數(shù)學(xué)第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理

《數(shù)學(xué)第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理（37頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布總綱目錄教材研讀1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)突破2.均值與方差的性質(zhì)3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差考點(diǎn)二均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用考點(diǎn)二均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值、方差4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)考點(diǎn)三正態(tài)分布考點(diǎn)三正態(tài)分布教材研讀教材研讀1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為(1)均值:稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平.(2)稱DX=(xi-EX)2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離偏

2、離程度,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.Xx1x2xixnPp1p2pipn1niDX2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aEX+b(a,b為實(shí)數(shù)).(2)D(aX+b)=a2DX(a,b為實(shí)數(shù)).3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX服從兩點(diǎn)分布XB(n,p)EXp(p為成功概率為成功概率)npDXp(1-p)np(1-p)4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對(duì)稱;(3)曲線在x=處達(dá)到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;(5)當(dāng)一定時(shí),曲線的位置由確定,曲線隨著的變化而沿x軸平移;(6)當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定,越小,曲

3、線越“瘦高瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖矮胖”,表示總體的分布越分散分散.121.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.B.2C.D.3X123P353101103252答案答案A由已知條件可知E(X)=1+2+3=,故選A.3531011032A2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(02)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C答案答案C由P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=0.1.答案答案0.1解析解析由題意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.12B考點(diǎn)一離散型隨機(jī)

4、變量的均值、方差考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解析解析(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,

5、指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為=0.3.(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列為15502224CC16112224C CC232224CC16012P162316故的期望E()=0+1+2=1.(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.162316方法技巧方法技巧求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率.

6、(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒如果XB(n,p),則用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.1-12004年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會(huì)等機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推廣.2015年12月10日,我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng).目前,國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速.某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對(duì)青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗(yàn)田中分別種植了100株青蒿進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4株青蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:編號(hào)位置山上5.0

7、3.83.63.6山下3.64.44.43.6(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量;(2)記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)與的大小關(guān)系(只需寫出結(jié)論);(3)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1株,記這2株的產(chǎn)量總和為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21s22s21s22s解析解析(1)山下試驗(yàn)田平均每株青蒿素產(chǎn)量=4.0,估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量為100=400克.(2).(3)的所有可能取值為9.4,8.6,8.2,8.0,7.4,7.2.P(=9.4)=,P(=8.6)=,P(=8.2)=,P(=8.0)=,P(=7.4)=,P(

8、=7.2)=.隨機(jī)變量的分布列為x3.64.44.43.64x21s22s121144CC C18121144CC C18121144CC C1811221144C CC C14121144CC C1811221144C CC C149.48.68.28.07.47.2P181818141814E()=9.4+8.6+8.2+8.0+7.4+7.2=8.181818141814典例典例2(2017北京西城一模,17)在測(cè)試中,客觀題難度的計(jì)算公式為Pi=,其中Pi為第i題的難度,Ri為答對(duì)該題的人數(shù),N為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù),iN*.現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試,共5道客觀題.測(cè)試前根

9、據(jù)對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:iRN考點(diǎn)二均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用題號(hào)12345考前預(yù)估難度Pi0.90.80.70.60.4測(cè)試后,隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù);(2)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)試題的預(yù)估難度和實(shí)測(cè)難度之間會(huì)有偏差.設(shè)Pi為第i題的實(shí)測(cè)難度,請(qǐng)用Pi和Pi設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,并制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估是否合理.題號(hào)12345實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)161614144解析解析(1)因?yàn)?0人中答對(duì)第5

10、題的人數(shù)為4,所以第5題的實(shí)測(cè)難度為=0.2.所以估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)為2400.2=48.(2)X的可能取值是0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列為420216220CC121911164220C CC329524220CC395X012P12193295395EX=0+1+2=.(3)將抽樣的20名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度作為240名學(xué)生中第i題的實(shí)測(cè)難度,定義統(tǒng)計(jì)量S=(P1-P1)2+(P2-P2)2+(Pi-Pi)2,其中Pi為第i題的預(yù)估難度,iN*.并規(guī)定:若S0.05,則稱本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估合理,否則,不合理.12193

11、29539538951nS=(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2=0.012.因?yàn)镾=0.0120.05,所以本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估是合理的.15規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)利用均值與方差解決實(shí)際問題的方法(1)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來.(2)依據(jù)隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件,求出其相應(yīng)的概率.(3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應(yīng)的期望與方差值.(4)依據(jù)期望與方差的意義對(duì)實(shí)際問題作出決策或給出合理的解釋.2-1現(xiàn)有兩個(gè)班級(jí),每班各出4名選手進(jìn)行羽毛球的男單、女單、男女混合

12、雙打(混雙)比賽(注:每名選手打且只打一場(chǎng)比賽).根據(jù)以往的比賽經(jīng)驗(yàn),各項(xiàng)目平均完成比賽所需時(shí)間如下表所示.現(xiàn)只有一場(chǎng)比賽場(chǎng)地,各場(chǎng)比賽的出場(chǎng)順序等可能.比賽項(xiàng)目男單女單混雙平均比賽時(shí)間25分鐘20分鐘35分鐘(1)求按女單、混雙、男單的順序進(jìn)行比賽的概率;(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間,求X的數(shù)學(xué)期望;(3)若要使所有參加比賽的人等待的總時(shí)間最少,應(yīng)該怎樣安排比賽順序(寫出結(jié)論即可).解析解析(1)三場(chǎng)比賽共有=6種順序,其中按女單、混雙、男單的順序進(jìn)行比賽只有1種,所以按女單、混雙、男單的順序進(jìn)行比賽的概率為.(2)令A(yù)表示女單比賽、B表示男單比賽、C表示混雙比賽.按

13、ABC順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t1=20+25=45(分鐘).按ACB順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t2=20+35=55(分鐘).按BAC順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t3=20+25=45(分鐘).按BCA順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t4=35+25=33A1660(分鐘).按CAB順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t5=35+20=55(分鐘).按CBA順序進(jìn)行比賽,第三場(chǎng)比賽開始時(shí)需要等待的時(shí)間為t6=35+25=60(分鐘).且上述六個(gè)事件是等可能事件,每個(gè)事件發(fā)生的概率為.隨機(jī)變量X的分布列為16X

14、455560P131313所以E(X)=.(3)按照混雙、女單、男單的順序參加比賽,可使等待的總時(shí)間最少.1603考點(diǎn)三正態(tài)分布典例3(1)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2),則P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%(2)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.2386B.2718C.3413D.4772

15、答案答案(1)B(2)C解析解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,則P(36)=(95.44%-68.26%)=13.59%.(2)由正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線的幾何意義,知題圖中陰影部分的面積為P(0 x1)=0.6826=0.3413,故落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為0.341310000=3413.故選C.1212方法技巧方法技巧解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與x軸之間的面積為1,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.(1)應(yīng)熟記P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值.(2)常用的結(jié)論有:正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱,從而在關(guān)于x=對(duì)稱的區(qū)間上概率相等.P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).3-1已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,2),且P(6)=0.98,則P(03)=.答案答案0.48解析解析因?yàn)?3,P(6)=1-P(6)=0.98,所以P(6)=P(0)=0.02,所以P(03)=P(0110)=0.2,所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為0.250=10.12 (90100)2PX10B