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1、（山西專(zhuān)用）2022中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 幾何圖形的探究猜想與證明習(xí)題
類(lèi)型一 一般的猜想探究題
1.如圖,在△ABC中,BC=6,BC邊上的高為4,在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形DEFG,使EF在BC邊上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC邊上,則對(duì)角線(xiàn)EG長(zhǎng)的最小值為 .?
2.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分別為AC,BC邊上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且==m,連接AE,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)F.
(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,連接DH.
①求證:四邊形DHEC是平行四邊形;
②若m=,求證:AE=DF;
(2
2、)如圖2,若m=,求的值.
類(lèi)型二 圖形旋轉(zhuǎn)型
3.如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中,已知點(diǎn)O,A,B均為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn).
(1)①在給定的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,將線(xiàn)段AB放大為原來(lái)的2倍,得到線(xiàn)段A1B1(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1,B1).畫(huà)出線(xiàn)段A1B1;
②將線(xiàn)段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段A2B1.畫(huà)出線(xiàn)段A2B1;
(2)以A、A1、B1、A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是 .?
4.在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形AOBC是矩形,點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3).以點(diǎn)A為中心,
3、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF,點(diǎn)O,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D落在線(xiàn)段BE上時(shí),AD與BC交于點(diǎn)H.
①求證:△ADB≌△AOB;
②求點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)記K為矩形AOBC對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),S為△KDE的面積,求S的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).
類(lèi)型三 圖形折疊型
5.如圖,在☉O中,點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上,將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D.若☉O的半徑為,AB=4,則BC的長(zhǎng)是( )
A.2 B.3 C. D.
6.
如圖,將
4、一張三角形紙片ABC的一角折疊,使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處,折痕為DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正確的是( )
A.γ=2α+β B.γ=α+2β
C.γ=α+β D.γ=180°-α-β
7.課程學(xué)習(xí):正方形折紙中的數(shù)學(xué)
動(dòng)手操作:
如圖1,四邊形ABCD是一張正方形紙片,先將正方形ABCD對(duì)折,使BC與AD重合,折痕為EF,把這個(gè)正方形展平,然后沿直線(xiàn)CG折疊,使B點(diǎn)落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.
數(shù)學(xué)思考:
(1)求∠CB'F的度數(shù);
(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,連接AB',試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
解決
5、問(wèn)題:
(3)如圖3,按以下步驟進(jìn)行操作:
第一步:先將正方形ABCD對(duì)折,使BC與AD重合,
折痕為EF,把這個(gè)正方形展平,然后繼續(xù)對(duì)折,使AB與DC重合,折痕為MN,再把這個(gè)正方形展平,設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O;
第二步:沿直線(xiàn)CG折疊,使B點(diǎn)落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',再沿直線(xiàn)AH折疊,使D點(diǎn)落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D';
第三步:設(shè)CG、AH分別與MN相交于點(diǎn)P、Q,連接B'P、PD'、D'Q、QB'.
試判斷四邊形B'PD'Q的形狀,并證明你的結(jié)論.
答案精解精析
1.答案
2.解析 (1)①證明:∵EH⊥AB,
∠BAC=90°,
∴EH∥C
6、A,
∴△BHE∽△BAC,
∴=,
∵=,
∴=,
∴=,
∴HE=DC,
∵EH∥DC,
∴四邊形DHEC是平行四邊形.
②∵=,∠BAC=90°,
∴AC=AB,
∵=,HE=DC,
∴=,
∵∠BHE=90°,
∴BH=HE,
∵HE=DC,
∴BH=CD,
∴AH=AD,
∵DM⊥AE,EH⊥AB,
∴∠EHA=∠AMF=90°,
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°,
∴∠HEA=∠AFM,
∵∠EHA=∠FAD=90°,
∴△HEA≌△AFD,
∴AE=DF.
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于G,
∵CA⊥AB,
7、
∴EG∥CA,
∴△EGB∽△CAB,
∴=,
∴==,
∵=,
∴EG=CD,
設(shè)EG=CD=3x,AC=3y,
∴BE=5x,BC=5y,
∴BG=4x,AB=4y,
∵∠EGA=∠AMF=90°,
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,
∴∠AFM=∠AEG,
∵∠FAD=∠EGA=90°,
∴△FAD∽△EGA,
∴===.
3.解析 (1)①如圖所示.
②如圖所示.
(2)20.
4.解析 (1)∵點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3),
∴OA=5,OB=3.
∵四邊形AOBC是矩形,
∴AC=OB=3,BC=OA=5,
∠OBC=∠
8、C=90°.
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的,
∴AD=AO=5.
在Rt△ADC中,有AD2=AC2+DC2,
∴DC===4.
∴BD=BC-DC=1.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,3).
(2)①由四邊形ADEF是矩形,
得∠ADE=90°.
又點(diǎn)D在線(xiàn)段BE上,得∠ADB=90°.
由(1)知,AD=AO,
又AB=AB,∠AOB=90°,
∴Rt△ADB≌Rt△AOB.
②由△ADB≌△AOB,得∠BAD=∠BAO.
又在矩形AOBC中,OA∥BC,
∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.
∴BH=AH.
設(shè)BH=t,則AH=t,HC=BC-
9、BH=5-t.
在Rt△AHC中,有AH2=AC2+HC2,
即t2=32+(5-t)2,解得t=.∴BH=.
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為.
(3)≤S≤.
5.B 6.A
7.解析 (1)如圖1,由折疊可知,∠EFC=90°,CF=CD,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=CB,
∴CF=BC,
∵CB'=CB,
∴CF=CB',
∴在Rt△B'FC中,
sin∠CB'F==,
∴∠CB'F=30°.
(2)如圖2,連接BB'交CG于點(diǎn)K,由折疊可知,EF垂直平分AB.
∴B'A=B'B,
∠B'AE=∠B'BE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC
10、=90°,
∴∠B'BE+∠KBC=90°,
由折疊知,∠BKC=90°,
∴∠KBC+∠GCB=90°,
∴∠B'BE=∠GCB,
又由折疊知,∠GCB=∠GCB',
∴∠B'AE=∠GCB'.
(3)四邊形B'PD'Q為正方形.
證明:如圖3,連接AB',
由(2)可知∠B'AE=∠GCB',由折疊可知,∠GCB'=∠PCN,
∴∠B'AE=∠PCN,
由折疊知∠AEB'=∠CNP=90°,
AE=AB,CN=BC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∴AE=CN,
在△AEB'和△CNP中,
∴△AEB'≌△CNP(ASA),
∴EB'=NP,
同理可得,EB'=MQ,
由對(duì)稱(chēng)性可知,EB'=FD',
∴EB'=NP=FD'=MQ,
由兩次折疊可得OE=ON=OF=OM,
∴OB'=OP=OD'=OQ,
∴四邊形B'PD'Q為矩形,
由折疊知,MN⊥EF于點(diǎn)O,
∴PQ⊥B'D'于點(diǎn)O,
∴四邊形B'PD'Q為正方形.
（山西專(zhuān)用）2022中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題七 幾何圖形的探究猜想與證明習(xí)題
