（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等差數(shù)列學(xué)案 理

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1、 第33講　等差數(shù)列 考試要求　1.等差數(shù)列的概念(B級(jí)要求)；2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(C級(jí)要求)；3.等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系(A級(jí)要求). 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(　　) (3)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(　　) (5)等差

2、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(　　) 解析　(4)若公差d＝0，則通項(xiàng)公式不是n的一次函數(shù). (5)若公差d＝0，則前n項(xiàng)和不是二次函數(shù). 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為________. 解析　a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋d＝48，聯(lián)立 ①×3－②得(21－15)d＝24，6d＝24， ∴d＝4. 答案　4 3.已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝________. 解

3、析　由等差數(shù)列性質(zhì)知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1， ∴a100＝a10＋90d＝98. 答案　98 4.在等差數(shù)列{an}中，已知S8＝24，S16＝32，那么S24＝________. 解析　因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，又＝3，＝2， 所以＝1，即S24＝24. 答案　24 5.已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，則這五個(gè)數(shù)的積為________. 解析　設(shè)第三個(gè)數(shù)為a，公差為d，則這五個(gè)數(shù)分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 由已知條件得 解得 所求5個(gè)數(shù)分別為－，，1，，或，，1，，－. 故它們的積為－. 答案　

4、－ 知 識(shí) 梳 理 1.等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d. 3.等差中項(xiàng) 由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng). 4.等差數(shù)列的四種判斷方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等

5、差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列. 5.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列. (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)

6、是公差為md的等差數(shù)列. (6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列. 6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝或Sn＝na1＋d. 7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)). 8.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值. 考點(diǎn)一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 【例1－1】 (1)(2016·江蘇卷)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1＋a＝－3，S5＝10，

7、則a9的值是________. (2)(2018·常州一模) 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝4，S9－S6＝27，則S10＝________. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則由題設(shè)可得 解得 則a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. (2)∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a3＝4，S9－S6＝27， ∴ 解得a1＝2，d＝1， ∴S10＝10×2＋×1＝65. 答案　(1)20　(2)65 【例1－2】 設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*). (1)求Sn；

8、(2)求Tn及Tn的最小值. 解　(1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以設(shè)首項(xiàng)為a1，公差設(shè)為d，依題意得解得 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋＝. (2)由(1)知Sn＝，所以＝， 設(shè)bn＝＝，則bn＋1－bn＝－＝， 所以數(shù)列{bn}是公差為的等差數(shù)列，首項(xiàng)為b1＝＝a1＝－2. 又Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和， 所以Tn＝－2n＋·＝. 又因?yàn)楹瘮?shù)y＝的圖象開口向上，對(duì)稱軸方程為x＝，且n∈N*. 所以當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，(Tn)min＝＝－5. 規(guī)律方法　等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(

9、組)求解. (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題. 【訓(xùn)練1】 (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6＝__________. (2)(2017·南京三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝ －10，則正整數(shù)k＝________. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得S3＝3a1＋3d＝6＋3d＝12，所以d＝2，a6＝a1＋5d＝12. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)得為等差數(shù)列， 所以，(k，0)，三點(diǎn)共

10、線， 從而有＝，解得k＝9. 答案　(1)12　(2)9 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的判定與證明 【例2】 已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*). (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由. (1)證明　因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. (2)解　由(1)知bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 設(shè)f(x)＝1＋， 則f(x)在區(qū)間和上為減

11、函數(shù). 所以當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3. 規(guī)律方法　等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)(直接用作差—代入—得結(jié)論更簡(jiǎn)單). (2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根

12、據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 【訓(xùn)練2】 數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明　由an＋2＝2an＋1－an＋2， 得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列. (2)解　由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1－an＝2n－1. 于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)， 所以an＋1－a1＝n

13、2，即an＋1＝n2＋a1. 又a1＝1，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2n＋2. 考點(diǎn)三　等差數(shù)列通項(xiàng)及求和問題 【例3】 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列. (1)求證：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝a－5，a＝4a1＋5， 因?yàn)閍n>0，所以a2＝. (2)解　當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， 則4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 因?yàn)閍n>0， 所以an＋1＝an＋2，a

14、n＋1－an＝2， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差d＝2的等差數(shù)列. 因?yàn)閍2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列， 所以a＝a2·a14， 即(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3. 由(1)可知4a1＝a－5＝4，所以a1＝1. 因?yàn)閍2－a1＝3－1＝2， 所以{an}是首項(xiàng)a1＝1、公差d＝2的等差數(shù)列. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. 規(guī)律方法　(1)等差數(shù)列的判斷，主要通過等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷：an＋1－an為常數(shù)d，而不能是關(guān)于n變化的函數(shù)f(n). (2)等差數(shù)列的求和是數(shù)列中考查頻率比較高的知識(shí)點(diǎn)，通常會(huì)與解不等式及求最值等知識(shí)點(diǎn)綜合考查.

15、 【訓(xùn)練3】 已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，問：是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求出n的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 依題意得2，2＋d，2＋4d成等比數(shù)列， 所以(2＋d)2＝2(2＋4d)， 解得d＝0或d＝4. 當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2； 當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2. (2)當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800，不

16、存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800. 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2， 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)， 此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41. 綜上所述，當(dāng)an＝2時(shí)，不存在滿足題意的正整數(shù)n； 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41. 考點(diǎn)四　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例4－1】 (1)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. (2)已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a

17、3＋b8＝15，則a5＋b6＝________. 解析　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10. (2)因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. 答案　(1)10　(2)21 【例4－2】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝________. (2)在等差數(shù)列{an}

18、中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 018的值為________. 解析　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3. 又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)， 即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114. (2)由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1， ∴＝＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S2 018＝－2 018. 答案　(1)114

19、　(2)－2 018 規(guī)律方法　等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差. (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 【訓(xùn)練4】 (1)在等差數(shù)列{an}中，已知S30＝20，S90＝80，那么S60＝________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－6n，那么數(shù)列{|an|}的前6項(xiàng)和T6＝________. (3)(一題多解)

20、在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，則當(dāng)n為________時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值為________. 解析　(1)設(shè)S60＝x，則20，x－20，80－x成等差數(shù)列， 所以20＋(80－x)＝2(x－20)，解得x＝. (2)由Sn＝n2－6n，得{an}是等差數(shù)列，且an＝2n－7. 當(dāng)n≤3時(shí)，an<0，當(dāng)n≥4時(shí)，an>0， 所以T6＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝18. (3)∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋

21、， 得a13＝0. 即當(dāng)n≤12時(shí)，an>0，當(dāng)n≥14時(shí)，an<0. ∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn取得最大值， 且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130. 法二　Sn＝20n＋· ＝－n2＋n ＝－＋. ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 法三　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 答案　(1)　(2)18　(3)12或13　130 一、必做題 1.(2018·蘇州

22、一模) 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2＝7，S7＝－7，則a7的值為________. 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a2＝7，S7＝－7，∴ 解方程組可得 ∴a7＝a1＋6d＝11－6×4＝－13. 答案?。?3 2.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝________. 解析　設(shè){bn}的公差為d， ∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2. ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6. ∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ＝7×(－6)＋21×2＝

23、0. 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0， ∴a8＝3. 答案　3 3.(2015·安徽卷)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________. 解析　由題意知數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列. ∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27. 答案　27 4.(一題多解)在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝________. 解析　法一　由a1＋8d＝(a1＋11d)＋6， 得a1＋5d＝12，∴a1＝12－5d.

24、又S11＝11a1＋d＝11a1＋55d ＝11(12－5d)＋55d＝132. 法二　由a9＝a12＋6，得2a9－a12＝12. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝＝＝132. 答案　132 5.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為________. 解析　由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝5－(n－1)＝，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n＝7或n＝8. 答案　7或8 6.(2018·南通

25、模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為________. 解析　由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51， 所以an－1＝17，又a2＝3， Sn＝＝100，解得n＝10. 答案　10 7.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1

26、＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130. 答案　130 8.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________. 解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列， ∴＋＝＋＝＝. ∵＝＝＝＝， ∴＋＝. 答案　 9.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2， 故是首項(xiàng)為2，

27、公差為2的等差數(shù)列. (2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝－＝ ＝－. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式. 故an＝ 10.(2017·蘇北四市摸底)已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4. (1)若k＝0，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (2)若a4＝－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解　(1) 當(dāng)k＝0時(shí)，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則解得 所以Sn＝na1＋d ＝2n

28、＋×＝－n2＋n. (2)由題意得2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2. 當(dāng)n＝1時(shí)，2a2＝a1＋a3＋2， 當(dāng)n＝2時(shí)，2a3＝a2＋a4＋2， 所以a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6＝－1，所以a2＝3, 由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，所以數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，－2為公差的等差數(shù)列，所以an＋1－an＝－2n＋3. 當(dāng)n≥2時(shí)，有an－an－1＝－2(n－1)＋3， 于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3， an－2－an－3＝－2(n－3)＋3， … a3

29、－a2＝－2×2＋3， a2－a1＝－2×1＋3， 疊加得，an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)， 所以an＝－2×＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2). 又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也適合上式. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋4n－1，n∈N*. 二、選做題 11.(2017·蘇州暑假測(cè)試) 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝，且an(an－1＋an＋1)＝ 2an＋1an－1(n≥2)，則a2 016＝________. 解析　由an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)得＋＝(n≥2)，又a1＝1，a2＝，所

30、以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以＝n，即an＝，所以a2 016＝. 答案　 12.(2014·江蘇卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數(shù)列”. (1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”； (2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1＝1，公差d＜0，若{an}是“H數(shù)列”，求d的值； (3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立. (1)證明　首先a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝

31、2n－2n－1＝2n－1，所以an＝所以對(duì)任意的n∈N*，Sn＝2n是數(shù)列{an}中的n＋1項(xiàng)，因此數(shù)列{an}是“H數(shù)列”. (2)解　由題意an＝1＋(n－1)d，Sn＝n＋d，數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，則存在k∈N*，使n＋d＝1＋(k－1)d，k＝＋＋1，由于∈N*，又k∈N*，則∈Z對(duì)一切正整數(shù)n都成立，所以d＝－1. (3)證明　首先，若dn＝bn(b是常數(shù))，則數(shù)列{dn}前n項(xiàng)和為Sn＝b是數(shù)列{dn}中的第項(xiàng)，因此{(lán)dn}是“H數(shù)列”，對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，an＝a1＋(n－1)d(d是公差)，設(shè)bn＝na1，cn＝(d－a1)(n－1)，則an＝bn＋cn，而數(shù)列{bn}，{cn}都是“H數(shù)列”，證畢. 14