數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法(二)——求空間角 北師大版

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1、第第8節(jié)節(jié)立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(一一)求空間角求空間角0101020203030404考點(diǎn)三考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二例例1 訓(xùn)練訓(xùn)練1用空間向量求異面直用空間向量求異面直線所成的角線所成的角用空間向量求線面角用空間向量求線面角用空間向量求二面角用空間向量求二面角(多維探究多維探究)診斷自測診斷自測例例2 訓(xùn)練訓(xùn)練2例例3-1 例例3-2 訓(xùn)練訓(xùn)練3利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線求出兩直線的方向向量的方向向量v1，v2；(3)代入公式求解代

2、入公式求解.圖圖(1)圖圖(2)圖圖(2)圖圖(3)解析解析(2)設(shè)等邊三角形的邊長為設(shè)等邊三角形的邊長為2.取取BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O，連接，連接OA，OD，等邊三角形等邊三角形ABC和和BCD所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，OA，OC，OD兩兩垂直，以兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.考點(diǎn)一用空間向量求異面直線所成的角GG考點(diǎn)二用空間向量求線面角(1)證明證明BAPCDP90，PAAB，PDCD，又又ABCD，PDAB，又又PDPAP，PD，PA平面平面PAD，AB平面平面PAD，又，又AB平面平面PAB，平面平面PAB平面平面

3、PAD.(2)解解取取AD中點(diǎn)中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)中點(diǎn)E，連接，連接PO，OE，由由(1)知，知，AB平面平面PAD，OE平面平面PAD，又又PO，AD平面平面PAD，OEPO，OEAD，又又PAPD，POAD，PO，OE，AD兩兩垂直，兩兩垂直，以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)設(shè)n(x，y，z)為平面為平面PBC的法向量，的法向量，APD90，PDPA，又知又知AB平面平面PAD，PD平面平面PAD，PDAB，又又PAABA，PA，AB平面平面PAB，PD平面平面PAB，因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形，是矩形，MAAD，平面平

4、面ADNM平面平面ABCD且交線為且交線為AD，所以所以MA平面平面ABCD，又，又DE 平面平面ABCD，所以，所以DEAM.又又AMABA，AM，AB 平面平面ABM，所以，所以DE平面平面ABM，又又DE 平面平面DEM，所以，所以平面平面DEM平面平面ABM.(2)解解在線段在線段AM存在點(diǎn)存在點(diǎn)P，理由如下：，理由如下：由由DEAB，ABCD，得，得DECD，因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形，是矩形，平面平面ADNM平面平面ABCD且交線為且交線為AD，所以所以ND平面平面ABCD.以以D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，DE，DC，DN所在直線分別為所在直線分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.考點(diǎn)三用空間向量求二面角(多維探究)解解(1)因?yàn)橐驗(yàn)锳PBE，ABBE，AB，AP 平面平面ABP，ABAPA，所以所以BE平面平面ABP，又又BP 平面平面ABP，所以所以BEBP，又又EBC120，因此因此CBP30.圖圖1圖圖2