《(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第39講 不等關(guān)系與不等式學(xué)案 理(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第39講 不等關(guān)系與不等式
考試要求 不等關(guān)系的概念(A級(jí)要求).
診 斷 自 測(cè)
1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a1,則a>b.( )
(3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變.( )
(4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小.( )
(5)a>b>0,c>d>0?>.( )
(6)若ab>0,則a>b?<.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
2.(教材改編)若a,b都是實(shí)數(shù),則“->0”是“a
2、2-b2>0”的________條件.
解析?。?0?>
?a>b?a2>b2,
但由a2-b2>0 ->0.
答案 充分不必要
3.(2018·南京模擬)若a,b∈R,且a+|b|<0,則下列不等式中正確的是________(填序號(hào)).
①a-b>0; ②a3+b3>0;
③a2-b2<0;?、躠+b<0.
解析 由a+|b|<0知a<0,且|a|>|b|,
當(dāng)b≥0時(shí),a+b<0成立,
當(dāng)b<0時(shí),a+b<0成立,∴a+b<0.
答案?、?
4.如果a∈R,且a2+a<0,則a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是________.
解析 由a2+a<0得a<-a2,
3、
∴a<0且a>-1,∴a<-a21且2a<1,
∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a
=-2+<.
即a<2ab<,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>,
a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0,
∴a2+b2
4、2+b20),
2.不等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)內(nèi)容
特別提醒
對(duì)稱性
a>b?bb,b>c?a>c
?
可加性
a>b?a+c>b+c
?
可乘性
?ac>bc
?acb+d
?
同向同正可乘性
?ac>bd
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)
a,b同為正數(shù)
可開方性
a>b>0?>(n∈N,n≥2
5、)
3.不等式的一些常用性質(zhì)
(1)倒數(shù)的性質(zhì)
①a>b,ab>0?<.
②a<0b>0,0.
④0b>0,m>0,則
①<;>(b-m>0).
②>;<(b-m>0).
考點(diǎn)一 比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小
【例1】 (1)(一題多解)若a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為________.
(2)(2018·無錫期中)若<<0,給出下列四個(gè)不等式:
①a+b|b|;③a2中,其中正確的不等式是________(填序號(hào)).
解析 (1
6、)法一 易知a,b,c都是正數(shù),=
=log8164<1,
所以a>b;
==log6251 024>1,
所以b>c.即ce時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
因?yàn)閑<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),
即c0.經(jīng)逐一分析,得①④正確.
答案 (1)c
7、者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí),有時(shí)也可以先平方再作差.
(2)作商法:
一般步驟:①作商;②變形;③判斷商與1的大??;④結(jié)論.
(3)函數(shù)的單調(diào)性法:將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.
注意:在綜合題中遇到比較大小時(shí)要采用此法.
【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a,b∈[0,+∞),A=+,B=,則A,B的大小關(guān)系是________.
(2)若a=1816,b=1618,則a與b的大小關(guān)系為________.
解析 (1)∵A≥0,B≥0,
A2-B2=a+2+b-(a+b)
=2≥0,
∴A≥B.
(2)==
==,
∵∈(0,1),∴
8、<1,
∵1816>0,1618>0,
∴1816<1618,即aac; ②c(b-a)<0;
③cb20.
(2)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù).現(xiàn)有下列命題:
①若a2-b2=1,則a-b<1;②若-=1,則a-b<1;③若|-|=1,則
|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,則|a-b|<1.
其中的真命題有________(寫出所有真命題的編號(hào)).
解析 (1
9、)由c0.
由b>c得ab>ac一定成立.
(2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b為正實(shí)數(shù),若a-b≥1,則必有a+b>1,又a-b=,不合題意,故①正確.
②中,-==1,只需a-b=ab即可.如取a=2,b=滿足上式,但a-b=>1,故②錯(cuò).
③中,a,b為正實(shí)數(shù),所以+>|-|=1,且|a-b|=|(+)(-)|=|+|>1,故③錯(cuò).
④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.
若|a-b|≥1,不妨設(shè)a>b>1,則必有a2+ab+b2>1,不合題意,故④正確.
答案 (1
10、)① (2)①④
規(guī)律方法 解決此類問題常用兩種方法:一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證;二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.
【訓(xùn)練2】 (一題多解)若a>0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的個(gè)數(shù)是________.
解析 法一 ∵a>0>b,c0,
∴ad0>b>-a,∴a>-b>0,
∵c-d>0,
∴a(-c)>(-b)(-d),
∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正確
11、.
∵c-d,
∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),
∴a-c>b-d,故③正確.
∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),
故④正確.
法二 取特殊值.
答案 3
考點(diǎn)三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用
【例3-1】 (一題多解)已知a>b>0,給出下列四個(gè)不等式:
①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.
其中一定成立的不等式為________(填序號(hào)).
解析 法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立;
由a>b>0可得a>b-1,而函數(shù)f(x)=2x在R上是增函數(shù),
∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;
12、
∵a>b>0,∴>,
∴()2-(-)2
=2-2b=2(-)>0,
∴>-,③成立;
若a=3,b=2,則a3+b3=35,2a2b=36,
a3+b3<2a2b,④不成立.
法二 令a=3,b=2,
可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立.
答案?、佗冖?
【例3-2】 已知-1
13、
∴1<3x+2y<18.
答案 (-4,2) (1,18)
規(guī)律方法 (1)判斷不等式是否成立的方法
①判斷不等式是否成立,需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì).
②在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí),先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮,找到與命題相近的性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假,當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí),比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.
(2)求代數(shù)式的取值范圍
利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí),多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此類問題,一般是利用整體思想,通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍,是避免錯(cuò)誤的
14、有效途徑.
【訓(xùn)練3】 (1)若a; ?、赼2bn.
(2)設(shè)a>b>1,c<0,給出下列三個(gè)結(jié)論:
①>; ②acloga(b-c).
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.
解析 (1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐個(gè)檢驗(yàn),可知①,②,④均不正確;
③中,|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)
?|a||b|+|b|<|a||b|+|a|?|b|<|a|,
∵a
15、>b>1知<,
又c<0,∴>,①正確;
構(gòu)造函數(shù)y=xc,
∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是減函數(shù),
又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1,
∴l(xiāng)ogb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正確.
答案 (1)③ (2)①②③
一、必做題
1.當(dāng)x>1時(shí),x3與x2-x+1的大小關(guān)系為________.
解析 ∵x3-(x2-x+1)
=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1).
又∵x>1,
故(x-1)(x2+1)>0,
∴x3-(x2-x+1)>0,
即
16、x3>x2-x+1.
答案 x3>x2-x+1
2.(2018·鎮(zhèn)江模擬)若6y>z,x+y+z=0,則下列不等式成立的是________(填序號(hào)).
①xy>yz; ②xz>yz;
③xy>xz; ④x|y|>z|y|.
解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,∴x>0,z<0,
又y>z,∴xy>xz.
答案?、?
4.設(shè)a,b∈R,則“(a-b)·a2<0”是“a
17、.
解析 由(a-b)·a2<0?a≠0且ab,則ac2>bc2;
②若>,則a>b;
③若a3>b3且ab<0,則>;
④若a2>b2且ab>0,則<.
解析 當(dāng)c=0時(shí),可知①不正確;
當(dāng)c<0時(shí),可知②不正確;
對(duì)于③,
18、由a3>b3且ab<0,知a>0且b<0,
所以>成立,③正確;
當(dāng)a<0且b<0時(shí),可知④不正確.
答案?、?
7.若a>b>0,則下列不等式中一定成立的是________(填序號(hào)).
①a+>b+;②>;
③a->b-;④>.
解析 取a=2,b=1,排除②與④;另外,函數(shù)f(x)=x-是(0,+∞)上的增函數(shù),但函數(shù)g(x)=x+在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,所以,當(dāng)a>b>0時(shí),f(a)>f(b)必定成立,即a->b-?a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立.
答案 ①
8.若a>b>0,則下列不等式一定不成立的是________(填序號(hào)).
①<;②l
19、og2a>log2b;
③a2+b2≤2a+2b-2;④b<<0(由a>b>0,a,b不能同時(shí)為1),
∴a2+b2-2a-2b+2>0,∴a2+b2>2a+2b-2,
∴③一定不成立.
答案?、?
9.若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),2n(1-a)<3n-1,1-a<×恒成立,只需1-a<×,∴a>.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),2n(a-1)<3n-1,a-1<×恒成立,只需a-1<×,∴a<.綜上,
20、-1<1,則-1的取值范圍是________.
解析?。?<2x-1<1?01?>2
?-1>1.
答案 (1,+∞)
11.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,則z=2x-3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示).
解析 ∵z=-(x+y)+(x-y),
∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,
∴z的取值范圍是[3,8].
答案 [3,8]
12.已知m∈R,a>b>1,f(x)=,試比較f(a)與f(b)的大小.
解 f(x)=m,f(a)=m,
f(b)=m.
由a>b>1,知a-1>b-1>0.
∴<,∴1+<1+.
①當(dāng)m>0時(shí),m(1+)m(1+),f(a)>f(b).
綜上所述,當(dāng)m>0時(shí),f(a)f(b).
11