數(shù)學(xué)第八章 立體幾何 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖 文

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1、第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖總綱目錄教材研讀1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)突破2.三視圖與直觀圖考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征教材研讀教材研讀多面體(1)棱柱:側(cè)棱都平行且相等,上、下底面平行且是全等的多邊形.(2)棱錐:底面是多邊形,側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺(tái):可以由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上、下底面是相似多邊形旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱:可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐:可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到

2、.(3)圓臺(tái):可以由直角梯形繞其垂直于底邊的腰所在直線或等腰梯形繞其上、下底邊中點(diǎn)的連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到.(4)球:可以由半圓或圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到2.三視圖與直觀圖三視圖與直觀圖1.下列說(shuō)法正確的是()A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)答案答案D由棱柱和棱錐的概念可知,A、B、C均錯(cuò)誤.由于棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的截面與底面之間的部分,故棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).D2.如圖,下

3、列幾何體各自的三視圖中,有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A.B.C.D.答案答案C由幾何體的結(jié)構(gòu)可知,圓錐、正四棱錐兩個(gè)幾何體各自的正視圖和側(cè)視圖相同,且其不與俯視圖相同;正方體的三個(gè)視圖都相同,正三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不相同.C3.(2015北京西城二模)一個(gè)幾何體的三視圖中,正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示,則俯視圖不可能為()答案答案 C正(主)視圖為矩形且中間為虛線,而與選項(xiàng)C對(duì)應(yīng)的正(主)視圖中間應(yīng)為實(shí)線.故選C.C4.(2017北京西城一模)在正方形網(wǎng)格中,某四面體的三視圖如圖所示.如果小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,那么該四面體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()A.4B.6C.4D.2325B答案答案 B將該

4、四面體還原在正方體中,為三棱錐P-ABC,如圖所示,最長(zhǎng)棱為PA=6.22PCAC222424典例典例1(1)下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐C.若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破(2)有以下四個(gè)命題:底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體;底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體;四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形;由直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成

5、的幾何體都是圓錐.其中真命題的序號(hào)是.答案答案(1)D(2)解析解析(1)A錯(cuò)誤,如圖,由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是三棱錐.圖圖圖B錯(cuò)誤,如圖,分別以ABC的邊AB、AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),所得的幾何體都不是圓錐.C錯(cuò)誤,假設(shè)存在六棱錐滿(mǎn)足所有棱長(zhǎng)都相等,則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知,若以正六邊形為棱錐底面,則側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).D正確.(2)命題符合平行六面體的定義,故命題是正確的;底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題是錯(cuò)誤的;正確,如圖a,四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD為矩形,可證明PDC,PD

6、A,PAB,PCB為直角,這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖b所示,它是由兩個(gè)同底圓錐構(gòu)成的幾何體.方法技巧方法技巧解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)的問(wèn)題的技巧(1)要想真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,必須多角度、全方面分析,多觀察實(shí)物,提高空間想象能力;(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后依據(jù)題意判定;(3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可.1-1用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體

7、,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是()A.圓柱B.圓錐C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體答案答案 C截面都是圓面,則原幾何體為球體,選C.C1-2如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等,就稱(chēng)它為“等腰四棱錐”,四條側(cè)棱稱(chēng)為它的腰,以下四個(gè)命題中,假命題是()A.“等腰四棱錐”的腰與底面所成的角都相等B.“等腰四棱錐”的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)C.“等腰四棱錐”的底面四邊形必存在外接圓D.“等腰四棱錐”的各頂點(diǎn)必在同一球面上B答案答案BB不正確,反例見(jiàn)下圖:“等腰四棱錐S-ABCD”中,底面ABCD為矩形,AB=4,BC=2,O為S在平面ABCD上的射影,OEAB于E,OFBC于F.OEOF

8、,12,又易知1與2不互補(bǔ),“等腰四棱錐S-ABCD”的側(cè)面SAB與底面所成的二面角和側(cè)面SBC與底面所成的二面角既不相等,也不互補(bǔ).典例典例2(1)(2017北京豐臺(tái)一模)由一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱錐所得的幾何體的直觀圖如圖所示,則該幾何體的三視圖正確的是()考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖(2)(2017北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A.B.C.2D.3562解析解析(1)由直觀圖可知,該幾何體的正視圖是有一條從左上角到右下角的對(duì)角線的正方形,俯視圖是有一條從左下角到右上角的對(duì)角線的正方形,側(cè)視圖是有一條從左上角到右下角的對(duì)角線的正方形

9、(對(duì)角線為虛線),所以只有選項(xiàng)D符合題意.(2)將幾何體還原在長(zhǎng)方體中,如圖.該幾何體為三棱錐P-ABC,可得最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線PB=.41 1 6答案答案(1)D(2)B方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實(shí)線,看不到的部分用虛線.(2)由幾何體的部分視圖畫(huà)出剩余的視圖.先根據(jù)已知的一部分視圖,還原、推測(cè)直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題,也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入,再看看給出的部分三視圖是否符合.(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視

10、圖,明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖.2-1 (2018北京西城高三期末)一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余幾何體的三視圖如圖所示,則截去的幾何體是()A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱答案答案 B由三視圖還原幾何體可知,截去的幾何體是三棱柱.B2-2 (2017北京東城一模)如果某四棱錐的三視圖如圖所示,那么該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中是直角三角形的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案答案D由三視圖可得直觀圖是四棱錐,底面是正方形,有一側(cè)棱垂直于底面,則四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,故選D.D典例典例3有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二

11、測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,則這塊菜地的面積為.考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖2+22答案答案2+22解析解析如圖,在直觀圖中,過(guò)點(diǎn)A作AEBC,垂足為E,圖在RtABE中,AB=1,ABE=45,BE=.四邊形AECD為矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=+1.由此可還原原圖形如圖.2222圖在原圖形中,AD=1,AB=2,BC=+1,且ADBC,ABBC,這塊菜地的面積S=(AD+BC)AB=2=2+.22121221 12 221.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫(huà)法”問(wèn)題時(shí),一般在原圖形中建立直角坐標(biāo)系,盡量取原圖形中互相垂直

12、的線段所在直線或圖形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,圖形的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn),注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)2.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系:(1)S直觀圖=S原圖形.(2)S原圖形=2S直觀圖.2423-1如圖,矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中OA=6cm,OC=2cm,則原圖形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形C答案答案 C將直觀圖還原得 OABC,如圖,因?yàn)镺D=OC=2cm,所以O(shè)D=2OD=4cm,因?yàn)镃D=OC=2cm,所以CD=2cm,所以O(shè)C=6(cm),所以O(shè)A=OA=6cm=OC,故原圖形為菱形.22222CDOD222(4 2)