（浙江專版）2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點2 解三角形教學案

突破點2解三角形 (對應學生用書第11頁)核心知識提煉提煉1常見解三角形的題型及解法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解.提煉2三角形形狀的判斷(1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進行判斷(2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進行恒等變形，再判斷注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.提煉3三角形的常用面積公式設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)高考真題回訪回訪1正、余弦定理的應用1(2017·浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.點D為AB延長線上一點，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則sinABC，cosABC.所以SBDCBC·BD·sinDBC×2×2×.因為cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.2(2013·浙江高考)在ABC中，C90°，M是BC的中點若sinBAM，則sinBAC_.因為sinBAM，所以cosBAM.如圖，在ABM中，利用正弦定理，得，所以.在RtACM中，有sinCAMsin(BACBAM)由題意知BMCM，所以sin(BACBAM)化簡，得2sinBACcosBACcos2BAC1.所以1，解得tanBAC.再結(jié)合sin2BACcos2BAC1，BAC為銳角可解得sinBAC.3(2016·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小 【導學號：68334039】解(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).3分又A，B(0，)，故0<AB<，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.6分(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B.因為sin B0，所以sin Ccos B8分又B，C(0，)，所以C±B.11分當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.14分回訪2三角形的面積問題4(2015·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面積解(1)由tan2，得tan A，2分所以.5分(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.8分由a3，B及正弦定理，得b3.10分由sin Csin(AB)sin，得sin C.12分設ABC的面積為S，則Sabsin C9.14分5(2015·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.2分又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.5分(2)由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.8分因為sin Bsin(AC)sin，所以sin B.10分由正弦定理得c，12分又因為A，bcsin A3，所以bc6，故b3.14分6(2014·浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大?。?2)若sin A，求ABC的面積. 【導學號：68334040】解(1)由題意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，2分sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.5分(2)由c，sin A，得a.8分由a<c得，A<C，從而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，11分所以，ABC的面積為Sacsin B.14分 (對應學生用書第12頁)熱點題型1正、余弦定理的應用題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點，也是必考點，求解的關(guān)鍵是合理應用正、余弦定理實現(xiàn)邊角的互化.【例1】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.解(1)證明：根據(jù)正弦定理，可設k(k>0)則aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C6分(2)由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，12分故tan B4.14分方法指津關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口變式訓練1(1)(2017·溫州市普通高中高考模擬考試)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，記S為ABC的面積若A60°，b1，S，則c_，cos B_. 【導學號：68334041】3因為Sbcsin A×1×c×，所以c3；由余弦定理，得a2b2c22bccos A196×7，所以cos B.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos Bbcos(BC)0.證明：ABC為等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解證明：acos Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ.4分A，B是ABC的兩內(nèi)角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形.6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A.10分AB，cos Bcos A，12分cos Bcos C.14分熱點題型2三角形面積的求解問題題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.【例2】設f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值【解題指導】(1)(2)解(1)由題意知f(x)sin 2x.2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.4分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ).6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由題意知A為銳角，所以cos A.8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，12分即bc2，當且僅當bc時等號成立因此bcsin A，所以ABC面積的最大值為.14分方法指津1在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，進而利用函數(shù)ysin x(或ycos x，ytan x)的圖象與性質(zhì)解決問題2在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到，有時還可利用基本不等式求最值變式訓練2(名師押題)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a4cos C，b1.(1)若sin C，求a，c；(2)若ABC是直角三角形，求ABC的面積解(1)sin C，cos2C1sin2C，cos C.1分4cos Ca，a，解得a或a.3分又a4cos C4×4×，a212(a21c2)，即2c2a21.5分當a時，c2；當a時，c.6分(2)由(1)可知2c2a21.又ABC為直角三角形，C不可能為直角若角A為直角，則a2b2c2c21，2c21c21，c，a，8分Sbc×1×.9分若角B為直角，則b2a2c2，a2c21.2c2a21(1c2)1，c2，a2，即c，a，12分Sac××.14分9