2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-2 1-2-2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-2 1-2-2 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 已知f(x)＝x，g(x)＝. 問題1：f(x)、g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么？ 提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－. 問題2：若Q(x)＝x＋，則Q(x)的導(dǎo)數(shù)是什么？ 提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋， ∴＝1－. 當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于1－， ∴Q′(x)＝1－. 問題3：Q(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？ 提示：Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)． 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè)兩個函數(shù)分別為f(x)和g(x)，則 (1)[f(

2、x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)； (2)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)； (3)[Cf(x)]′＝Cf(x)′(C為常數(shù))； (4)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (5)′＝(g(x)≠0)． 1．對于和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，可推廣到任意有限可導(dǎo)函數(shù)的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 2．對于積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，首先要注意在兩個函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，不能出現(xiàn)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及(5)′＝這樣想當(dāng)然的錯誤；其次還要

3、特別注意兩個函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同，積的導(dǎo)數(shù)法則中是“＋”，商的導(dǎo)數(shù)法則中分子上是“－”． 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝； (4)y＝xtan x. [思路點(diǎn)撥]　結(jié)合常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則直接求導(dǎo)． [精解詳析]　(1)y′＝(x2＋log3x)′ ＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. (2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′ ＝3x2·ex＋x3·ex＝(3x2＋x3)ex. (3)y′＝′＝ ＝ ＝－. (4)

4、y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝ ＝. [一點(diǎn)通]　(1)應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可迅速解決一些簡單的求導(dǎo)問題，要透徹理解函數(shù)求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，準(zhǔn)確熟記公式，還要注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律． (2)在求較復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時應(yīng)首先利用代數(shù)恒等變換對已知函數(shù)解析式進(jìn)行化簡或變形，如把乘積的形式展開，公式形式變?yōu)楹突虿畹男问?，根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再求導(dǎo)，使求導(dǎo)計(jì)算更加簡化． 1．若f(x)＝x3＋2x＋1，則f′(－1)＝________. 解析：f′(x)＝′＝′＋(2x)′＋1′＝x2＋2， 所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：3

5、2．函數(shù)y＝x(x2＋1)的導(dǎo)數(shù)是________． 解析：y′＝[x(x2＋1)]′＝(x3＋x)′＝3x2＋1. 答案：3x2＋1 3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝－2x；(2)y＝. 解：(1)y′＝′－(2x)′ ＝－2xln 2 ＝－2xln 2 ＝－2xln 2. (2)y′＝′＝′ ＝′＝ ＝. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的簡單應(yīng)用 　　[例2]　設(shè)f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值． [思路點(diǎn)撥]　首先求f′(x)，然后利用條件建立a，b的方程組求解． [精解詳析]　f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝

6、a·ex＋， 由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得 解得所以a，b的值分別為1,0. [一點(diǎn)通]　利用導(dǎo)數(shù)值求解參數(shù)問題，是高考的熱點(diǎn)問題．它比較全面地考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用．而熟練地掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及常用函數(shù)的求導(dǎo)公式是解決此類問題的關(guān)鍵． 4．設(shè)f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a＝________. 解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4，即a＝. 答案： 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝c(c≠0)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，求c的值． 解：∵f(x)＝，∴f(c)＝，

7、 又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝， 依題意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0， ∴2c－1＝0得c＝. 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用 　　[例3]　已知拋物線y＝ax2＋bx＋c通過點(diǎn)P(1,1)，且在點(diǎn)Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實(shí)數(shù)a、b、c的值． [思路點(diǎn)撥]　題中涉及三個未知參數(shù)，題設(shè)中有三個獨(dú)立的條件，因此可通過解方程組來確定參數(shù)a、b、c的值． [精解詳析]　∵曲線y＝ax2＋bx＋c過P(1,1)點(diǎn)， ∴a＋b＋c＝1.① ∵y′＝2ax＋b，當(dāng)x＝2時，y′＝4a＋b. ∴4a＋b＝1.② 又曲線過Q(2，－1)點(diǎn)，∴4a＋2b＋c＝－1.③

8、 聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9. [一點(diǎn)通]　利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，解題時要充分運(yùn)用這一條件，才能使問題迎刃而解．解答本題常見的失誤是不注意運(yùn)用點(diǎn)Q(2，－1)在曲線上這一關(guān)鍵的隱含條件． 6．已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________． 解析：易知拋物線y＝x2上的點(diǎn)P(4,8)，Q(－2,2)， 且y′＝x，則過點(diǎn)P的切線方程為y＝4x－8，過點(diǎn)Q的切線方程為y＝－2x－2，聯(lián)立兩個方程解得交點(diǎn)A(1，－4)，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)

9、是－4. 答案：－4 7．已知f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式． 解：由f′(x)為一次函數(shù)可知f(x)為二次函數(shù)． 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b. 把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得： x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使方程對任意x恒成立， 則需有a＝b，b＝2c，c－1＝0， 解得a＝2，b＝2，c＝1， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1. 1．應(yīng)用和、差、積

10、、商的求導(dǎo)法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時，在可能的情況下，應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則，應(yīng)在求導(dǎo)之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，避免出錯． 2．對復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡后求導(dǎo)的原則，但要注意化簡過程中變換的等價性． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(四)]　 一、填空題 1．(廣東高考)曲線y＝－5ex＋3 在點(diǎn)(0，－2) 處的切線方程為________． 解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝－5，所以切線方程為y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 答案：5x＋

11、y＋2＝0 2．設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0＝________. 解析：f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1. ∵f′(x0)＝2，∴1＋ln x0＝2， ∴x0＝e. 答案：e 3．函數(shù)f(x)＝excos x，x∈[0,2π]，且f′(x0)＝0，則x0＝________. 解析：f′(x)＝excos x－exsin x， 由f′(x0)＝0，得ex0cos x0－ex0sin x0＝0， ∴cos x0＝sin x0，即tan x0＝1. 又∵x0∈[0,2π]，∴x0＝或. 答案：或 4．(江西高考)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(diǎn)(

12、1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則α＝________. 解析：由題意y′＝αxα－1，在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k＝α，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以α＝＝2. 答案：2 5．曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________． 解析：∵y′＝，∴當(dāng)x＝1時，y′＝－1. ∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 二、解答題 6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝sin x＋3x2＋x； (2)y＝(1＋cos x)(2x2＋ex)． 解：(1)y′＝(sin x＋3x2＋x)′＝(sin x)′＋(3x2)′＋x′＝cos x＋6x＋1.

13、(2)y′＝[(1＋cos x)(2x2＋ex)]′ ＝(1＋cos x)′(2x2＋ex)＋(1＋cos x)(2x2＋ex)′ ＝－sin x(2x2＋ex)＋(1＋cos x)(4x＋ex) ＝ex(1＋cos x－sin x)－2x2sin x＋4x(1＋cos x)． 7．設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋＋b(a>0)． (1)求f(x)的最小值； (2)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝x，求a，b的值． 解：(1)法一：由題設(shè)和基本不等式可知， f(x)＝ax＋＋b≥2＋b， 其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ax＝1， 即當(dāng)x＝時，f(x

14、)取最小值為2＋b. 法二：f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a－＝， 當(dāng)x>時，f′(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)0