2022年高考數學總復習 第八章 解析幾何 47 橢圓課時作業(yè) 文

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1、2022年高考數學總復習 第八章 解析幾何 47 橢圓課時作業(yè) 文 一、選擇題 1．(2018·河北張家口模擬)橢圓＋＝1的焦點坐標為(　　) A．(±3,0) B．(0，±3) C．(±9,0) D．(0，±9) 解析：根據橢圓方程可得焦點在x軸上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦點坐標為(0，±3)．故選B. 答案：B 2．(2018·湖南長沙一模)橢圓的焦點在x軸上，中心在原點，其上、下兩個頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓的標準方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由條件可知b＝c＝，a＝

2、2，所以橢圓的標準方程為＋＝1.故選C. 答案：C 3．(2018·上海浦東新區(qū)二模，3)方程kx2＋4y2＝4k表示焦點在x軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是(　　) A．k＞4 B．k＝4 C．k＜4 D．0＜k＜4 解析：方程kx2＋4y2＝4k表示焦點在x軸上的橢圓，即方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，可得0＜k＜4，故選D. 答案：D 4．(2018·陜西西安八校聯考)某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角

3、形，設其直角邊長為a，則斜邊長為a，圓錐的底面半徑為a、母線長為a，因此其俯視圖中橢圓的長軸長為a、短軸長為a，其離心率e＝＝，選C. 答案：C 5．(2018·泉州質檢)已知橢圓＋＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：∵橢圓＋＝1的長軸在x軸上， ∴解得6< m<10. ∵焦距為4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8. 答案：A 6．(2018·江西上饒一模)設F1，F2為橢圓C1：＋＝1(a1>b1>0)與雙曲線C2：－＝1(a2>0，b2>0)的公共焦點，它們在第一象限內交于點M，∠F1MF2＝90°，若橢圓的離

4、心率e1＝，則雙曲線C2的離心率e2為(　　) A. B. C. D. 解析：設|F1M|＝m，|F2M|＝n，m>n， 則m＋n＝2a1，m－n＝2a2，m2＋n2＝4c2， 可得a＋a＝2c2 可得＋＝2，又e1＝， 所以e2＝.故選B. 答案：B 7．(2018·宜昌調研)已知F1，F2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點A是橢圓上位于第一象限內的一點，O為坐標原點，·＝||2，若橢圓的離心率為，則直線OA的方程是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：設A(xA，yA)，又F2(c,0)，所以·＝(xA，yA)·(c,

5、0)＝cxA＝c2，因為c＞0，所以xA＝c，代入橢圓方程得＋＝1，解得yA＝，故kOA＝＝＝，又＝，故c＝a，故kOA＝＝，故直線OA的方程是y＝x，故選B. 答案：B 8．(2018·江西九江模擬)橢圓＋＝1(a>b>0)，F1，F2為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，點P為橢圓上一點，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：設P(x，y)，則|OP|2＝x2＋y2＝， 由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2， 又∵|PF1|

6、，|F1F2|，|PF2|成等比數列， ∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2， 則|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2， ∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2， 即＋5c2＝2a2，整理得＝， ∴橢圓的離心率e＝＝.故選D. 答案：D 9．(2018·江西高安模擬，5)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，若F關于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D.－1 解析：設F(－c,0)關于直線x＋y＝0的對稱 點A(m，n)，則 ∴m＝，n＝c

7、， 代入橢圓方程可得＋＝1，把b2＝a2－c2代入， 化簡可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，又0＜e＜1，∴e＝－1，故選D. 答案：D 10．(2017·新課標全國卷Ⅰ文科)設A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 解析：方法一：設焦點在x軸上，點M(x，y)． 過點M作x軸的垂線，交x軸于點N， 則N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝. 又tan∠A

8、MB＝tan 120°＝－， 且由＋＝1可得x2＝3－， 則＝＝－. 解得|y|＝. 又0<|y|≤，即0<≤，結合03時，焦點在y軸上， 要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°， 則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 故選A. 答案：A 二、填空題 1

9、1．(2018·蘇州一模)若橢圓的兩焦點與短軸的兩端點在單位圓上，則橢圓的內接正方形的邊長為__________． 解析：不妨設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，依題意得b＝c＝1，a＝，則橢圓的方程為＋y2＝1，設橢圓的內接正方形在第一象限的頂點坐標為(x0，x0)，代入橢圓方程，得x0＝，所以正方形邊長為. 答案： 12．(2018·江西贛州模擬)已知圓E：x2＋2＝經過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點F1，F2，與橢圓在第一象限的交點為A，且F1，E，A三點共線，則該橢圓的方程為________． 解析：對于x2＋2＝，當y＝0時，x＝±， ∴F1(－，0)，F2(，0

10、)，∵E的坐標為，∴直線EF1的方程為＝，即y＝x＋，由 得點A的坐標為(，1)， 則2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，∴a＝2，∴b2＝2， ∴該橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 13．(2018·蘭州一模)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，O為坐標原點，若|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，則該橢圓的離心率為________． 解析：由|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得點P是橢圓的短軸端點，即P(0，±b)，故b＝×2c＝c，故a＝c，即＝. 答案： 14．(2018·武漢調研)已知直線MN過

11、橢圓＋y2＝1的左焦點F，與橢圓交于M，N兩點．直線PQ過原點O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點，則＝________. 解析：本題考查橢圓的幾何性質．因為a＝，b＝1，所以c＝1，當MN⊥x軸時，由通徑公式知|MN|＝＝＝，又PQ過原點且與MN平行，所以|PQ|＝2b＝2，所以＝＝2；當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y＝k(x＋1)，則直線PQ的方程為y＝kx，由得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝?、伲瑇1x2＝?、?，所以|MN|＝|x1－x2|＝·，將①②代入化簡整理，得|MN|＝；同理可求得|PQ|＝，所

12、以＝＝2.綜上所述，＝2. 答案：2 [能力挑戰(zhàn)] 15．(2018·煙臺一模)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l經過點M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點，若＝2，求直線l的方程． 解析：(1)設橢圓方程為＋＝1(a＞0，b＞0)， 因為c＝1，＝，所以a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋1， 則由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＞0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由＝2得x1＝－2x2. 又所以， 消去x2，得2＝. 解得k2＝，k＝±. 所以直線l的方程為y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.