高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-3

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1、高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-3 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種選出3種分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有(　　) A．24種　　　 B．18種　　　 C．12種　　　 D．6種 [答案]　B [解析]　因為黃瓜必須種植，在余下的3種蔬菜品種中再選出兩種，進(jìn)行排列共有CA＝18種．故選B. 2．已知C－C＝C(n∈N*)，則n等于(　　) A．14　　 　 B．12　　 　 C．13　　 　

2、D．15 [答案]　A [解析]　因為C＋C＝C，所以C＝C. ∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故選A. 3．某鐵路所有車站共發(fā)行132種普通客票，則這段鐵路共有車站數(shù)是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 [答案]　B [解析]　∵A＝n(n－1)＝132.∴n＝12.故選B. 4．(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是(　　) A．42 B．35 C．28 D．21 [答案]　D [解析]　展開式中第r＋1項為Tr＋1＝Cxr，T3＝Cx2，∴x2的系數(shù)為C＝21. 5．一排9個座位坐了3個三口之家， 若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為(　　)

3、A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! [答案]　C [解析]　本題考查捆綁法排列問題．由于一家人坐在一起，可以將一家三口人看作一個整體，一家人坐法有3！種，三個家庭即(3！)3種，三個家庭又可全排列，因此共(3！)4種．注意排列中在一起可用捆綁法，即相鄰問題． 6．(1－x)10展開式中x3項的系數(shù)為(　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 [答案]　D [解析]　本題考查了二項式展開定理，要認(rèn)清項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別C(－x)3＝－Cx3，故選D. 7．若多項式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a

4、10(x＋1)10，則a9＝(　　) A．9 B．10 C．－9 D．－10 [答案]　D [解析]　x10的系數(shù)為a10，∴a10＝1， x9的系數(shù)為a9＋C·a10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10. 故應(yīng)選D. 8．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 [答案]　A [解析]　本題考查了組合及分步計數(shù)原理的運(yùn)用． 分兩步進(jìn)行：第一步，先派一名教師到甲地，另一名教師去乙地，共有C種選法；第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，另兩名

5、學(xué)生到乙地，有C種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同選派方案CC＝12種． 9．在24的展開式中，x的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有(　　) A．3項 B．4項 C．5項 D．6項 [答案]　C [解析]　∵Tr＋1＝C()24－r·x－＝Cx12－r，r∈{0,1,2,3，…，24}， ∴r∈{0,6,12,18,24}時，x的冪的指數(shù)是整數(shù)，共有5項． 故應(yīng)選C. 10．將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有(　　) A．12種 B．18種 C．36種 D．54種 [答案]

6、　B [解析]　由題意不同的放法共有CC＝18種． 11．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有(　　) A．70種 B．80種 C．100種 D．140種 [答案]　A [解析]　考查排列組合有關(guān)知識． 解：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名， ∴共有C·C＋C·C＝70.故選A. 12．(xx·安徽理，8)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有(　　) A．24對 B．30對 C．48對 D．60對 [答案]　C [解析]　解法1：先找出正方體

7、一個面上的對角線與其余面對角線成60°角的對數(shù)，然后根據(jù)正方體六個面的特征計算總對數(shù)． 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8條，同理與BD成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其相鄰4個面的對角線，共組成16對，又正方體共有6個面，所有共有16×6＝96對．因為每對都被計算了兩次(例如計算與AC成60°角時，有AD1，計算與AD1成60°角時有AC，故AD1與AC這一對被計算了2次)，因此共有×96＝48對． 解法2：間接法．正方體的面對角線共有12條，從中任取2

8、條有C種取法，其中相互平行的有6對，相互垂直的有12對，∴共有C－6－12＝48對． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上) 13．將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案有________． [答案]　24種 [解析]　將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排一名學(xué)生有CA種分配方案，其中甲同學(xué)分配到A班共有CA＋CA種方案．因此滿足條件的不同方案共有CA－CA－CA＝24(種)． 14.6的展開式中的第四項是________． [答案]?。? [

9、解析]　展開式中第四項為C·23·3＝－. 15．有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù)．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有________種(用數(shù)字作答)． [答案]　264 [解析]　由條件上午不測“握力”，則4名同學(xué)測四個項目，有A；下午不測“臺階”但不能與上午所測項目重復(fù)，如 甲 乙 丙 丁 上午 臺階 身高 立定 肺活量 下午 下午甲測“握力”乙、丙、丁所測不與上午重

10、復(fù)有2種，甲測“身高”、“立定”、“肺活量”中一種有3×3＝9， 故A(2＋9)＝264種． 16．已知6的展開式中x8的系數(shù)小于120，則k＝____________. [答案]　1 [解析]　x8的系數(shù)為Ck4＝15k4， 由已知得，15k4＜120，∴k4＜8， 又k∈N＋，∴k＝1. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)用1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且不能被5整除的五位數(shù)？ [解析]　解法1：不能被5整除，末位只能從1、2、3、4、6五個數(shù)字中選1個，有A種方法；再從余下的

11、5個數(shù)字中選4個放在其他數(shù)位，有A種方法．由分步乘法計數(shù)原理，所求五位數(shù)有AA＝600(個)． 解法2：不含有數(shù)字5的五位數(shù)有A個；含有數(shù)字5的五位數(shù)，末位不選5有A種方法，其余數(shù)位有A種選法，含有5的五位數(shù)有AA個．因此可組成不能被5整除的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有A＋AA＝600(個)． 解法3：由1～6組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有A個，其中能被5整除的有A個．因此，所求的五位數(shù)共有A－A＝720－120＝600(個)． 18．(本題滿分12分)從－1、0、1、2、3這5個數(shù)中選3個不同的數(shù)組成二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數(shù)． (1)開口向上的拋物線有多少條？ (2)開口向

12、上且不過原點的拋物線有多少條？ [解析]　(1)要使拋物線的開口向上，必須a＞0， ∴C·A＝36(條)． (2)開口向上且不過原點的拋物線，必須a＞0，c≠0， ∴C·C·C＝27(條)． 19．(本題滿分12分)求(－)9的展開式中的有理項． [解析]　∵Tr＋1＝C·(x)9－r·(－x)r＝(－1)r·C·x， 令∈Z，即4＋∈Z，且r∈{0,1,2，…，9}． ∴r＝3或r＝9. 當(dāng)r＝3時，＝4，T4＝(－1)3·C·x4＝－84x4； 當(dāng)r＝9時，＝3，T10＝(－1)9·C·x3＝－x3. ∴(－)9的展開式中的有理項是：第4項，－84x4和第10項，－x

13、3. 20．(本題滿分12分)某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人． (1)從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ (2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？ [解析]　從O型血的人中選1人有28種不同的選法．從A型血的人中選1人有7種不同的選法，從B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選法． (1)任選1人去獻(xiàn)血，即無論選擇哪種血型的哪一個人，這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事情都能完成，所以由分類加法計數(shù)原理，共有28＋7＋9＋3＝47種不同的選法． (2)要從四

14、種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事情才完成，所以用分步乘法計數(shù)原理，共有28×7×9×3＝5292種不同的選法． 21．(本題滿分12分)已知(＋3x2)n展開式中各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992. (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項． [解析]　令x＝1得展開式各項系數(shù)和為(1＋3)n＝4n， 又展開式二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C＝2n， 由題意有4n－2n＝992. 即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0， 所以n＝5. (1)因為n＝5，所以展開式共6項，其中

15、二項式系數(shù)最大項為第三、四兩項， 它們是T3＝C()3·(3x2)2＝90x6. T4＝C()2(3x2)3＝270x. (2)設(shè)展開式中第k＋1項的系數(shù)最大． 又Tk＋1＝C()5－k·(3x2)k＝C3kx， 得? ?≤k≤. 又因為k∈Z，所以k＝4，所以展開式中第5項系數(shù)最大．T5＝C34x＝405x. 22．(本題滿分14分)已知(1＋2)n展開式中，某一項的系數(shù)恰好是它的前一項系數(shù)的2倍，且等于它后一項系數(shù)的，試求該展開式中二項式系數(shù)最大的項． [解析]　Tr＋1＝C(2)r＝2r·C·x， 它的前一項的系數(shù)為2r－1·C， 它的后一項的系數(shù)為2r＋1·C， 根據(jù)題意有 ∴ ∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項和第5項． T4＝C(2)3＝280x，T5＝C(2)4＝560x2.