2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位關(guān)系分層演練 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位關(guān)系分層演練 文 一、選擇題 1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(　　) A．4個　　　　　　　　 B．3個 C．2個 D．1個 解析：選A．首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面． 2．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所

2、以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件． 3．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A．若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b．又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件． 4．在正方體ABCD-A1B1C1D

3、1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直 解析：選A．由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1， 從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1， 又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F， 則A1B與EF相交． 5．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為(　　) A． B． C． D． 解析：選C．如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的

4、角， 在△AGP中，AG＝GP＝AP， 所以∠APG＝． 6．已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面 解析：選B．在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯． 二、填空題 7．設(shè)a，

5、b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a⊥b，b⊥c則a∥c； ③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線． 上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號)． 解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯． 答案：① 8．如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是

6、圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________． 解析： 取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD， 因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)， 所以AD∥BC， 所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)， 所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD， 因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝AD， 所以直線AC1與AD所成角的正切值為， 所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為． 答案： 9．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面

7、的棱有________條． 解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合條件的有5條． 答案：5 10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且＝＝，則下列說法正確的是________． ①EF與GH平行； ②EF與GH異面； ③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上； ④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上． 解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以

8、E、F、G、H共面．因?yàn)镋H＝BD，F(xiàn)G＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M．因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上．同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，又AC是這兩個平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上． 答案：④ 三、解答題 11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1、H、O三點(diǎn)共線． 證明：如圖，連接BD，B1D1， 則BD∩AC＝O， 因?yàn)锽B1DD1， 所以四邊形BB1D1D為平行四邊形， 又H∈B1D， B1D?平

9、面BB1D1D， 則H∈平面BB1D1D， 因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1， 所以H∈OD1． 即D1、H、O三點(diǎn)共線． 12． 如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)． (1)求證：直線EF與BD是異面直線； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角． 解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線． (2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，

10、所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角． 又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG． 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°． 1．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ 解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD， 所以GHAD．又BCAD，故GHBC． 所以四邊形BCHG是平行四邊形．

11、 (2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下： 由BEFA，G是FA的中點(diǎn)知，BEGF， 所以EFBG． 由(1)知BG∥CH， 所以EF∥CH，故EC、FH共面． 又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 2．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求： (1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝． (2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， cos∠ADE＝＝． 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為．