2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第四章 平面向量與復數(shù)學案

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第四章 平面向量與復數(shù)學案 ① 了解向量的實際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. ② 掌握向量加、減法和數(shù)乘運算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. ③ 了解向量的線性運算性質及其幾何意義． 　　掌握向量加、減法、數(shù)乘的運算，以及兩個向量共線的充要條件． 1. (必修4P62習題5改編)下列命題：① 零向量的長度為零，方向是任意的；② 若a，b都是單位向量，則a＝b；③ 向量與相等．則所有正確的命題是________．(填序號) 答案：① 解析：根據(jù)零向量的定義可知①正

2、確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量與互為相反向量，故③錯誤． 2. 在四邊形ABCD中，若＝＋，則四邊形ABCD的形狀是__________． 答案：平行四邊形 解析：依題意知AC是以AB，AD為相鄰兩邊的平行四邊形的對角線，所以四邊形ABCD是平行四邊形． 3. 在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則＝____________． 答案：b＋c 解析：如圖，因為在△ABC中，＝c，＝b，且點D滿足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c. 4. 設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ

3、＝________． 答案： 解析：因為向量λa＋b與a＋2b平行，設λa＋b＝k(a＋2b)，則所以λ＝. 5. (必修4P73習題15改編)已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j.若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應該滿足的條件是________．(填序號) ① m＋n＝1；② m＋n＝－1；③ mn＝1；④ mn＝－1. 答案：③ 解析：由A，B，D共線可設＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此即有mn＝1. 1. 向量的有關概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)，記作||. (2

4、) 零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量． (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上． 規(guī)定：0與任一向量平行． (5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量． 2. 向量加法與減法運算 (1) 向量的加法 ① 定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法． ② 法則：三角形法則；平行四邊形法則． ③ 運算律：a＋b＝b＋a

5、；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2) 向量的減法 ① 定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法． ② 法則：三角形法則． 3. 向量的數(shù)乘運算及其幾何意義 (1) 實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ② 當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0. (2) 運算律：設λ，μ∈R，則： ① λ(μa)＝(λμ)a； ② (λ＋μ)a＝λa＋μa； ③ λ(a＋b)＝λa＋λb． 4. 向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使

6、得b＝λa． ,　　　　　　　　　1　平面向量的基本概念) ,　　　　　1)　(1) 給出下列六個命題： ① 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ② 若|a|＝|b|，則a＝b； ③ 若＝，則A，B，C，D四點構成平行四邊形； ④ 在?ABCD中，一定有＝； ⑤ 若m＝n，n＝p，則m＝p； ⑥ 若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中錯誤的命題是________．(填序號) (2) 給出以下命題： ① 對于實數(shù)p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb； ② 對于實數(shù)p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa； ③ 若pa＝pb(p∈R)，則a＝b；

7、 ④ 若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，則p＝q. 其中正確的命題是__________．(填序號) 答案：(1) ①②③⑥　(2) ①②④ 解析：(1) 兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點，故①不正確；|a|＝|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；＝，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確；零向量與任一向量平行，故a∥b，b∥c時，若b＝0，則a與c不一定平行，故⑥不正確． (2) 根據(jù)實數(shù)與向量乘積的定義及其運算律，可知①②④正確；③不一定正確，因為當p＝0時，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.

8、 設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題個數(shù)是________． 答案：3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②、③也是假命題． ,　　　　　　　　　2　平面向量的線性表示) ,　　　　　2)　如圖，在△ABC中，＝＝.若＝λ＋μ，則λ＋μ＝__________． 答案： 解析：由題意，＝，＝，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)

9、＝＋. 又＝λ＋μ，∴ λ＝μ＝，λ＋μ＝. 變式訓練 已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則向量＝__________．(用，表示) 答案：＋ 解析：∵ ＝2，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. ,　　　　　　　　　3　共線向量) ,　　　　　3)　(1) (2017·鎮(zhèn)江期末)設向量a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________． (2) 已知D為△ABC邊BC的中點，點P滿足＋＋＝0，＝λ，則實數(shù)λ的值為__________． 答案：(1) －1　(2) －2 解析：(1) ∵ ＝a＋b，＝a

10、－2b，∴ ＝＋＝2a－b.∵ A，B，D三點共線，∴ ，共線．設＝λ，∴ 2a＋pb＝λ(2a－b)，∴ 2＝2λ，p＝－λ，∴ λ＝1，p＝－1. (2) 如圖所示，由＝λ且＋＋＝0，可知P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此＝－2，則λ＝－2. 變式訓練 已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c與d同向，則實數(shù)λ的值為__________． 答案：1 解析：由于c與d同向，設c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝

11、1或λ＝－.因為k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. ,　　　　　　　　　4　向量共線的應用) ,　　　　　4)　已知D為△ABC的邊AB的中點．點M在DC上且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為__________． 答案：3∶5 解析：由5＝＋3，得2＝2＋3－3，即2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5. 如圖，△ABC中，在AC上取一點N，使AN＝AC；在AB上取一點M，使AM＝AB；在BN的延長線上取點P，使得NP＝BN；在CM的延長線上取點Q，使得＝λ時，＝，試確定λ的值． 解：∵ ＝－＝

12、(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ， 又＝， ∴ ＋λ＝，即λ＝， ∴ λ＝. 1. 下列各式不能化簡為的是________．(填序號) ① (＋)＋；② (＋)＋(＋)；③ ＋－；④ －＋. 答案：③ 解析：對于①，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對于②，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對于③，＋－＝＋2；對于④，－＋＝＋＝. 2. (2017·南京模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC.用，表示，則＝________． 答案：＋ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 3. 如圖，已知＝，用，表示，則＝________． 答案：－＋ 解析

13、：∵ ＝，∴ －＝(－)， ∴ ＝－＋. 4. 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段AB交于圓內一點D.若＝x＋y，則x＋y的取值范圍是__________． 答案：(－∞，－1) 解析：由于A，B，D三點共線，設＝α，則＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三點共線，且點D在圓內，點C在圓上，與方向相反，則存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)·＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1. 1. 已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：① ＝a－b；②

14、 ＝a＋b；③ ＝－a＋b；④ ＋＋＝0. 其中正確的命題為________．(填序號) 答案：②③④ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴ ＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴ 正確的命題為②③④. 2. 已知m，n滿足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，則|m＋n|＝________． 答案：3 解析：由平行四邊形的對角線與邊的關系，得|m－n|與|m＋n|為以m，n為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26.又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3.

15、 3. 如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120°，點C在弧AB上，且∠COB＝30°.若＝λ＋μ，求λ＋μ的值． 解：如圖，作CD∥OB，交OA于點D，作CE∥OA，交OB的延長線于點E，則＝＋. 由題意知，∠COD＝90°， ∴ 在△OCE中，∠OCE＝90°，∠COB＝30°. ∵ ||＝，∴ ||＝||＝1，||＝2， ∴ ＝＝，＝＝，即λ＝，μ＝，故λ＋μ＝. 4. (2017·鹽城模擬)如圖，經過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為________． 答案：3 解析：設＝a，＝b，由題意知＝×(＋)＝

16、(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b.由P，G，Q三點共線，得存在實數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，從而消去λ，得＋＝3. 1. 解決與平面向量的概念有關的命題真假的判定問題，其關鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：①模相等；②方向相同． 2. 在進行向量線性運算時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解． 3. 平行向量定理的條件和結論是充要條件關系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)

17、．利用兩向量共線證明三點共線要強調有一個公共點．[備課札記] 第2課時　平面向量的基本定理及 坐標表示(對應學生用書(文)、(理)75～76頁) ① 了解平面向量的基本定理及其意義. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 　　能正確用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算，以及熟練掌握用坐標表示的平面向量共線的條件． 1. (2017·蘇州期末)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，

18、1)，則2a＋b＝________． 答案：(3，9) 解析：2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)． 2. (必修4P79練習9改編)已知M(3，－2)，N(－5，2)，且＝，則P點的坐標為____________． 答案：(－1，0) 解析：設P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，而＝(－8，4)＝(－4，2)，∴解得 3. (必修4P82練習8改編)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝__________． 答案：－6 解析：因為a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得m＝－6. 4. (必修4P79練習4改編)已知?ABCD的頂點A(－1，

19、－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________． 答案：(1，5) 解析：設D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 5. 設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 答案：?。? 解析：由題意，設e1＋e2＝ma＋nb. 因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得所以 1. 平面

20、向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這個平面內所有向量的一組基底． 如果作為基底的兩個基向量互相垂直，則稱其為正交基底，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2. 平面向量的直角坐標運算 (1) 已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λ

21、y1)．a∥b?x1y2－x2y1＝0. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　平面向量的坐標表示與坐標運算) ,　　　　　1)　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1) 求3a＋b－3c； (2) 求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3) 求M，N的坐標及向量的坐標． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2) ∵

22、 mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ 解得 (3) 設O為坐標原點，∵ ＝－＝3c， ∴ ＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M的坐標為(0，20)． 又＝－＝－2b， ∴ ＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N的坐標為(9，2)， ∴ ＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 變式訓練 如圖，已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標． 解：如圖，以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種情況：① ?ABCD；② ?ADBC；③ ?A

23、BDC.設D的坐標為(x，y)， ① 若是?ABCD，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)， ∴ ∴ ∴ D點的坐標為(0，－4)(如圖中所示的D1點)． ② 若是?ADBC，則由＝，得 (0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)， 即(1，4)＝(x－1，y)， 解得x＝2，y＝4. ∴ D點的坐標為(2，4)(如圖中所示的D2點)． ③ 若是?ABDC，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)． 解得x＝－2，y＝0.

24、 ∴ D點的坐標為(－2，0)(如圖中所示的D3點)． ∴ 以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為(0，－4)或(2，4)或(－2，0)． ,　　　　　　　　　2　向量共線充要條件的坐標表示及應用) ,　　　　　2)　已知向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2)． (1) 若D，求證：對任意實數(shù)m，都有∥； (2) 若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m應滿足什么條件？ (1) 證明：由題意，＝－＝(2，1)，＝－＝. 因為2－1·(m－4)＝0，所以∥. (2) 解：＝－＝(2，1)，＝－＝(1－m，m＋6)． 若點A，B，C能構成三角形，則A，

25、B，C三點不共線． 當A，B，C三點共線時，存在λ使＝λ，即(2，1)＝λ(1－m，m＋6)，得解得m＝－. 所以當m≠－時，點A，B，C能構成三角形． 變式訓練 已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數(shù)k的取值集合為__________． 答案：{1} 解析：若點A，B，C不能構成三角形，則向量與共線． 因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. ,　　　　　　　　　3　平面向量基本定理及應用) ,　　　　　3)　

26、如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點F，設＝a，＝b，＝xa＋yb，則x，y分別為__________． 答案：， 解析：令＝λ，由題意，可知＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)a＋λb；同理，令＝μ，則＝＋＝＋μ＝＋μ＝μa＋(1－μ)b. 因為a，b不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以＝a＋b.故x＝，y＝. (2017·南通調研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________． 答案： 解析：設＝k，k∈R. 因為＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝，解得k＝

27、，m＝. 1. 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，則c＝__________． 答案：(－23，－12) 解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，則c＝(－23，－12)． 2. 如圖，向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________． 答案：4 解析：以向量a，b的交點為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴ a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)． ∵ c＝λa＋μb

28、，∴ 解得∴ ＝＝4. 3. 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且c>b>a，若向量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，則當△ABC的面積為時，b＝________． 答案：2 解析：由向量m和n平行知a＋c＝2b?、?， 由acsin B＝?ac＝?、冢? 由c>b>a知B為銳角，則cos B＝， 即＝?、?， 由①②③可得b＝2. 4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O.若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為__________． 答案： 解析：∵ AO為△ABC的角平分線，∴ 存在實數(shù)λ(

29、λ≠0)使＝λ，即＝λ＋λ， ∴ 　① 設AB邊上的中線與AB交于點D，則＝2x＋y. ∵ C，O，D三點共線，∴ 2x＋y＝1?、? 由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝. 1. 已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為__________． 答案：4 解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0， 則有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， ∴ ?x＝4(x＝－4舍去)． 2. (2017·南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO

30、的中點．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________． 答案： 解析：由題意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 3. 在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為________． 答案： 解析：∵ M為邊BC上任意一點， ∴ 可設＝x＋y(x＋y＝1)． ∵ N為AM的中點，∴ ＝＝x＋y＝λ＋μ.∴ λ＋μ＝(x＋y)＝. 4. 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數(shù))，則＋的最小值為________．

31、答案： 解析：(解法1)設＝a，＝b，則＝－a＋b； 設＝λ，則＝＋＝a＋λb. 因為＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n， 消去λ得m＋n＝1， ＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝. (解法2)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)， 設＝λ＝(－3λ，4λ)，則＝＋＝(4－3λ，4λ)． 因為＝m＋n＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)． 1. 應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的

32、應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是惟一的． 2. 利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標． 3. 向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值．[備課札記] 第3課時　平面向量的數(shù)量積及平面向量的 應用舉例(對應學生用書(文)、(理)77～

33、79頁) ① 理解平面向量數(shù)量積的含義.② 掌握數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的運算；能利用數(shù)量積表示兩個向量夾角的余弦，會用數(shù)量積判斷兩個非零向量是否垂直． ① 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，數(shù)量積的性質及運算律，數(shù)量積的坐標表示.② 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題． 1. (必修4P90習題19(2)改編)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x＝____________． 答案：9 解析：由a⊥(a－b)知，a2＝a·b，即5＝x－4，則x＝9. 2. 已知向量a＝(1，)，b＝(，

34、1)，則a與b夾角的大小為__________． 答案： 解析：設a與b夾角為θ，由已知，a·b＝2，|a|＝|b|＝2，cos θ＝＝.因為θ∈[0，π]，所以θ＝. 3. (2017·蘇北四市調研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|＝2，|b|＝3，則|2a－3b|＝________． 答案： 解析：由題意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝. 4. (必修4P89習題第8(1)題改編)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________． 答案：－6 解析：b1＝e1－2e2，

35、b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因為e1，e2為單位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6. 5. (必修4P90習題21改編)已知D是△ABC所在平面內一點，且滿足(－)·(－)＝0，則△ABC的形狀是__________． 答案：等腰三角形 解析： (－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化簡得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形． 1. 向量數(shù)量積的定義 (1) 向量a與b的夾角． (2) 已知兩個非零向量a和b，

36、它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos_θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2. 向量數(shù)量積的性質 設a，b都是非零向量，e是單位向量，θ是a與b的夾角，則 (1) e·a＝a·e. (2) a⊥b ?a·b＝0． (3) 當a與b同向時，a·b＝|a|·|b|； 當a與b反向時，a·b＝－|a|·|b|； 特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝. (4) cos θ＝. (5) |a·b|≤|a|·|b|. 3. 向量數(shù)量積的運算律 (1) 交換律：a·b＝b·a. (2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

37、 (3) 數(shù)乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 4. 平面向量數(shù)量積的坐標表示 (1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (2) 設a＝(x，y)，則|a|＝． (3) 若向量a＝(x1，y1)與向量b＝(x2，y2)的夾角為θ，則有cos θ＝＝. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　平面向量數(shù)量積的運算) ,　　　　　1)　(1) (2017·第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)在四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，若|AC|＝4，·＝12，＝，＝2，則·＝____

38、____． (2) 已知邊長為6的正三角形ABC，＝，＝，AD與BE交于點P，則·的值為__________． 答案：(1) 0　(2) 解析：(1) 因為·＝2－2＝2－4＝12，2＝16，2＝4，所以·＝2－2＝4－4＝0. (2) 以D點為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，則B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，則·的值為. 變式訓練 (2017·南通、揚州、泰州調研)如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若||＝3，||＝5，則(＋)·(－)的值為__________． 答案：－16 解析：由＝－，·

39、＝0，則(＋)·(－)＝(2－)·＝2·＝(＋)·(－)＝ 2－ 2＝32－52＝－16. ,　　　　　　　　　2　平面向量的平行與垂直問題) ,　　　　　2)　(2017·鎮(zhèn)江一模)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1) 求cos 2α的值； (2) 若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值． 解：(解法一)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，且α∈，則cos α＝，sin α＝， 則cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. (2

40、) 由α∈，β∈得，α－β∈. 因為sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因為β∈，則β＝. (解法2)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2， 故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 且cos2α＋sin2α＝1，α∈， 則sin α＝，cos α＝，則cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. (2) 由α∈，β∈得，α－β∈. 因為sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)

41、]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因為β∈，則β＝. 變式訓練 平面直角坐標系xOy中，已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥. (1) 求x與y之間的關系式； (2) 若⊥，求四邊形ABCD的面積． 解：(1) 由題意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)． 因為∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0， 即x＋2y＝0. (2) 由題意＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． 因為⊥， 所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0， 聯(lián)立 解得

42、或 當時，＝(8，0)，＝(0，－4)， S四邊形ABCD＝×AC×BD＝16； 當時，＝(0，4)，＝(－8，0)，S四邊形ABCD＝×AC×BD＝16. 所以四邊形ABCD的面積為16. ,　　　　　　　　　3　平面向量的模與夾角問題) ,　　　　　3)　(1) 已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則α的模的取值范圍是____________； (2) (2017·鹽城模擬)已知||＝||＝，且·＝1.若點C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是____________． 答案：(1) (0，]　(2) [－1，＋1] 解析：(1) 設△ABC中，

43、a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得＝，則＝c，即c＝sin C．又0

44、∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3| 的最小值為__________． 答案：(1) 　(2) 5 解析：(1) |b|＝1，|a|＝5，對|a－b|＝兩邊平方，得2a·b＝5，2|a||b|cos θ＝5，cos θ＝，則向量a，b的夾角為. (2) (解法1)以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系． 設DC＝a，DP＝x，∴ D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴ ＋3＝(5，3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|

45、＋3|的最小值為5. (解法2)設＝x(0

46、1)，且m⊥n，所以cos α－sin α＝0，即tan α＝. 又α∈(0，π)，所以α＝. (2) 因為m＋n＝(cos α＋，sin α－1)， 所以|m＋n|＝＝＝. 因為α∈(0，π)，所以α＋∈，故當α＋＝π時，|m＋n|取到最小值1. ●總結歸納 解決向量與三角函數(shù)綜合問題的關鍵是根據(jù)向量間的條件，利用數(shù)量積的性質，將問題轉化為三角函數(shù)的條件求解，然后利用三角恒等變換或三角函數(shù)的圖象和性質解決問題． ●題組練透 1. 已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2，1)，α∈，若m·n＝1，則sin(2α＋)＝____________． 答案：－ 解

47、析：由m·n＝2cos α＋sin α＝1，cos2α＋sin2α＝1，且α∈，得cos α＝，則sin＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－. 2. 若向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值為____________． 答案：4 解析：因為向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，所以|a|＝1，|b|＝2，a·b＝cos θ－sin θ，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8－4(cos θ－sin θ)＝8－8cos ，所以|2a－b|2的最大值為16，因此|2a－b|的最大值為4. 3. 在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊

48、分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝. (1) 求sin A的值； (2) 若a＝4，b＝5，AD⊥BC于D，求·的值． 解：(1) 由m·n＝，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝，所以cos A＝. 因為0

49、調研(二))已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)． (1) 當x＝時，求m·n的值； (2) 若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值． 解：(1) 當x＝時，m＝，n＝， 所以m·n＝－＝. (2) m·n＝cos xsin x－cos2x ＝sin 2x－cos 2x－＝sin－. 若m·n＝－，則sin－＝－，即sin＝. 因為x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝， 則cos 2x＝cos＝cos×－sin×＝×－×＝. 1. 在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，則·＝________． 答案：－2 解析：由余弦定理得cos

50、 A＝＝＝－， 所以·＝||·||cos A＝2×2×＝－2. 2. (2017·南通調研)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a與b反向，則|b|＝________． 答案：2 解析：∵ a與b反向，∴ a與b共線，∴ m(2m＋1)－2×3＝0?2m2＋m－6＝0?m＝－2或m＝.當m＝－2時，a＝(－3，3)，b＝(2，－2)，a與b反向，此時|b|＝2；當m＝時，a＝(4，3)，b＝，a與b同向，不合題意． 3. (2017·第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知四邊形ABCD，若·＝·＝2，則·的值為________． 答案：0 解析：因為·＝(＋)·(＋)＝·＋

51、(＋＋)·＝·＋·，所以·＝·－·＝0. 4. (2016·江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，·＝4，·＝－1，則·的值是__________． 答案： 解析：因為·＝·＝＝＝4，·＝(－)·＝＝－1， 因此 2＝， 2＝， ·＝· ＝＝＝. 1. 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是線段AC的三等分點，則·的值為________． 答案： 解析：設＝a，＝b，·＝·＝(a2＋b2)＋a·b＝－＝. 2. (2017·鎮(zhèn)江期末)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|a－b|＝___

52、_____． 答案： 解析：|a－b|＝＝＝＝. 3. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調研(二))在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 答案： 解析：以A為坐標原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系，則P(1，4)，C(t，0)，B，BC：＋ty＝1，x＋t2y－t＝0. S△PBC＝××＝|4t＋－1|≥|2－1|＝，△PBC面積的最小值為. 4. 已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1) 當a∥b時，求tan的值； (2) 設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，當x∈時，求f(x)的值域．

53、解：(1) ∵ a∥b，∴ cos x＋sin x＝0，∴ tan x＝－， ∴ tan＝＝＝－7. (2) f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋. ∵ x∈，∴ ≤2x＋≤， ∴ －≤sin≤1，∴ ≤f(x)≤＋， 即函數(shù)f(x)的值域為. 1. 在數(shù)量積的基本運算中，經常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，是求距離常用的公式． 2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值．在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進行整體計算，把

54、這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算． 3. 應用向量運算將問題轉化為與代數(shù)函數(shù)有關的問題，其中轉化是關鍵． 4. 向量與三角函數(shù)的交匯是高考最常見的題型之一，其中用向量運算進行轉化，化歸三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題是常規(guī)的解題思路和基本方法． 第4課時　復　 數(shù)(對應學生用書(文)、(理)80～81頁) ① 理解復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復數(shù)相等的充要條件. ② 理解復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算. ③ 了解復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)代數(shù)形式加、減運算的幾何意義． 　　能準確用復數(shù)的四則運算法則進行復數(shù)加減乘除的運算．

55、 1. 設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(1－i)(1＋2i)＝__________． 答案：3＋i 解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i. 2. (2017·蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)第三次調研)設a，b∈R，＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，則b的值為________． 答案：1 解析：＝＝i，故a＋bi＝i，b＝1. 3. 在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是__________． 答案：2＋4i 解析：∵ A(6，5)，B(－2，3)，∴ 線段AB的中點C(2，4)

56、，則點C對應的復數(shù)為z＝2＋4i. 4. 已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足＋4＝3i，則復數(shù)z的模為__________． 答案：5 解析：z＝－3－4i，則復數(shù)z的模為5. 5. 已知?ABCD的三個頂點A，B，C分別對應復數(shù)3＋3i，－2＋i，－5i，則第四個頂點D對應的復數(shù)為________． 答案：5－3i 解析：對應復數(shù)為(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，對應復數(shù)為zD－(3＋3i)．在?ABCD中，＝，則zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i. 1. 復數(shù)的概念 (1) 虛數(shù)單位i：i2＝－1；i和實數(shù)在一起，服從實數(shù)的運算律．　 (2) 代數(shù)形式：a＋

57、bi(a，b∈R)，其中a叫實部，b叫虛部． 2. 復數(shù)的分類 復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中， z是實數(shù)?b＝0，z是虛數(shù)?b≠0， z是純虛數(shù)?a＝0，b≠0． 3. a＋bi與a－bi(a，b∈R)互為共軛復數(shù)． 4. 復數(shù)相等的條件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，且b＝d. 特殊的，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝0，且b＝0. 5. 設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，z在復平面內對應點為Z，則的長度叫做復數(shù)z的模(或絕對值)，即|z|＝||＝. 6. 運算法則 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． (1) z1±z2＝(

58、a±c)＋(b±d)i； (2) z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i.[備課札記] ,　　　　　　　　　1　復數(shù)的運算) ,　　　　　1)　(1) 已知復數(shù)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為__________； (2) 若復數(shù)z滿足(z＋i)(2＋i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z＝__________； 答案：(1) 3＋4i　(2) 2－2i 解析：(1) z＝3－4i，則z的共軛復數(shù)為3＋4i. (2) z＝－i＝2－2i. 變式訓練 (1) (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調研(二))已知i為虛數(shù)單位

59、，復數(shù)z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i，則y＝________． (2) (2017·南京、鹽城一模)設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為________． 答案：(1) 1　(2) －1 解析：(1) ＝1＋i?3＋yi＝(2－i)(1＋i)?3＋yi＝3＋i，y∈R?y＝1. (2) z(1＋i)＝2?z＝1－i，所以虛部為－1. ,　　　　　　　　　2　復數(shù)的有關概念) ,　　　　　2)　(1) 若(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝__________； (2) (2017·第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知復數(shù)

60、(1＋2i)z＝2－i，其中i為虛數(shù)單位，則z的共軛復數(shù)的模為________． 答案：(1) －3 　(2) 1 解析：(1) ∵ (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i， ∴ a－2＝2a＋1，解得a＝－3. (2) ∵ z＝＝－i，z＝i，則|z|＝|i|＝1. 本題若用模的性質，則能簡化運算：|z|＝|z|＝||＝＝＝1. 變式訓練 (1) 若復數(shù)z滿足(1＋2i)·z＝3(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的實部為__________； (2) (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調研(一))若復數(shù)z滿足z＋i＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________． 答案：(1) 　(2)

61、 解析：(1) 由z＝＝－i，則復數(shù)z的實部為. (2) ∵ z＝－i＝1－3i，∴ |z|＝＝. ,　　　　　　　　　3　復數(shù)的相等) ,　　　　　3)　(1) 若復數(shù)z滿足2z＋z＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝__________； (2) 若復數(shù)z滿足z(1－i)＝2i(i是虛數(shù)單位)，z是z的共軛復數(shù)，則z·z＝________． 答案：(1) 1－2i　(2) 2 解析：(1) 設z＝a＋bi，(a，b∈R)，則由已知得2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，即3a＋bi＝3－2i，所以解得 故z＝1－2i. (2) 因為z＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i，所

62、以z·z＝(－1＋i)(－1－i)＝2. 變式訓練 (1) 若復數(shù)z滿足＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝__________； (2) 已知復數(shù)z滿足z2＝－4.若z的虛部大于0，則z＝__________． 答案：(1) 1－i　(2) 2i 解析：(1) 設z＝a＋bi(a，b∈R)．∵ ＝i，∴ ＝i，∴ a＋bi＝i(1－i)＝1＋i，∴ z＝1＋i，∴ z＝1－i. (2) 設復數(shù)z＝x＋yi，則z2＝x2－y2＋2xyi＝－4, 得x2－y2＝－4，xy＝0，則x＝0，y＝±2.又∵ z的虛部大于0，∴ y＝2，∴ z＝2i. ,　　　　　　　　　4　復數(shù)的幾何意義)

63、 ,　　　　　4)　(1) 如圖，在復平面內，點A對應的復數(shù)為z1.若＝i(i為虛數(shù)單位)，則z2＝__________； (2) 已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為__________． 答案：(1) －2－i　(2) 解析：(1) z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i. (2) ∵ |z－2|＝＝，∴ (x－2)2＋y2＝3. 由圖可知＝＝. (1) 若復數(shù)z1，z2在復平面內的對應點分別為(1，1)，(0，－2)，則復數(shù)z＝z1·z2在復平面內的對應點位于第______象限； (2) 滿足條件|z－i|＝|3＋4i|的復數(shù)z在復平面內對應的

64、點的軌跡是________． 答案：(1) 三　(2) 以(0，1)為圓心，5為半徑的圓 解析：(1) 由題意，z1＝1＋i，z2＝－2i，則z1＝1－i，z1·z2＝(1－i)·(－2i)＝－2i＋2i2＝－2－2i，即z＝－2－2i，因而對應點位于第三象限． (2) 因為|3＋4i|＝5，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得． 1. (2016·江蘇卷)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是__________． 答案：5 解析：因為z＝5＋5i，所以z的實部是5. 2. 已知復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝__________． 答案： 解析：z＝＝＋

65、i，|z|＝＝. 3. 設復數(shù)z＝1＋i，若1，對應的向量分別為和，則||＝________． 答案： 解析：＝－＝－1＝(1－i)－1＝－－i，||＝. 4. 若z＝4＋3i，則＝__________． 答案：－i 解析：z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i. 1. 設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2＋4i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的共軛復數(shù)為________． 答案：3－i 解析：z＝＝＝3＋i，z的共軛復數(shù)是3－i. 2. 設復數(shù)z＝(m＞0，i為虛數(shù)單位)，若z＝，則m的值為________． 答案： 解析：z＝＝＝，它與其共軛復數(shù)相等，則其虛部為0.又m>0，所

66、以m＝. 3. 已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，z1，z2∈C，定義：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.給出下列命題： ① 對任意z∈C，都有D(z)>0； ② 若z是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則D(z)＝D(z)恒成立； ③ 若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，則z1＝z2. 其中，真命題是________．(填序號) 答案：② 解析：若z＝0，則D(z)＝0，所以①錯誤；因為D(z)＝D(a－bi)＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝D(z)，所以②正確；設z1＝1＋i，z2＝1－i，則有D(z1)＝D(z2)，但z1≠z2，所以③錯誤． 4. 若復數(shù)z＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，a∈R)滿足|z|＝3，則a的值為________． 答案：± 解析：|z|＝＝3，則a＝±. 5. 已知集合A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，i為虛數(shù)單位．若A∩B＝{2}，則純虛數(shù)z為________． 答案：－2i 解析：∵ A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}． ∴ 2z2＝2或zi＝2