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1、湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練08 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題練習(xí)
08
二次函數(shù)與幾何圖形綜合題
1.[xx·賀州] 如圖ZT8-1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(-1,4).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求拋物線的表達(dá)式.
(3)過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥y軸,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上B,D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B,D兩點(diǎn)重合),PA,PB與直線DE分別交于點(diǎn)F,G,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2、
圖ZT8-1
2.[xx·連云港] 如圖ZT8-2①,圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù)y1=kx2+m(k<0)與y2=ax2+b(a>0)的部分圖象圍成的封閉圖形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3).
(1)直接寫(xiě)出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上),并說(shuō)明理由;
(3)如圖②,連接BC,CD,AD,在坐標(biāo)平面內(nèi),求使得△BDC與△ADE相似(其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn)E的坐標(biāo).
圖ZT8-2
3.[xx·益陽(yáng)] 如圖ZT8-3,
3、已知拋物線y=x2-x-n(n>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖①,若△ABC為直角三角形,求n的值;
(2)如圖①,在(1)的條件下,點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,若以BC為邊,以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖②,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.
圖ZT8-3
4.[xx·齊齊哈爾] 綜合與探究:
如圖ZT8-4①所示,直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C.
4、(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,求CE+OE的最小值;
(3)如圖②所示,M是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P,N.
①若以C,P,N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為 ;?
②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn),點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D,使以點(diǎn)D,F,P,M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖ZT8-4
5.[xx·濰坊] 如圖ZT8-5①,拋物線y1=ax2-x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C0,,拋物線y1的
5、頂點(diǎn)為G,GM⊥x軸于點(diǎn)M.將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2.
(1)求拋物線y2的解析式.
(2)如圖②,在直線l上是否存在點(diǎn)T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,交拋物線y2于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R.若以P,Q,R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等,求直線PR的解析式.
圖ZT8-5
6.[xx·樂(lè)山] 如圖ZT8-6,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C0,-,OA=1,OB=4,直線l過(guò)點(diǎn)A,交y
6、軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)E,且滿足tan∠OAD=.
(1)求拋物線的解析式.
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①在P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得△ADC與△PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②在P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻t,使得△APQ與△CAQ的面積之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖ZT8-6
參考答案
7、
1.解:(1)由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).
(2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1).
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式,得a(0+3)(0-1)=3.
解得a=-1.
故拋物線的表達(dá)式為y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值).理由如下:過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸,交x軸于Q,如圖.設(shè)P(t,-t2-2t+3),則PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t.
∵PQ∥EF,∴△AEF∽△AQP.∴=,
∴EF===
8、×(-t2-2t+3)=2(1-t).
∵PQ∥EG,∴△BEG∽△BQP.
∴=.
∴EG===2(t+3).
∴EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.
2.解:(1)∵二次函數(shù)y1=kx2+m的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,
∴解得
∴二次函數(shù)y1=kx2+m的解析式為:y1=-x2+1.
∵二次函數(shù)y2=ax2+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D,
∴解得
∴二次函數(shù)y2=ax2+b的解析式為y2=3x2-3.
(2)設(shè)M(x,-x2+1)為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn),M'(x,3x2-3)為第四象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn),
∴MM'=(1-x2)-(3x2-3)=4-4x2
9、.
由拋物線的對(duì)稱性知,若有內(nèi)接正方形,則2x=4-4x2,
即2x2+x-2=0.
解得x=或x=(舍),
∵0<<1,
∴存在內(nèi)接正方形,此時(shí)其邊長(zhǎng)為.
(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,
∴AD==,同理CD=.
在Rt△BOC中,OB=OC=1,∴BC==.
①如圖①,當(dāng)△DBC∽△DAE時(shí),∵∠CDB=∠ADO,
∴在y軸上存在一點(diǎn)E滿足條件.
由=,得=.
∴DE=.∵D(0,-3),∴E0,-.
由對(duì)稱性知,在直線DA右側(cè)還存在一點(diǎn)E'使得△DBC∽△DAE',
連接EE',交DA于點(diǎn)F,作E'M⊥OD,垂足為M,連接E'D.
①
∵
10、E,E'關(guān)于DA對(duì)稱,
∴DF垂直平分EE'.∴△DEF∽△DAO.
∴==,即==.
∴DF=,EF=.
∵S△DEE'=DE·E'M=EF·DF=,
∴E'M=.
又DE'=DE=,在Rt△DE'M中,DM==2,∴OM=1,得E',-1.
所以,使得△DBC∽△DAE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,-或,-1.
②如圖②,當(dāng)△DBC∽△ADE時(shí),有∠BDC=∠DAE,
=,即=,得AE=.
當(dāng)E在直線DA左側(cè)時(shí),設(shè)AE交y軸于點(diǎn)P,作EQ⊥AC,垂足為Q.
②
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,
∴PD=PA.設(shè)PD=x,
則PO=3-x,PA=x.
在Rt△AOP中,
11、由PA2=OA2+OP2,得x2=(3-x)2+1.
解得x=.
∴PA=,PO=.
∵AE=,∴PE=.
∵OP∥EQ,∴=.
∴OQ=.又==,
∴QE=2.∴E-,-2.
當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時(shí),
∵∠DAE'=∠BDC,
又∠BDC=∠BDA,
∴∠BDA=∠DAE'.
∴AE'∥OD.∴E'1,-.
∴使得△DBC∽△ADE的點(diǎn)E的坐標(biāo)為-,-2或1,-.
綜上,使得△BDC與△ADE相似(其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn)E有4個(gè),其坐標(biāo)為0,-或,-1或-,-2或1,-.
3.解:(1)若△ABC為直角三角形,則△AOC∽△COB.∴=,即OC2=OA·O
12、B.
由拋物線y=x2-x-n(n>0),可得
OC=n,OA·OB=2n.
∴n2=2n.解得n1=2,n2=0(舍去).
∴n=2.
(2)由(1)可知,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=,拋物線的解析式為y=x2-x-2.
令y=0,得x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=4,
∴A(-1,0),B(4,0).
設(shè)點(diǎn)Pm,m2-m-2.
當(dāng)直線PQ∥BC,點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)(如圖①所示),
當(dāng)△BOC平移到△QNP的位置時(shí),四邊形PQBC為平行四邊形,
此時(shí)NQ=OB,即-m=4,m=-,
m2-m-2=,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,;
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(如圖①所示
13、),
同理可得m-=4,m=,
m2-m-2=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,.
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,,,.
(3)如圖②,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸,垂足為F,
則AO∶OF=AE∶ED=1∶4.
設(shè)A(a,0),B(b,0),
則AO=-a,OF=-4a.
∵AD∥BC,
∴∠OBC=∠DAO.
∵∠BOC=∠AFD=90°,
∴△BOC∽△AFD.
∴=,
即=.
∴=.
由題意,得ab=-2n.∴=-.
∴DF=-5a·=-5a·-=a2.
∵點(diǎn)A,D在拋物線上,
∴
解得
∴n的值為.
4.解:(1)將A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.
14、∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).
將(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.
∴拋物線的解析式為y=-x2-3x+4.
(2)如圖所示,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C',連接OC'交直線l于點(diǎn)E,連接CE,此時(shí)CE+OE的值最小,且CE+OE=OC'.
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=-,
則C'C=3,在Rt△C'CO中,
由勾股定理,得OC'==5.
∴CE+OE的最小值為5.
(3)①由題意易知△APM為等腰直角三角形.
設(shè)M(a,0),則N(a,-a2-3a+4),P(a,a+4).
當(dāng)△AMP∽△CNP時(shí),=,
得=,
解得a=-4(
15、舍去)或a=-3或a=0(舍去).
∴CN=3,PN=3.
∴△CPN的面積為·CN·PN=.
當(dāng)△AMP∽△NCP時(shí),=,
得=,
解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).
∴CN=CP=2.
∴△CPN的面積為·CN·PC=4.
故答案為或4.
②存在.D1,,D2,-,
D3(-4,3),D4,.
理由如下:
當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí),-a2-3a+4=2(a+4),
解得a=-4(舍去)或a=-1.
∴M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).
設(shè)F(f,f+4),過(guò)點(diǎn)M作AC的平行線,易知此直線的解析式為y=x+1.
易知PM=3,當(dāng)PM
16、為菱形的邊時(shí),作PF=PM,過(guò)F作FD∥PM,交直線y=x+1于點(diǎn)D,
∴D(f,f+1).
∴32=2(f+1)2,解得f=.
則D1,,D2,-.
∵PM=AM=3,
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí),過(guò)點(diǎn)F作DF∥PM(D在x軸上方),且DF=PM,
連接DP,可得出四邊形DPMF為菱形.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,3).
當(dāng)PM為菱形的對(duì)角線時(shí),作PM的垂直平分線,
交直線AC于點(diǎn)F,作點(diǎn)F關(guān)于PM的對(duì)稱點(diǎn)D,
連接MF,MD,PD,此時(shí)四邊形DMFP為菱形.
將y=代入直線AC的解析式可得x=-,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為-,.
∵直線PM的解析式為x=-1,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為,.
綜
17、上所述,滿足條件的點(diǎn)為D1,,
D2,-,D3(-4,3),D4,.
5.解:(1)將B(1,0)和C0,代入拋物線y1=ax2-x+c,得
解得
所以拋物線的解析式為y1=-x2-x+.
由題意可知平移后拋物線y2的頂點(diǎn)為B(1,0),
故拋物線y2的解析式為y2=-(x-1)2,
即y2=-x2+x-.
(2)存在.
令y1=0,解得x=-3或x=1.
由題意知B(1,0),故A(-3,0).
設(shè)T(1,t),又C0,,
所以AC2=32+2=,
AT2=(1+3)2+t2=t2+16,
CT2=12+t-2=t2-t+.
①若AC=AT,則t2+16=,方程
18、無(wú)解,故此時(shí)不存在;
②若AC=CT,則t2-t+=,
解得t=,
此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為1,或1,;
③若AT=CT,則t2-t+=t2+16,解得t=-,此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為1,-.
故點(diǎn)T的坐標(biāo)為1,或1,或1,-.
(3)由題意知G(-1,1),則AM=2,GM=1.
若△PQR與△AMG全等,則PQ=1,QR=2或PQ=2,QR=1.
分類一:若QR=2,由拋物線y2的對(duì)稱軸為直線x=1,得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為0或2.
①當(dāng)x=0時(shí),y1=,y2=-,
此時(shí)PQ=--=1,滿足題意,
則P0,,R2,-,
直線PR的解析式為y=-x+.
②當(dāng)x=2時(shí),y1=-,y2=-,
19、
此時(shí)PQ=---=1,滿足題意,
則P2,-,R0,-,
直線PR的解析式為y=-x-.
分類二:若QR=1,由拋物線y2的對(duì)稱軸為直線x=1,得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或.
①當(dāng)x=時(shí),y1=,y2=-,
此時(shí)PQ=--=≠2,不滿足題意.
②當(dāng)x=時(shí),y1=-,y2=-,
此時(shí)PQ=---=≠2,不滿足題意.
綜上所述,滿足題意的直線PR的解析式為y=-x+或y=-x-.
6.解:(1)∵OA=1,OB=4,∴A(1,0),B(-4,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-1).
∵C0,-在拋物線上,
∴-=a×4×(-1).解得a=.
∴拋物線的解析式為y=(
20、x+4)(x-1),即y=x2+x-.
(2)①存在t,使得△ADC與△PQA相似.其理由如下:
在Rt△AOC中,OA=1,OC=,
則AC=,tan∠ACO==.
又∵tan∠OAD=,
∴∠OAD=∠ACO.
在Rt△AOD中,tan∠OAD=,OA=1,
∴OD=.
∴CD=-=.
在△AQP中,AP=AB-PB=5-2t,AQ=t.
由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC與△PQA相似,只需=或=,
則有=或=,
解得t1=,t2=.
∵t1<2.5,t2<2.5,
∴存在t=或,使得△ADC與△PQA相似.
②存在t,使得△APQ與△CAQ的面積之和最大,其理由如下:
作PF⊥AQ于點(diǎn)F,CN⊥AQ于點(diǎn)N,如圖所示.
在Rt△APF中,
∵tan∠PAF=,∴sin∠PAF=.
∴PF=AP·sin∠PAF=(5-2t).
在Rt△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=.
在△ADC中,由S△ADC=AD·CN=CD·OA,
得CN===.
∴S△APQ+S△CAQ=AQ(PF+CN)=t=-t-2+.
∵0<<,
∴當(dāng)t=時(shí),△APQ與△CAQ的面積之和最大.
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