(浙江專用)2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 5 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案

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1、第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 R R {x|x≠kπ+,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 函數(shù)的最值 最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+,k∈Z;最小值-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-,k∈Z 最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z; 最小值-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-π,k∈Z 無最大值和最小值 單調(diào)性 增區(qū)間[2kπ-,2kπ+](k∈Z); 減區(qū)間[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 增區(qū)間[2kπ-π,2kπ](k∈Z)

2、; 減區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 增區(qū)間(kπ-,kπ+)(k∈Z) 奇偶 性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 周期 性 周期為2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為2π 周期為2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為2π 周期為kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為π 對稱性 對稱 中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z ,k∈Z 對稱軸 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z 無對稱軸 零點(diǎn) kπ,k∈Z kπ+,k∈Z kπ,k∈Z 2.周期函數(shù)的定義 對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=

3、f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期;函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均為T=;函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為T=. 3.對稱與周期 正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期;正切曲線相鄰的兩個對稱中心之間的距離是半個周期. [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)y=cos x在第一、二象限內(nèi)是減函數(shù).(  ) (2)若y=ksin x+1,x∈R,則y的最大值是k+1.(  ) (3)若非零實(shí)數(shù)T是

4、函數(shù)f(x)的周期,則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.(  ) (4)函數(shù)y=sin x圖象的對稱軸方程為x=2kπ+(k∈Z).(  ) (5)函數(shù)y=tan x在整個定義域上是增函數(shù).(  ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化] 1.(必修4P46A組T2,3改編)若函數(shù)y=2sin 2x-1的最小正周期為T,最大值為A,則T=________,A=________. 解析:最小正周期T==π,最大值A(chǔ)=2-1=1. 答案:π 1 2.(必修4P40練習(xí)T4改編)下列關(guān)于函數(shù)y=4sin x,x∈[-π,π]的單調(diào)性的敘述,正確

5、的是________(填序號). ①在[-π,0]上是增函數(shù),在[0,π]上是減函數(shù); ②在上是增函數(shù),在及上是減函數(shù); ③在[0,π]上是增函數(shù),在[-π,0]上是減函數(shù); ④在及上是增函數(shù),在上是減函數(shù). 解析:函數(shù)y=4sin x在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 答案:② 3.(必修4P45練習(xí)T3改編)y=tan 2x的定義域是________. 解析:由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以y=tan 2x的定義域是. 答案: [易錯糾偏] (1)忽視y=Asin x(或y=Acos x)中A對函數(shù)單調(diào)性的影響; (2)忽視定義域的限制; (3)忽視正切

6、函數(shù)的周期; (4)不化為同名函數(shù)以及同一單調(diào)區(qū)間導(dǎo)致比較大小出錯. 1.函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間為________. 解析:函數(shù)y=1-2cos x的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)y=cos x的遞增區(qū)間. 答案:[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) 2.函數(shù)f(x)=3sin(2x-)在區(qū)間[0,]上的值域為________. 解析:當(dāng)x∈[0,]時,2x-∈[-,], 所以sin∈[-,1], 故3sin∈[-,3], 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的值域是[-,3]. 答案:[-,3] 3.函數(shù)y=tan圖象的對稱中心是________. 解析:由x+=,得

7、x=-,k∈Z. 答案:(k∈Z) 4.cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小關(guān)系是________. 解析:sin 68°=cos 22°, 又y=cos x在[0°,180°]上是減函數(shù), 所以sin 68°>cos 23°>cos 97°. 答案:sin 68°>cos 23°>cos 97°       三角函數(shù)的定義域和值域 (1)函數(shù)f(x)=sin2x+cos x-的最大值是________. (2)函數(shù)y=lg(2sin x-1)+的定義域是________. 【解析】 (1)依題意,f(x)=sin2x+cos x-=-cos2x+

8、cos x+=-+1, 因為x∈,所以cos x∈[0,1], 因此當(dāng)cos x=時,f(x)max=1. (2)要使函數(shù)y=lg(2sin x-1)+有意義, 則 即 解得2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z. 即函數(shù)的定義域為,k∈Z. 【答案】 (1)1 (2),k∈Z (1)三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. (2)三角函數(shù)值域的不同求法 ①利用sin x和cos x的值域直接求; ②把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; ③(換元法)把sin x或cos

9、x看作一個整體,轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域; ④(換元法)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.   (2020·溫州市十校聯(lián)合體期初)已知函數(shù)f(x)=2cos x·(sin x-cos x),x∈R,則f=________,f(x)的最大值是________. 解析:f(x)=2cos x(sin x-cos x) =2cos xsin x-2cos2x =sin 2x-1-cos 2x =sin-1. 當(dāng)x=時,f=sin-1=0. 由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得,sin的最大值為1. 所以f(x)的最大值為-1. 答案:0?。?

10、      三角函數(shù)的單調(diào)性(高頻考點(diǎn)) 三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點(diǎn),題型既有選擇題也有填空題,或在解答題某一問出現(xiàn),難度為中檔題.主要命題角度有: (1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù); (3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大??; (4)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值). 角度一 求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【解】 (1)由sin =,cos =-,f=--2××,得f=2. (2)由cos

11、 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2kπ≤2x+≤+2kπ, k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 角度二 已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 函數(shù)f(x)=sin(x+φ)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則常數(shù)φ的值可能是(  ) A.0 B. C.π D. 【解析】 法一:結(jié)合選項,當(dāng)φ分別取選項中的值時, A:f(x)=sin x;B:f(x)=cos x;C:f(x)=-sin x;D

12、:f(x)=-cos x.驗證得D選項正確. 法二:?f(x)的遞增區(qū)間, ?, ?-+2kπ≤φ≤-+2kπ(k∈Z), k=0,選項中無值符合;k=1,≤φ≤,φ=符合; k=2,≤φ≤,選項中無值符合.可知φ的可取值逐漸增大,故只有D選項符合題意. 【答案】 D 角度三 利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小 已知函數(shù)f(x)=2sin,設(shè)a=f,b=f,c=f,則a,b,c的大小關(guān)系是(  ) A.a(chǎn)

13、因為y=sin x在上遞增,所以c

14、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而利用它們之間的關(guān)系可求解,另外,若是選擇題,利用特值驗證排除法求解更為簡捷. (3)利用單調(diào)性比較大小的方法 首先利用誘導(dǎo)公式把已知角轉(zhuǎn)化為同一區(qū)間內(nèi)的角且函數(shù)名稱相同,再利用其單調(diào)性比較大?。? 1.(2020·浙江寧波質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=2sin ωx在區(qū)間上的最小值為-2,則ω的取值范圍是(  ) A.∪[6,+∞) B.∪ C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪ 解析:選D.當(dāng)ω>0時,由題意知-ω≤-, 即ω≥; 當(dāng)ω<0時,由題意知ω≤-,所以ω≤-2. 綜上可知,ω的取值范圍是∪. 2.函數(shù)f(x)=sin在區(qū)

15、間上的最小值為  (  ) A.-1           B.- C. D.0 解析:選B.由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函數(shù)f(x)=sin(2x-)在區(qū)間上的最小值為-. 3.函數(shù)y=sin的單調(diào)減區(qū)間為________. 解析:(同增異減法)y=-sin, 它的減區(qū)間是y=sin的增區(qū)間. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故其單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z. 答案:(k∈Z)       三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2 x+bsin x+c,則f(x)的最小正周期(  ) A

16、.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān) C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān) (2)已知ω>0,f(x)=,f的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,則ω的最小值為(  ) A. B.1 C. D.2 (3)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函數(shù),直線y=與函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為,則(  ) A.f(x)在上單調(diào)遞減 B.f(x)在上單調(diào)遞減 C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.f(x)在上單調(diào)遞增 【解析】 (1)由于f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin

17、x+c.當(dāng)b=0時,f(x)的最小正周期為π;當(dāng)b≠0時,f(x)的最小正周期為2π.c的變化會引起f(x)圖象的上下平移,不會影響其最小正周期.故選B. (2)因為f(x)==tan, 所以f=tan, 因為f的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱, 所以tan+tan=0, 即tan=tan, 所以=-ωπ-+kπ,(k∈Z),ω=-+k,(k∈Z), 因為ω>0,所以當(dāng)k=1時,ω取最小值為,故選A. (3)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),因為0<φ<π且f(x)為奇函數(shù),所以φ=,即f(x)=-sin ωx,又直線y=與函數(shù)f(x)的圖

18、象的兩個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為,由=,可得ω=4,故f(x)=-sin 4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此時f(x)在上單調(diào)遞增. 【答案】 (1)B (2)A (3)D 三角函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期問題的解題思路 (1)奇偶性的判斷方法:三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函數(shù)一般可化為y=Acos ωx+b的形式. (2)周期的計算方法:利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期為,函數(shù)y=Atan(ωx

19、+φ)(ω>0)的周期為求解. (3)解決對稱性問題的關(guān)鍵:熟練掌握三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心. [提醒] 對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線x=x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時,可通過檢驗f(x0)的值進(jìn)行判斷.  1.(2020·舟山市普陀三中高三期中)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)為偶函數(shù),則φ=(  ) A.           B. C. D. 解析:選C.f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=sin, 因為函數(shù)f(x

20、)為偶函數(shù), 所以f(-x)-f(x) =sin-sin=0, 即sin=sin, 所以-2x+φ+=2x+φ++2kπ,或-2x+φ++2x+φ+=π+kπ, 即x=-,k∈Z(舍)或φ=+,k∈Z. 因為|φ|<,所以φ=. 2.(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin 2x(1-2sin2x)+1,則f(x)的最小正周期T=________,f(T)=________. 解析:由題意得,f(x)=sin 2xcos 2x+1=sin 4x+1,所以最小正周期T==,f(T)=f=1. 答案: 1 3.已知函數(shù)f(x)=sin x的圖象與直線kx-

21、y-kπ=0(k>0)恰有三個公共點(diǎn),這三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為x1,x2,x3,則=________. 解析:如圖所示,易知x2=π,x1+x3=2x2=2π, 則k==, 又直線與y=sin x相切于點(diǎn)A(x3,sin x3), 則k=cos x3, 則=cos x3?==,故答案為. 答案: 核心素養(yǎng)系列7 數(shù)學(xué)抽象——三角函數(shù)中ω值的求法 一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解 若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是________. 【解析】 令+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),得+≤x≤+,因為f(x)在上單調(diào)遞減,所以得

22、6k+≤ω≤4k+3.又ω>0,所以k≥0,又6k+<4k+3,得0≤k<,所以k=0.即≤ω≤3. 【答案】  根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,建立不等式,即可求ω的取值范圍.  二、利用三角函數(shù)的對稱性求解 (1)已知函數(shù)f(x)=cos(ω>0)的一條對稱軸為x=,一個對稱中心為點(diǎn),則ω有(  ) A.最小值2      B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 (2)若函數(shù)y=cos(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是,則ω的最小值為________. 【解析】 (1)因為函數(shù)

23、的中心到對稱軸的最短距離是,兩條對稱軸間的最短距離是,所以中心到對稱軸x=間的距離用周期可表示為-=+(k∈N,T為周期),解得(2k+1)T=π,又T=,所以(2k+1)·=π,則ω=2(2k+1),當(dāng)k=0時,ω=2最?。蔬xA. (2)依題意得cos=0,則+=+kπ(k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ω的最小值為=2. 【答案】 (1)A (2)2 三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為,相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為,這就說明,我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性,進(jìn)而可以研究“ω”的取值.值得一提的是,三角函數(shù)的對稱軸

24、必經(jīng)過其圖象上的最高點(diǎn)(極大值)或最低點(diǎn)(極小值),函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn),這就說明,我們也可利用三角函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期,進(jìn)而可以確定“ω”的取值.  三、利用三角函數(shù)的最值求解 已知f(x)=sin(ωx+)(ω>0),f=f(),且f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值,則ω=________. 【解析】 因為f=f,而=,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,又f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值,所以f(x)min=f=sin=-1,所以+=kπ+,k∈Z,解得ω=4k+.再由f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值

25、,得≥-,解得ω≤6,所以k=0,ω=. 【答案】  利用三角函數(shù)的最值與對稱或周期的關(guān)系,可以列出關(guān)于ω的不等式,進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.  [基礎(chǔ)題組練] 1.最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x=對稱的函數(shù)是(  ) A.y=2sin       B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:選B.由函數(shù)的最小正周期為π,可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱知,該直線過函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對于A,因為sin=sin π=0,所以選項A不正確.對于D,sin=sin=,所以D不正確,對于B,sin=sin=1,所以選項B正確,故選B. 2.

26、(2020·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)函數(shù)y=sin(ωx+)在x=2處取得最大值,則正數(shù)ω的最小值為(  ) A.     B. C.     D. 解析:選D.由題意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),解得ω=+kπ(k∈Z),因為ω>0,所以當(dāng)k=0時,ωmin=,故選D. 3.(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)下列四個函數(shù):y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π為周期,在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的是(  ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|tan x| D.y=-ln|sin

27、x| 解析:選D.A.y=sin|x|在上單調(diào)遞增,故A錯誤;B.y=cos|x|=cos x周期為T=2π,故B錯誤;C.y=|tan x|在上單調(diào)遞增,故C錯誤;D.f(x+π)=-ln|sin(x+π)|=-ln|sin x|,周期為π,當(dāng)x∈時,y=-ln(sin x)是在上單調(diào)遞減的偶函數(shù),故D正確,故選D. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+),則下列結(jié)論錯誤的是(  ) A.f(x)的一個周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 C.f(x+π)的一個零點(diǎn)為x= D.f(x)在(,π)上單調(diào)遞減 解析:選D.根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2π

28、,所以函數(shù)的一個周期為-2π,A正確;當(dāng)x=時,x+=3π,所以cos=-1,所以B正確;f(x+π)=cos=cos,當(dāng)x=時,x+=,所以f(x+π)=0,所以C正確;函數(shù)f(x)=cos在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故D不正確.所以選D. 5.若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有最值,則ω的取值范圍是(  ) A.∪ B.∪ C. D. 解析:選B.易知函數(shù)y=sin x的單調(diào)區(qū)間為 [kπ+,kπ+],k∈Z, 由kπ+≤ωx+≤kπ+,k∈Z,得≤x≤,k∈Z, 因為函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有最值, 所以f(x)在

29、區(qū)間(π,2π)內(nèi)單調(diào), 所以(π,2π)?,k∈Z, 所以k∈Z,解得k+≤ω≤+,k∈Z, 由k+≤+,得k≤, 當(dāng)k=0時,得≤ω≤; 當(dāng)k=-1時,得-≤ω≤. 又ω>0,所以0<ω≤. 綜上,得ω的取值范圍是∪.故選B. 6.已知函數(shù)f(x)=sin,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是(  ) A. B. C. D. 解析:選A.由題意,得f′(x)=2cos,所以y=2f(x)+f′(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以y=

30、2f(x)+f′(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為,故選A. 7.函數(shù)y=lg sin x+ 的定義域為________. 解析:要使函數(shù)有意義,則有 即解得(k∈Z), 所以2kπ

31、考)已知函數(shù)y=sin x的定義域為[a,b],值域為,則b-a的最大值和最小值之差等于________. 解析:如圖,當(dāng)x∈[a1,b]時,值域為且b-a最大;當(dāng)x∈[a2,b]時,值域為,且b-a最小,所以最大值與最小值之差為(b-a1)-(b-a2)=a2-a1=--=. 答案: 10.(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)質(zhì)檢)已知f(x)=sin 2x-cos 2x,若對任意實(shí)數(shù)x∈,都有|f(x)|

32、答案:[,+∞) 11.(2020·杭州市名校協(xié)作體高三下學(xué)期考試)已知0≤φ<π,函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)+sin2x. (1)若φ=,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若f(x)的最大值是,求φ的值. 解:(1)由題意f(x)=cos 2x-sin 2x+ =cos+, 由2kπ-π≤2x+≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ-. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (2)由題意f(x)=cos 2x-sin φsin 2x+,由于函數(shù)f(x)的最大值為, 即+=1,從而cos φ=0, 又0≤φ<π,故φ=. 12.(2020·臺州市高三期末評估)已知函數(shù)f

33、(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,且x=為f(x)圖象的一條對稱軸. (1)求ω和φ的值; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f,求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解:(1)因為f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π, 由T==π,所以ω=2, 由2x+φ=kπ+,k∈Z, 所以f(x)的圖象的對稱軸為x=+-,k∈Z. 由=+-,得φ=kπ+. 又|φ|≤,則φ=. (2)函數(shù)g(x)=f(x)+f=sin+sin 2x=sin 2x+cos 2x+sin 2x=sin. 所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z. [綜合題組練] 1.(2020·湖州市高三期末考

34、試)若α,β∈,且αsin α-βsin β>0,則必有(  ) A.α2<β2 B.α2>β2 C.α<β D.α>β 解析:選B.α,β∈,且αsin α-βsin β>0,即αsin α>βsin β,再根據(jù)y=xsin x為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,可得|α|>|β|,即α2>β2,故選B. 2.若f(x)=cos 2x+acos 在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.[-2,+∞) B.(-2,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4] 解析:選D.f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t∈,則g(t)=-2t2-a

35、t+1,t∈,因為f(x)在上單調(diào)遞增,所以-≥1,即a≤-4,故選D. 3.(2020·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象過點(diǎn),若f(x)≤f對x∈R恒成立,則ω的值為________;當(dāng)ω最小時,函數(shù)g(x)=f-在區(qū)間[0,22]上的零點(diǎn)個數(shù)為________. 解析:由題意得φ=,且當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因為ω>0,所以ω的最小值為1,因此,g(x)=f-=sin x-的零點(diǎn)個數(shù)是8個. 答案:1+12k(k∈N) 8 4.(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)

36、=sin-2cos2x+1(ω>0),直線y=與函數(shù)f(x)圖象相鄰兩交點(diǎn)的距離為π. (1)求ω的值; (2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若點(diǎn)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心,且b=3,求△ABC面積的最大值. 解:(1)函數(shù)f(x)=sin-2cos2x+1 =sin ωxcos-cos ωxsin-2·+1 =sin ωx-cos ωx=sin. 因為f(x)的最大值為,所以f(x)的最小正周期為π, 所以ω=2. (2)由(1)知f(x)=sin, 因為sin=0?B=, 因為cos B===, 所以ac=a2+c2-9≥2ac-9,a

37、c≤9, 故S△ABC=acsin B=ac≤. 故△ABC面積的最大值為. 5.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時,-5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a,b的值; (2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 解:(1)因為x∈,所以2x+∈. 所以sin∈, 所以-2asin∈[-2a,a]. 所以f(x)∈[b,3a+b],又因為-5≤f(x)≤1, 所以b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由(1)得,f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lg g(x)>0,得g(x)>1,所以4sin-1>1, 所以sin>, 所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞增,即kπ

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