（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 專題探究課二學(xué)案 理

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1、 第五章 平面向量 專題探究課二 高考導(dǎo)航　從近幾年的高考試題看，試卷交替考查三角函數(shù)、解三角形、向量與三角綜合以及三角應(yīng)用題.該部分解答題是高考得分的基本組成部分，不能掉以輕心.該部分的解答題考查的熱點(diǎn)題型有：一考查三角函數(shù)的恒等變形以及單調(diào)性、最值等；二考查解三角形問題；三是考查三角函數(shù)、解三角形與平面向量的交匯性問題；四是考查三角應(yīng)用題.在解題過程中抓住平面向量作為解決問題的工具，要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈活性，注意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈活地實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化. 熱點(diǎn)一　三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì) 注意對(duì)基本三角函數(shù)y＝sin x，y＝cos x的

2、圖象與性質(zhì)的理解與記憶，有關(guān)三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖、圖象的平移、由圖象求解析式、周期、單調(diào)區(qū)間、最值和奇偶性等問題的求解，通常先將給出的函數(shù)恒等變形轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整體代換的方法求解. 【1】 (2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)、宿遷五市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝sin－ sin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當(dāng)x∈時(shí)，試求函數(shù)f(x)的最值，并寫出取得最值時(shí)自變量x的值. 解　(1)由題意知f(x)＝sin＋cos ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. 當(dāng)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

3、解得x∈(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)因?yàn)閤∈，所以≤2x＋≤， 當(dāng)2x＋＝，即x＝－時(shí)，f(x)取得最大值2； 當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－. 探究提高　此類題目的答題模板為： 第一步：三角函數(shù)式的恒等變形，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式； 第二步：由T＝求最小正周期； 第三步：確定f(x)的單調(diào)性； 第四步：確定各單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值； 第五步：明確規(guī)范地表達(dá)結(jié)論. 【訓(xùn)練1】 (2018·江蘇大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－2cos2x. (1)β∈，求f(β)的取值

4、范圍； (2)若tan α＝2，求f(α)的值. 解　(1)f(x)＝sin 2x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1， 所以f(β)＝2sin－1. 因?yàn)棣隆?，所?β－∈， 所以sin∈， 故f(β)的取值范圍是[－2，1]. (2)由題可得f(α)＝sin 2α－2cos2α ＝＝， 因?yàn)閠an α＝2，所以f(α)＝＝. 熱點(diǎn)二　解三角形與三角函數(shù)結(jié)合 高考對(duì)解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用為主.其命題規(guī)律可以從以下兩方面看：(1)從內(nèi)容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式，一般是以三角形或其他平面圖形為背景，結(jié)合

5、三角形的邊角關(guān)系考查學(xué)生利用三角函數(shù)公式處理問題的能力；(2)從命題角度看，主要是在三角恒等變換的基礎(chǔ)上融合正弦定理、余弦定理在知識(shí)的交匯處命題. 【例2】 (2018·蘇州測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx(ω>0)的周期為π. (1)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域； (2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若f＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面積. 解　(1)f(x)＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx＝sin＋. 因?yàn)閒(x)的周期為π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.所以f(x)＝sin＋. 又0≤x≤，得≤2x＋≤

6、π，－≤sin≤1，0≤sin＋≤＋1，即函數(shù)y＝f(x)在x∈上的值域?yàn)? (2)因?yàn)閒＝，所以sin＝.由A∈(0，π)，知

7、a，b，c，且tan B＝2，tan C＝3. (1)求角A的大?。? (2)若c＝3，求b的長. 解　(1)因?yàn)閠an B＝2，tan C＝3，A＋B＋C＝π， 所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝－＝－＝1， 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)因?yàn)閠an B＝＝2，且sin2B＋cos2B＝1， 又B∈(0，π)，所以sin B＝， 結(jié)合(1)可得sin C＝. 由正弦定理得b＝＝＝2. 熱點(diǎn)三　三角函數(shù)與平面向量結(jié)合 三角函數(shù)、解三角形與平面向量的結(jié)合主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1)以三角函數(shù)式作為向量的坐標(biāo)，由兩個(gè)向量共線、垂直、求?；?/p>

8、求數(shù)量積獲得三角函數(shù)解析式；(2)根據(jù)平面向量加法、減法的幾何意義構(gòu)造三角形，然后利用正、余弦定理解決問題. 【例3】 (滿分14分)(2017·江蘇卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值. 滿分解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)　本題第(1)問滿分為6分，具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下： 法一　因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x，………………………………………………2分 于是tan x＝－.…………………………………

9、………………………………2分 又x∈[0，π]，所以x＝π. ……………………………………………………2分 法二　因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x，?、佟?分 則2＝0，即2sin＝0. …………………………2分 所以x＋＝π，即x＝π. ………………………………………………2分 法三　因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x， 因?yàn)閟in2x＋cos2x＝1，所以sin2x＝，即sin x＝±， 所以x＝或π→ 本題第(

10、2)問滿分為8分，具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下： 法一　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x……………………2分 ＝2cos.…………………………………………………………………2分 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈， 則－1≤cos≤. ………………2分 ……………2分 法二　(本題第二問有考生采用了導(dǎo)數(shù)的方法求最值) f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x，……………………2分 則f′(x)＝－3sin x－cos x，則f′(x)＝0，tan x＝－. 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＝.………………

11、…………………………2分 又f(0)＝3，f＝－2，f(π)＝－3. ……………………………2分 ……………………………2分 探究提高　解決數(shù)學(xué)問題的第一步應(yīng)該是審題，審題“審什么？”首先應(yīng)該是題目的條件是什么？結(jié)論是什么？有沒有隱含條件？由條件可以得出什么結(jié)論？要得出結(jié)論需要什么條件？ 本題的第二問：求函數(shù)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.不少考生就在這里出現(xiàn)了審題不清的問題：只顧求出了函數(shù)的最大值和最小值，沒有求出對(duì)應(yīng)的x的值. 根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：最大值及其對(duì)應(yīng)的x值都寫對(duì)得2分，最小值及其對(duì)應(yīng)的x值都寫對(duì)再得2分.這塊原有4分的分值，若只求對(duì)了最大值和最小值，沒有求出對(duì)應(yīng)的x

12、的值，這4分將全部扣掉. 【訓(xùn)練3】 (2018·蘇北四市調(diào)研)已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n. (1)求角B的大??； (2)若b＝，求a＋c的范圍. 解　(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n， ∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0， ∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0， ∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0. 即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A. ∵A∈

13、(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－. ∵0＜B＜π，∴B＝. (2)由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào). ∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2. 又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范圍是(，2]. 熱點(diǎn)四　三角函數(shù)應(yīng)用題 三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題. 【例4】 如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m

14、，且60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t s后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？ 解　(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角θ－， 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為， ∴h＝5.6＋4.8sin(θ∈[0，＋∞)). (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是 rad/s， 故t s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞). 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h＝10.4 m

15、. 由sin＝1，得t－＝，∴t＝30 s， 答：纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的最少時(shí)間為30 s. 探究提高　三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)而使實(shí)際問題得到解決. 步驟可記為：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問題. 這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)解析式. 【訓(xùn)練4】 一半徑為4 m的水輪(如圖)，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí). (1)將點(diǎn)P距離水面

16、的高度h(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)； (2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過4 m. 解　(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 依題意，如圖|φ|＝， 易知OP在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為 t＝t， 故角t－是以O(shè)x為始邊，OP與終邊的角， 故P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4sin， 故所求函數(shù)關(guān)系式為h＝4sin＋2(t≥0)； (2)令4sin＋2>4， 即sin>， ∴＋2kπ

17、超過4 m. 一、必做題 1.(2018·蘇北四市模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，則 |2a－b|的最大值與最小值的和為________. 解析　由題意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，則|2a－b|＝＝＝∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4. 答案　4 2.(2018·蘇州調(diào)研)已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2，1)，α∈，若m·n＝1，則sin＝________. 解析　因?yàn)閙·n＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1中，整理得5cos2α

18、－4cos α＝0，解得cos α＝或cos α＝0(舍去)，故sin＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－. 答案?。? 3.(2018·南京、鹽城模擬)設(shè)a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)是平面上兩個(gè)向量，若a·b＝，且tan β＝，則tan α＝________. 解析　由a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝， 且0<α<β<，即α－β∈， ∴sin(α－β)＝－， tan(α－β)＝＝－＝， 代入tan β＝，得tan α＝. 答案　 4.(2018·南京、鹽城模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a

19、，b，c，已知a＋c＝2b，sin B＝sin C，則cos A＝________. 解析　由sin B＝sin C結(jié)合正弦定理可得b＝c，又a＋c＝2b，則a＝c，由余弦定理可得cos A＝＝＝. 答案　 5.(2018·南京調(diào)研)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說法正確的有________(填序號(hào)). ①若a與b共線，則a⊙b＝0； ②a⊙b＝b⊙a(bǔ)； ③對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)； ④(a⊙b)2＋(a·b)2＝a2b2. 解析?、谥校琣⊙b＝mq－np＝－(np－mq)＝－b⊙a(bǔ)，

20、 故②不正確；①③④逐個(gè)代入驗(yàn)證，皆成立，故填①③④. 答案?、佗邰? 6.(2018·海門中學(xué)月考)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為________ km. 解析　由題圖可知，∠ACB＝120°，由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km). 答案　a 7.(2018·鹽城診斷)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為________. 解

21、析　因?yàn)閏os2＝， 所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝， 所以＝，所以c2＝a2＋b2. 所以△ABC為直角三角形. 答案　直角三角形 8.(2018·如東中學(xué)月考)若函數(shù)f(x)＝sin(ωπx－)(ω>0)在區(qū)間(－1，0)上有且僅有一條平行于y軸的對(duì)稱軸，則ω的最大值是________. 解析　令ωπx－＝kπ＋(k∈Z)， 則得x＝(k∈Z)， ∴當(dāng)k＝－1時(shí)，得y軸左側(cè)第1條對(duì)稱軸為－；當(dāng)k＝－2時(shí)，得y軸左側(cè)第2條對(duì)稱軸為－，因此－1<－<0且－1≥－，解得<ω≤，故ωmax＝. 答案　 9.(2018·泰州中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos

22、 x－cos2x. (1)求f(x)的值域和最小正周期； (2)若f(x)＝－1，求cos的值. 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin 2x－＝sin 2x－－＝sin－， 所以f(x)的值域?yàn)椋钚≌芷谟袨門＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)＝－1，所以sin－＝－1， 即sin＝－， 所以cos＝cos ＝sin＝－. 10.(2018·泰州模擬)在△ABC中，角A，B的對(duì)邊分別為a，b，向量m＝(cos A， sin B)，n＝(cos B，sin A). (1)若acos A＝bcos B，求證：m∥n； (2)若m⊥n，a>b，求tan的值. (1)證明　因?yàn)閍cos

23、 A＝bcos B， 所以sin Acos A＝sin BcosB，所以m∥n. (2)解　因?yàn)閙⊥n，所以cos Acos B＋sin Asin B＝0， 即cos(A－B)＝0， 因?yàn)閍>b，所以A>B， 又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)， 則A－B＝，所以tan ＝tan＝1. 二、選做題 11.(2015·江蘇卷)設(shè)向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，則 (ak·ak＋1)的值為________. 解析　ak·ak＋1＝· ＝coscos＋· ＝＋ ＋ cos cos ＝cos ＋sin ＋cos cos ＝＋sin ＋cos

24、2 －cos sin ＝＋sin＋－sin ＝＋sin ＋cos . 因?yàn)閟in ，cos 的周期皆為6，一個(gè)周期的和皆為零， 因此 (ak·ak＋1)＝×12＝9. 答案　9 12.如圖，某大風(fēng)車的半徑為2 m，每12 s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面0.5 m.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開始，運(yùn)動(dòng)t(s)后與地面的距離為h(m). (1)求函數(shù)h＝f(t)的關(guān)系式； (2)畫出函數(shù)h＝f(t)(0≤t≤12)的大致圖象. 解　(1)如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的圓的切線為x軸，建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則h＝y(tǒng)＋0.5. 設(shè)∠OO1A＝θ，則cos θ＝， y＝－2cos θ＋2. 又θ＝×t， 即θ＝t， 所以y＝－2cost＋2， h＝f(t)＝－2cost＋2.5(t≥0). (2)函數(shù)h＝－2cost＋2.5(0≤t≤12)的大致圖象如下. 14