（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第2講 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案

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1、 第2講　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　復數(shù)的有關(guān)概念 1．復數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0，b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． 2．復數(shù)相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 3．共軛復數(shù) a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． 4．復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 考點2

2、　復數(shù)的幾何意義 考點3　復數(shù)的運算 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 2．減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 4．除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． [必會結(jié)論] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 4．i4n＋i4n＋1

3、＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)方程x2＋1＝0沒有解．(　　) (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (3)復數(shù)的模等于復數(shù)在復平面上對應的點到原點的距離，也等于復數(shù)對應的向量的模．(　　) (4)已知復數(shù)z的共軛復數(shù)＝1＋2i，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限．(　　) (5)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．[2017·全國卷Ⅲ]復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于(

4、　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數(shù)z＝－1－2i所對應的復平面內(nèi)的點為Z(－1，－2)，位于第三象限． 故選C. 3．[2017·全國卷Ⅱ]＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析?。剑剑?－i. 故選D. 4．[2018·榆林模擬]設復數(shù)z＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復數(shù)為，則|(1＋z)·|等于(　　) A. B．2 C．5 D. 答案　D 解析　∵z＝－2＋i，∴＝－2－i， ∴|(1＋z)·|＝|(1－2＋

5、i)·(－2－i)|＝|3－i|＝＝，故選D. 5．[2017·江蘇高考]已知復數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________． 答案　 解析　∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i， ∴|z|＝＝. |z|＝|1＋i||1＋2i|＝×＝. 6．[2018·湖北高中聯(lián)考]已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則－z2的共軛復數(shù)是________． 答案　1＋3i 解析　－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復數(shù)是1＋3i. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　復數(shù)的有關(guān)概念 例　1　(1)[2017·全國

6、卷Ⅰ]下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 答案　C 解析　A項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C. (2)[2017·天津高考]已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為________． 答案?。? 解析　∵a∈R，＝＝＝－i為實數(shù)，∴－＝0，∴a＝－2. 觸類旁通 求解與復數(shù)概念相關(guān)問題

7、的技巧 復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部和虛部有關(guān)，所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解． 【變式訓練1】　(1)若復數(shù)z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則的虛部為(　　) A．－ B．－i C. D.i 答案　A 解析　由題意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根據(jù)虛部的概念，可得的虛部為－.故選A. (2)[2018·福州調(diào)研]已知m∈R，i為虛數(shù)單位，若>0，則m＝(　　) A．1 B. C. D．－2 答案　B 解析　由已知得＝＝ ，由

8、>0，可得1－2m＝0，則m＝，選B. 考向　復數(shù)的幾何意義 例　2　(1)[2017·北京高考]若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　B 解析　∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i， 又∵復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，∴解得a＜－1.故選B. (2)[2018·貴陽模擬]已知i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，復數(shù)z＝在復平面上對應的點在y軸上，則a＝________. 答案　－3 解析　z＝＝＝

9、，由a＋3＝0，得a＝－3. 觸類旁通 復數(shù)幾何意義的理解及應用 復數(shù)集與復平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間存在著一一對應關(guān)系，每一個復數(shù)都對應著一個點(有序?qū)崝?shù)對)．復數(shù)的實部對應著點的橫坐標，而虛部則對應著點的縱坐標，只要在復平面內(nèi)找到這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點，就可根據(jù)點的位置判斷復數(shù)實部、虛部的取值． 【變式訓練2】　(1)[2018·邯鄲?？糫已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)a的值可以是(　　) A．－2 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　z＝＝＝，因為復數(shù)z＝在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，所以解得－4

10、復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面上對應的點分別為A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________． 答案　1 解析　由條件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，由＝λ＋μ，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴解得∴λ＋μ＝1. 考向　復數(shù)的代數(shù)運算 命題角度1　復數(shù)的乘法運算 例　3　[2017·山東高考]已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　) A．1或－1 B.或－ C．－ D. 答案　A 解析　依題意得(a＋i)(a－i)＝4，即a

11、2＋3＝4，∴a＝±1.故選A. 命題角度2　復數(shù)的除法運算 例　4　[2015·全國卷Ⅰ]設復數(shù)z滿足＝i，則|z|＝(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　由題意知1＋z＝i－zi， 所以z＝＝＝i，所以|z|＝1. 命題角度3　復數(shù)的混合運算 例　5　[2018·紹興模擬]i是虛數(shù)單位，2018＋7＝________. 答案　0 解析　原式＝1009＋7＝1009＋i7＝i4×252＋1＋i3＝i－i＝0. 觸類旁通 復數(shù)的混合運算與實數(shù)的混合運算類似，需要注意in的運算周期性． 【變式訓練3】　[2018·香坊模擬]已知復數(shù)z＝＋，a∈R，

12、若復數(shù)z對應的點在復平面內(nèi)位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<0 C．01.故選A. 核心規(guī)律 1．實軸上的點都表示實數(shù)．除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)． 2．設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法． 3．在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法法則需分母實數(shù)化． 滿分策略 1．判定復數(shù)是不是實數(shù)，僅注意虛部等于0是不夠的，還需考慮

13、它的實部是否有意義． 2．注意復數(shù)和虛數(shù)是包含關(guān)系，不能把復數(shù)等同為虛數(shù)，如虛數(shù)不能比較大小，但說兩個復數(shù)不能比較大小就不對了． 3．注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 數(shù)學思想系列12——解決復數(shù)問題的實數(shù)化思想 [2018·金華模擬]已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i. 解題視點　設z＝a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)已知中恒等的條件，列出一組含a，b的方程，解方程組使問題獲得解決． 解　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則(a＋b

14、i)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i. 根據(jù)復數(shù)相等的定義，得 解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i. 答題啟示　(1)復數(shù)問題要把握一點，即復數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復數(shù)問題最基本的思想方法. (2)本題求解的關(guān)鍵是先把z用復數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解，這是常用的數(shù)學方法. (3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解. 跟蹤訓練 [2018·金版創(chuàng)新]設復數(shù)z滿足z＋||＝2＋i，則z＝(　　) A．－＋i B.＋i C．－－i D.－i 答案　B 解析　設z＝a＋bi(a，b∈R

15、)，由已知得a＋bi＋＝2＋i，由復數(shù)相等可得∴故z＝＋i，故選B. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2017·全國卷Ⅲ]設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i， ∴|z|＝.故選C. ∵2i＝(1＋i)2， ∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝.故選C. 2．[2018·湖南模擬]已知＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　D 解析　由＝1＋i，得z＝

16、＝＝ ＝－1－i. 3．[2018·江西模擬]已知復數(shù)z1＝cos23°＋isin23°和復數(shù)z2＝cos37°＋isin37°，則z1·z2為(　　) A.＋i B.＋i C.－i D.－i 答案　A 解析　z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i.故選A. 4．設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，則＝(　　) A．1＋i B.＋i C．1＋i D．1＋i 答案　B 解析　因為復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所

17、以＝＝＝＋i.故選B. 5．[2018·天津模擬]已知復數(shù)z滿足(i－1)(z－i3)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．i－1 B．1＋2i C．1－i D．1－2i 答案　B 解析　依題意可得z＝＋i3＝－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共軛復數(shù)為1＋2i，故選B. 6．已知a為實數(shù)，若復數(shù)z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則＝(　　) A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 答案　D 解析　z＝(a2－1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，則有＝＝＝1－i，選D. 7．[2018·郴州模擬]設z＝1－i

18、(i是虛數(shù)單位)，若復數(shù)＋z2在復平面內(nèi)對應的向量為，則向量的模是(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　z＝1－i(i是虛數(shù)單位)， 復數(shù)＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1－i. 向量的模：＝.故選B. 8．[2018·溫州模擬]滿足＝i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)是________． 答案?。? 解析　由已知得z＋i＝zi，則z(1－i)＝－i， 即z＝＝＝＝－. 9．若＝1－bi，其中a，b都是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|＝________. 答案　 解析　∵a，b∈R，且＝1－bi，則a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴

19、 ∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝. 10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1. 所以a2＋b2＝5，ab＝2. [B級　知能提升] 1．[2018·成都模擬]已知復數(shù)z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，線段AB的中點C對應的復數(shù)為 z，則|z|＝(　　) A. B．5 C．2 D．2 答案　A 解析　復數(shù)z1＝2＋6i

20、，z2＝－2i，若z1，z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A(2,6)，B(0，－2)，線段AB的中點C(1，2)對應的復數(shù)為z＝1＋2i，則|z|＝＝.故選A. 2．[2017·全國卷Ⅰ]設有下面四個命題 p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　設z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

21、對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2為假命題． 對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命

22、題．故選B. 3．[2018·廈門模擬]已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為________． 答案　 解析　∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由圖可知max＝＝. 4．已知復數(shù)z＝bi(b∈R)，是實數(shù)，i是虛數(shù)單位． (1)求復數(shù)z； (2)若復數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)因為z＝bi(b∈R)， 所以＝＝＝＝＋i. 又因為是實數(shù)，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i. (2)因為z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因為復數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)． 5．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：①z＋是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由． 解　存在．設z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 則z＋＝a＋bi＋ ＝a＋bi. 又z＋3＝a＋3＋bi實部與虛部互為相反數(shù)，z＋是實數(shù)，根據(jù)題意有 因為b≠0，所以 解得或 所以z＝－1－2i或z＝－2－i. 11