(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明優(yōu)選學(xué)案
《(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明優(yōu)選學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明優(yōu)選學(xué)案(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第60講 不等式的證明 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.了解柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會(huì)證明. 2.會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形:·≥2,會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式. 3.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍,會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 4.了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法. 2017·全國(guó)卷Ⅱ,23 2015·全國(guó)卷Ⅱ,24 2015·湖南卷,16(3) 不等式的證明是對(duì)必修5中“不等式”的補(bǔ)充和深化,其中以考查綜合法、分析法、放縮法等為主.另外應(yīng)用基本不等式、柯西不等式求函數(shù)的最值也是高考
2、考查的一個(gè)方向. 分值:5~10分 1.比較法 作差比較法與作商比較法的基本原理: (1)作差法:a-b>0?__a>b__. (2)作商法:>__1__?a>b(a>0,b>0). 2.綜合法與分析法 (1)綜合法:證明不等式時(shí),從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)__推理論證__而得出命題成立,綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? (2)分析法:證明命題時(shí),從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的__充分條件__,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立.這是一種__執(zhí)果索因__的思考和證明
3、方法. 3.反證法 先假設(shè)要證的命題__不成立__,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的__推理__,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)__矛盾__的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)__不正確__,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法. 4.放縮法 證明不等式時(shí),通過(guò)把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞_放大__或__縮小__以利于化簡(jiǎn),并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立,這種方法稱為放縮法. 5.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟: (1)證明當(dāng)__n=n0__時(shí)命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)__n=k__(k∈N
4、*,且k≥n0)時(shí)命題成立,證明__n=k+1__時(shí)命題也成立. 綜合(1)(2)可知,結(jié)論對(duì)于任意n≥n0,且n0,n∈N*都成立. 6.柯西不等式 (1)代數(shù)形式:設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立. (2)向量形式:設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立. (3)三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,則 +≥ . (4)一般形式:設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+
5、…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立. 7.排序不等式 設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,那么a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí),反序和等于順序和. 1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“”). (1)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”.
6、( × ) (2)若實(shí)數(shù)x,y適合不等式xy>1,x+y>-2,則x>0,y>0.( √ ) (3)不等式|x+a|+|x+b|≥c恒成立的充要條件是|a-b|≥c.( √ ) (4)不等式|x+a|-|x+b|<c恒成立的充要條件是|a-b|≤c.( × ) 2.若a>0,b>0,a,b的等差中項(xiàng)是,且α=a+,β=b+,則α+β的最小值為( D ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 ∵為a,b的等差中項(xiàng),∴a+b=×2=1. a++b+?1++=1+=1+, ∵≤,∴ab≤=. ∴1+≥1+4.∴α+β的最小值為5.故選D. 3.設(shè)a>0,b>
7、0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為( B ) A.8 B.4 C.1 D. 解析 因?yàn)?a·3b=3,所以a+b=1. +=(a+b)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=時(shí)“=”成立.故選B. 4.若直線3x+4y=2,則x2+y2的最小值為_(kāi)_ __,最小值點(diǎn)為_(kāi)_ __. 解析 畫(huà)出直線3x+4y=2的圖象,再畫(huà)以原點(diǎn)為圓心的圓,要使圓和直線有交點(diǎn),則最小半徑為直線與圓相切時(shí),r==,切點(diǎn)為直線3x+4y=2與4x-3y=0的交點(diǎn). 因此,當(dāng)x=,y=時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為,最小值點(diǎn)為. 5.定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意
8、兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x1,x2都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則稱函數(shù)f(x)為“Ζ函數(shù)”,以下函數(shù)中為“Ζ函數(shù)”的序號(hào)為_(kāi)_②④__. ①y=-x3+1;②y=3x-2sin x-2cos x; ③y=④y= 解析 由排序不等式原理可知x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)?或?f(x)是R上的增函數(shù).易知①是R上的減函數(shù);③是R上的偶函數(shù);對(duì)于②,y′=3+2sin>0;對(duì)于④,根據(jù)其圖象可以判定為增函數(shù). 一 比較法證明不等式 比較法證明不等式的步驟 (1)作差(商);(2)變形;(3)判斷差的符號(hào)(商與1
9、的大小關(guān)系);(4)下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵,作差比較法中通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式,再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù). 【例1】 已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y.求證:>. 證明 方法一 ∵-=,>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0. 又x>y>0,∴bx>ay. ∴>0,即>. 方法二 ∵x,y,a,b∈(0,+∞), ∴要證>,只需證明x(y+b)>y(x+a),即證xb>ya. 而由>>0,得b>a>0. 又x>y>0,∴xb>ya顯然成立.故原不等式成立. 二 分析法和綜合法證明不等式 分析法和綜合法證明不等式的技巧
10、證明不等式,主要從目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征,綜合已知條件,借助相關(guān)定理公式探索思路,如果這種特征不足以明確解題方法時(shí),就應(yīng)從目標(biāo)式開(kāi)始通過(guò)“倒推”——分析法,尋找目標(biāo)式成立的充分條件直至與已知條件吻合,然后從已知條件出發(fā)綜合寫(xiě)出證明過(guò)程. 【例2】 (2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 證明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)
11、≤2+(a+b)=2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 三 柯西不等式的應(yīng)用 柯西不等式應(yīng)用的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)求表達(dá)式的最值.依據(jù)已知條件,利用柯西不等式求最值,注意等號(hào)成立的條件. (2)證明不等式.注意所證不等式的結(jié)構(gòu)特征,尋找柯西不等式的條件,然后證明. 【例3】 (1)已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求證:1≤a≤2. (2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值. 證明 (1)由柯西不等式得(2b2+3c2+6d2)≥ (b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由已
12、知可得 2b2+3c2+6d2=5-a2,b+c+d=3-a, ∴5-a2≥(3-a)2,即1≤a≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)==,即2b=3c=6d時(shí),等號(hào)成立. (2)因?yàn)?=x+2y+3z≤·,所以x2+y2+z2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x==,即x=,y=,z=時(shí),x2+y2+z2有最小值. 1.設(shè)a>b>c>0,則2a2++-10ac+25c2的最小值是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 2a2++-10ac+25c2 =(a-5c)2+a2-ab+ab++ =(a-5c)2+ab++a(a-b)+≥0+2+2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)a-5c=0,ab=
13、1,a(a-b)=1時(shí)等號(hào)成立,如取a=,b=,c=滿足條件.故選D. 2.若P=++(x>0,y>0,z>0),則P與3的大小關(guān)系為_(kāi)_P<3__. 解析 ∵1+x>0,1+y>0,1+z>0, ∴++<++=3,即P<3. 3.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求證:··≥8. 證明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2, ··=≥ =8. 4.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=9,求++的最小值. 解析 ∵(a+b+c) =[()2+()2+()2] ≥2=18, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí),等號(hào)成立. ∴++≥2
14、.∴++的最小值為2. 錯(cuò)因分析:轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題時(shí),弄錯(cuò)大小或忽略等號(hào)導(dǎo)致錯(cuò)誤. 【例1】 已知關(guān)于x的不等式-<a,①恒成立;②無(wú)解;③有解;分別求a的取值范圍. 解析 設(shè)g(x)=-, 則g(x)=則-2≤g(x)≤2, 所以①a∈(2,+∞);②a∈(-∞,-2];③a∈(-2,+∞). 【跟蹤訓(xùn)練1】 設(shè)f(x)=|ax-1|. (1)若f(x)≤2的解集為[-6,2],求實(shí)數(shù)a的值; (2)當(dāng)a=2時(shí),若存在x∈R使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解析 (1)顯然a≠0,當(dāng)a>0時(shí),解集為,則-=-6,=2,無(wú)解
15、;當(dāng)a<0時(shí),解集為,令-=2,=-6,得a=-.綜上所述,a=-. (2)當(dāng)a=2時(shí),令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)=|4x+1|-|2x-3|= 由此可知h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,則當(dāng)x=-時(shí),h(x)取到最小值-,由題意,知-≤7-3m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 課時(shí)達(dá)標(biāo) 第60講 [解密考綱]不等式的證明以解答題進(jìn)行考查,主要考查綜合法、比較法,還常用基本不等式證明不等式或求最值. 1.已知a,b都是正數(shù),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2. 證明 (a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2. 因?yàn)閍,b都是正數(shù),所
16、以a+b>0. 又因?yàn)閍≠b,所以(a-b)2>0.于是(a+b)(a-b)2>0, 即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2. 2.已知a,b,c都是正數(shù),求證:≥abc. 證明 因?yàn)閎2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc,① 同理,b2(a2+c2)≥2ab2c,② c2(a2+b2)≥2abc2,③ ①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2, 從而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). 由a,b,c都是正數(shù),得a+b+c>0, 因此≥abc. 3.已知a
17、,b,c∈(0,+∞),求證:2≤3. 證明 欲證2≤3, 只需證a+b-2≤a+b+c-3, 即證c+2≥3,∵a,b,c∈(0,+∞), ∴c+2=c++≥3=3, ∴c+2≥3成立,故原不等式成立. 4.設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),且+=2. (1)求a2+b2的最小值; (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 解析 (1)由2=+≥2,得ab≥,當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).故a2+b2≥2ab≥1,當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào). 所以a2+b2的最小值是1. (2)由(a-b)2≥4(ab)3,得2≥4ab,即2- ≥4ab,從而ab+≤2. 又a,b為正實(shí)數(shù),所以ab+≥2,
18、所以ab+=2,
所以ab=1.
5.已知函數(shù)f(x)=|x|-|2x-1|,記f(x)>-1的解集為M.
(1)求M;
(2)已知a∈M,比較a2-a+1與的大?。?
解析 (1)f(x)=|x|-|2x-1|=
由f(x)>-1,
得或或
解得0
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