2022年高中數學 第三章 數列教案

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1、2022年高中數學 第三章 數列教案 本章是數列，特別是等差數列與等比數列，有著較為廣泛的實際應用如各種產品尺寸常要分成若干等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數)，常按等比數列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等特別值得一提的是，數列在產品尺寸標準化方面有著重要作用?數列在整個中學數學教學內容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯(lián)系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為后面學習數列與函數的極限等內容作了鋪墊課本采取將代數

2、、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯(lián)系，而數列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用由于不少關于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數學問題都與等差數列、等比數列有關，學習這一章便于對學生進行綜合訓練，從而有助于培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力 ????本章教學約需17課時，具體分配如下： 3.1 數列 約2課時 3.2 等差數列 約2課時 3.3 等差數列前n項和 約2課時 3.4 等比數列 約2課時 3.5 等比數列前n項和 約2課時 研究性課題：分期付款中的有關計算 約3課時 小結與復習 約4課時 ?

3、一、內容與要求 ????本章從內容上看，可以分為數列、等差數列、等比數列三個部分 ????在數列這一部分，主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法關于數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾后又在此基礎上，給出了一個在映射、函數觀點下的定義，指出：“從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值”這樣就可以將數列與函數聯(lián)系起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助于運用函數的觀點去研究數列關于給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函數的解析式點破了這一點，數列與函數的內在聯(lián)系揭示

4、得就更加清楚此外，正如并非每一函數均有解析表達式一樣，也并非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)，因而研究遞推公式給出數列的方法可使我們研究數列的范圍大大擴展遞推是數學里的一個非常重要的概念和方法，數學歸納法證明問題的基本思想實際上也是“遞推”在數列的研究中，不僅很多重要的數列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數列的遞推公式，然后再根據它推得通項公式但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數列的性質，從數列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔考慮到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞

5、推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了 ????在等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函數的聯(lián)系，這樣就便于利用所學過的一次函數的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什么表示等差數列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項可以決定一個等差數列(從幾何上看兩點可以決定一條直線)在推導等差數列前n項和的公式時，突出了數列的一個重要的對稱性質：與任一項前后等距離的兩項的平均數都與該項相等，認識這一點對解決問題會帶來一些方便 ????在等比數列這一部分，在講等比數列的概念和通項公式時也突出了它與指數函數的聯(lián)系這不僅可加深對等比數列的認識，而且可以對處

6、理某類問題的指數函數方法和等比數列方法進行比較，從而有利于對這些方法的掌握 二、本章的特點 ????(一)在啟發(fā)學生思維上下功夫 ????本章內容，是培養(yǎng)學生觀察問題、啟發(fā)學生思考問題的好素材，使學生在獲得知識的基礎上，觀察和思維能力得到提高 ????在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學生的興趣，在本章的“前言”里用了一個有關國際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子它用一個涉及求等比數列的前n項和的麥粒數的計算問題給學生造成了一個不學本章知識、難獲問題答案的懸念，又在學了等比數列后回過頭來解開這個懸念；在講等差數列與等比數列的概念時，都是先寫出幾個數列，讓學生先觀察它們的共同特點，然

7、后在歸納共同特點的基礎上給出相應的定義 ????在推導結論時，注意發(fā)揮它們在啟發(fā)學生思維方面的作用例如在講等差數列前n項和的公式時，沒有平鋪直敘地推導公式，而是先提出問題： 1+2+3+...+100 = ?，并指出著名數學家高斯10歲時便很快算出它的結果，以激發(fā)學生的求解熱情，然后讓學生在觀察高斯算法的基礎上，發(fā)現上述數列的一個對稱性質：任意第k項與倒數第k項的和均等于首末兩項的和，從而為順利地推導求和公式鋪平了道路 ????在例題、習題的表述方面，適當配備了一些采用疑問形式的題，以增加問題的啟發(fā)成分如3.3 例4：“已知數列的通項公式為=pn十q，其中p、q是常數，那么這種數列是否一

8、定是等差數列? 如果是，其首項與公差是什么?” 又如:“如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那么這個數列有什么特點？”這樣就增加了題目的研究性在講有些例題時，加了一小段“分析”，通過不多的幾句話點明解題的思路如對于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差數列定義，要判定 {}是不是等差數列，只要看? 是不是一個與n無關的常數就行了”話雖不多，但突出了 “從定義出發(fā)”這種最基本的證明方法 ????(二)加強了知識的應用 ????除了上面提到的“研究性課題”多具有應用性的特點以外還在教材中適當增加了一些應用問題如在“閱讀材料”里介紹了有關儲蓄的一些計算；在所增加的應用問題

9、里還涉及房屋拆建規(guī)劃、繞在圓盤上的線的長度等 ????(三)呼應前面的邏輯知識，加強了推理論證的訓練 ????考慮到《新大綱》更加重視對學生邏輯思維能力的培養(yǎng)，且在前面第一章已介紹了“簡易邏輯”，為進行推理論證作了準備，緊接著又在第二章“函數”里進行了一定的推理論證訓練，因此本草在推理論證方面有所加強???? (四)注意滲透一些重要的數學思想方法 ????由于本章處在知識交匯點的地位，所蘊含的數學思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘教材注意從函數的觀點去看數列，在這種整體的、動態(tài)的觀點之下使數列的一些性質顯現得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，例如“復習參考題B組第2題”便

10、是一個典型例子方程或方程組的思想也是體現得較為充分的，不少的例、習題均屬這種模式：已知數列滿足某某條件，求這個數列這類問題一般都要通過列出方程或方程組．然后求解關于遞推的思想方法，不僅在數列的遞推公式里有所體現觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運用在本章里得到了充分展示．為學生了解它們各自的作用、相互間的關系并進行初步運用提供了條件 三、教學中應注意的幾個問題 ????(一)把握好本章的教學要求 ????由于本章聯(lián)系的知識面廣，具有知識交匯點的特點，在應試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學要求很容易拔高，過早地進行針對“高考” 的綜合性訓練，從而影響了基本內容的學習和

11、加重了學生負擔事實上，學習是一個不斷深化的過程作為在高一(上)學習的這一章，應致力于打好基礎并進行初步的綜合訓練，在后續(xù)的學習中通過對本章內容的不斷應用來獲得鞏固和提高最后在高三數學總復習時，通過知識的系統(tǒng)梳理和進一步的綜合訓練使對本章內容的掌握上升到一個新的檔次為此，本章教學中應特別注意一些容易膨脹的地方例如在學習數列的遞推公式時，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計算問題，只要會根據遞推公式求出數列的前幾項就行了；在研究數列求和問題時，不要涉及過多的技巧. ????(二)有意識地復習和深化初中所學內容 ????對于初中學過的多數知識．在高中沒有系統(tǒng)深入學習的機會而初中內容是學習高中數學的

12、必要基礎，因而在學習高中內容時有意識地復習、深化初中內容顯得特別重要本章是高中數學的第三章，距離初中數學較近，與初中數學的聯(lián)系最廣，因而教學中應在溝通初、高中數學方面盡可能多地作一些努力???? (三)適當加強本章內容與函數的聯(lián)系 ????適當加強這種聯(lián)系，不僅有利于知識的融匯貫通，加深對數列的理解，運用函數的觀點和方法解決有關數列的問題，而且反過來可使學生對函數的認識深化一步比如，學生在此之前接觸的函數一般是自變量連續(xù)變化的函數，而到本章接觸到數列這種自變量離散變化的函數之后，就能進一步理解函數的一般定義，防止了前面內容安排可能產生的學生認識上的負遷移； ????本章內容與函數的聯(lián)系涉

13、及以下幾個方面 ????1．數列概念與函數概念的聯(lián)系 ????相應于數列的函數是一種定義域為正整數集(或它的前n個數組成的有限子集)的函數，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數從這個意義上看，它豐富了學生所接觸的函數概念的范圍但數列與函數并不能劃等號，數列是相應函數的一系列函數值基于以上聯(lián)系，數列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數列的性質數列的通項公式實際上是相應因數的解析表達式而數列的遞推公式也是表示相應函數的一種方式，因為只要給定一個自變量的值n，就可以通過遞推公式確定相應的f(n)這也反過來說明作為一個函數并不一定存在直接表示因變量與自變量關系的解析式 ???? 2

14、．等差數列與一次函數、二次函數的聯(lián)系 ????從等差數列的通項公式可以知道，公差不為零的等差數列的每一項a是關于項數n的一次函數式于是可以利用一次函數的性質來認識等差數列例如，根據一次函數的圖象是一條直線和直線由兩個點唯一確定的性質，就容易理解為什么兩項可以確定一個等差數列 ???此外，首項為、公差為d的等差數列前n項和的公式可以寫為： ????即當時，是n的二次函數式，于是可以運用二次函數的觀點和方法來認識求等差數列前n項和的問題如可以根據二次函數的圖象了解的增減變化、極值等情況 ????3．等比數列與指數型函數的聯(lián)系 ????由于首項為、公比為q的等比數列的通項公式可以寫成

15、 它與指數函數y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數函數的性質來研究等比數列 ????(四)注意等差數列與等比數列的對比，突出兩類數列的基本特征 ????等差數列與等比數列在內容上是完全平行的，包括：定義、性質(等差還是等比)、通項公式、前n項和的公式、兩個數的等差(等比)中項具體問題里成等差(等比)數列的三個數的設法等因此在教學與復習時可采用對比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別順便指出，一個數列既是等差數列又是等比數列的充要條件是它是非零的常數列 ????教學中應強調，等差數列的基本性質是“等差”，等比數列的基本性質是“等比”，這是我們研究有關兩類數列的主要出發(fā)點，是判斷、證明

16、一個數列是否為等差 (等比)數列和解決其他問題的一種基本方法要讓學生注意，這里的“等差”(“等比”)，是對任意相鄰兩項來說的 ????上述基本性質，引申出兩類數列的一種對稱性：即與數列中的任一項“等距離”的兩項之和(之積)等于該項的2倍(平方). ????利用上述性質，常使一些問題變得簡便對于學有余力的學生，還可指出等差數列與等比數列描述了兩種最簡單、最重要的變化：等差數列描述的是一種絕對均勻變化，等比數列描述的是一種相對均勻變化非均勻變化通常要轉化或近似成均勻變化來進行研究，這就成為教材之所以重點研究等差數列與等比數列的主要原因所在 ????(五)注意培養(yǎng)學生初步綜合運用觀察、歸納、

17、猜想、證明等方法的能力 ????綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數學，是一種非常重要的學習能力事實上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進行試探，提出猜想；最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想應該指出，能夠充分進行上述研究方法訓練的素材在高中數學里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓練機會，因而在教學中應該充分利用，不要輕易放過 ????(六)在符號使用上與國家標準一致 ????為便于與國際交流，關于量和單位的新國家標準中規(guī)定自然數集N＝{0， l，2．3，……}，即自然數從O開始這與長期以來的習慣用法不同，會使我們感到別扭但為了不與上述規(guī)定抵觸，教學中還是要將過去的習慣用法改變過來，稱數集{1，2，3，…}為正整數集.