求兩索塔之間橋面AC的長(zhǎng)度； (2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡(jiǎn)單抽象為：某索塔

26、對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b)．問兩索塔對(duì)橋面何處的“承重強(qiáng)度”之和最??？并求出最小值． 解　(1)設(shè)AP＝21t，PC＝4t(t>0)，記∠APB＝α，∠CPD＝β， 則tan α＝＝，tan β＝＝， 由tan(α＋β)＝tan 45°＝＝＝1， 化簡(jiǎn)得 7t2－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－(舍去), 所以AC＝AP＋PC＝25×20＝500. 答　兩索塔之間的距離AC為500米． (2)設(shè)AP＝x，點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為L(zhǎng)(x)． 則L(x)＝60，且x∈(0,500)

27、， 即L(x)＝60ab，x∈(0,500)， 記l(x)＝＋，x∈(0,500)， 則l′(x)＝＋，　　　 令l′(x)＝0，解得x＝250， 當(dāng)x∈(0,250)，l′(x)<0時(shí)，l(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(250,500)，l′(x)>0時(shí)，l(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝250時(shí)，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值. 答　兩索塔對(duì)橋面AC中點(diǎn)處的“承重強(qiáng)度”之和最小，且最小值為. 7．(2018·江蘇姜堰、溧陽(yáng)、前黃中學(xué)聯(lián)考)科學(xué)研究證實(shí)，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡(jiǎn)稱碳排放)對(duì)全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門對(duì)A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550

28、萬(wàn)噸，否則將采取緊急限排措施．已知A市2017年的碳排放總量為400萬(wàn)噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%.同時(shí)，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬(wàn)噸. (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)； (2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍． 解　設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，…， (1)由已知得， a1＝400×0.9＋m， a2＝0.9×＋m＝400×0.92＋0.9m＋m＝324＋1.9m. (2)a3＝0.9×＋m ＝400×0.93＋0.92m＋0.9m＋m， … an＝400×0.9n＋0.9n－1m＋0.9n－2m＋…＋0.9m＋m ＝400×0.9n＋m＝400×0.9n＋10m ＝×0.9n＋10m. 由已知有?n∈N*，an≤550. ①當(dāng)400－10m＝0，即m＝40時(shí)，顯然滿足題意； ②當(dāng)400－10m>0，即m<40時(shí)， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得×0.9＋10m≤550，解得m≤190. 綜合得m<40； ③當(dāng)400－10m<0，即m>40時(shí)， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m≤550，解得m≤55， 綜合得40