（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點2 解三角形教學(xué)案

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1、 突破點2　解三角形 (對應(yīng)學(xué)生用書第11頁) [核心知識提煉] 提煉1常見解三角形的題型及解法 　 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解. 提煉2三角形形狀的判斷 　 (1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進行判斷． (2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進行恒等變形，再判斷． 注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零

2、，避免漏解. 提煉3三角形的常用面積公式 　 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S. (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)． [高考真題回訪] 回訪1　正、余弦定理的應(yīng)用 1．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________. 　　[依題意作出圖形，如圖所示

3、， 則sin∠DBC＝sin∠ABC. 由題意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 則sin∠ABC＝，cos∠ABC＝. 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC ＝×2×2×＝. 因為cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝ ＝，所以CD＝. 由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.] 2．(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝________. 　[因為sin∠BAM＝， 所以cos∠BAM＝.如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得＝， 所以＝＝＝. 在Rt△ACM中，有＝sin

4、∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM，所以＝sin(∠BAC－∠BAM)． 化簡，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 所以＝1，解得tan∠BAC＝. 再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝.] 3．(2016·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B. (1)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? 【導(dǎo)學(xué)號：68334039】 [解]　(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B

5、， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B). 3分 又A，B∈(0，π)，故0

6、. 綜上，A＝或A＝. 14分 回訪2　三角形的面積問題 4．(2015·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知tan＝2. (1)求的值； (2)若B＝，a＝3，求△ABC的面積． [解]　(1)由tan＝2，得tan A＝， 2分 所以＝＝. 5分 (2)由tan A＝，A∈(0，π)，得 sin A＝，cos A＝. 8分 由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3. 10分 由sin C＝sin(A＋B)＝sin， 得sin C＝. 12分 設(shè)△ABC的面積為S，則S＝absin C＝9. 14分 5．(

7、2015·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． [解]　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得 sin2B－＝sin2C， 所以－cos 2B＝sin2C. 2分 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C， 解得tan C＝2. 5分 (2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得 sin C＝，cos C＝. 8分 因為sin B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin B＝. 10

8、分 由正弦定理得c＝， 12分 又因為A＝，bcsin A＝3， 所以bc＝6，故b＝3. 14分 6．(2014·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大??； (2)若sin A＝，求△ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：68334040】 [解]　(1)由題意得 －＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， 2分 sin＝sin.由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2

9、B－＝π， 即A＋B＝，所以C＝. 5分 (2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝. 8分 由a

10、 C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. [解]　(1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)＝＝＝k(k>0)． 則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入＋＝中，有 ＋＝， 2分 即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 4分 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C． 6分 (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A＝＝， 8分 所以sin A＝＝. 9分 由

11、(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋ sin B， 12分 故tan B＝＝4. 14分 [方法指津] 關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． [變式訓(xùn)練1]　(1)(2017·溫州市普通高中高考模擬考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，記S為△ABC的面積．若A＝60°，b＝1，S＝，則c＝________，cos B＝__

12、______. 【導(dǎo)學(xué)號：68334041】 3　　[因為S＝bcsin A＝×1×c×＝，所以c＝3；由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋9－6×＝7，所以cos B＝＝＝. (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0. ①證明：△ABC為等腰三角形； ②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值． [解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0， ∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0

13、， 3分 ∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z. 4分 ∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角， ∴A－B＝0，即A＝B， 5分 ∴△ABC是等腰三角形. 6分 ②由2(b2＋c2－a2)＝bc， 得＝， 7分 由余弦定理得cos A＝， 8分 cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝. 10分 ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝， 12分 ∴cos B＋cos C＝＋＝. 14分 熱點題型2　三角形面積的求解問題 題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質(zhì)上還是考

14、查利用正、余弦定理解三角形，難度中等. 【例2】　設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 【解題指導(dǎo)】　(1) ―→ (2) [解]　(1)由題意知 f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－. 2分 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 4分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間

15、是(k∈Z). 6分 (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝， 7分 由題意知A為銳角，所以cos A＝. 8分 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc， 12分 即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立． 因此bcsin A≤， 所以△ABC面積的最大值為. 14分 [方法指津] 1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象

16、與性質(zhì)解決問題． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時還可利用基本不等式求最值． [變式訓(xùn)練2]　(名師押題)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1. (1)若sin C＝，求a，c； (2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積． [解]　(1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝. 1分 ∵4cos C＝a＋， ∴＝a＋，解得a＝或a＝. 3分 又＋a＝4cos C＝4×＝4×， ∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1. 5分 ∴當(dāng)a＝時，c＝2； 當(dāng)a＝時，c＝. 6分 (2)由(1)可知2c2＝a2＋1. 又△ABC為直角三角形，C不可能為直角． ①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2－1＝c2＋1， ∴c＝，a＝， 8分 ∴S＝bc＝×1×＝. 9分 ②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1. ∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1， ∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝， 12分 ∴S＝ac＝××＝. 14分 9