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1、山東省德州市2022年中考數(shù)學同步復習重點題型訓練大題加練一
1．數(shù)學課上，張老師出示了問題：
如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：
如圖2，延長CB到E，使BE＝CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.
小亮展示了另一種正確的思路：
如圖3，將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.
在此基
2、礎上，同學們作了進一步的研究：
(1)小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？針對小穎提出的問題，請你寫出結論，并給出證明；
(2)小華提出：如圖5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝30°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？針對小華提出的問題，請你寫出結論，并給出證明．
2．【問題情境】 在△ABC中，
3、BA＝BC，∠ABC＝α(0°＜α＜180°)，點P為直線BC上一動點(不與點B，C重合)，連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ，旋轉(zhuǎn)角為α)，連接CQ.
【特例分析】 (1)當α＝90°，點P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點F，如圖1，易得圖中與△APF全等的一個三角形是________，∠ACQ＝________°；
【拓展探究】 (2)當點P在BC延長線上，AB∶AC＝m∶n時，如圖2，試求線段BP與CQ的比值；
【問題解決】 (3)當點P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．
參考答案
1
4、．解：(1)BC＋CD＝AC.
證明如下：如圖，延長CD至E，使DE＝BC，連接AE.
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°.
∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AC.
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝AC
5、.
(2)BC＋CD＝AC.
證明如下：如圖，延長CD至E，使DE＝BC.
∵∠ABD＝∠ADB＝30°，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝120°.
∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠ACB＋∠ACD＝60°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝30°，AC＝AE，
∴∠AEC＝30°.
如圖，過點A作AF⊥CE于F，
∴CE＝2CF.
在Rt△ACF中，∠ACD＝30°，C
6、F＝AC·cos∠ACD＝AC，
∴CE＝2CF＝AC.
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝AC.
2．解：(1)△PQC 90
(2)如圖，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則＝.
又∵AB＝BC，∴AF＝CP.
∵∠FAP＝∠ABC＋∠APB＝α＋∠APB，∠CPQ＝∠APQ＋∠APB＝α＋∠APB，
∴∠FAP＝∠CPQ.
由旋轉(zhuǎn)可得PA＝PQ，
∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ.
∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，
∴＝，
∴＝＝＝＝.
(3)線段CQ的長為2或8.理由如下：
如圖，當P在CB的延長線上時，
∠CPQ＝∠
7、APQ－∠APB＝60°－30°＝30°，
∴∠APC＝∠QPC.
又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，
∴CQ＝AC.
又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC－∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，
∴QC＝AC＝BC＝2.
如圖，當P在BC的延長線上時，連接AQ.
由旋轉(zhuǎn)可得AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP.
又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠CPA，
∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，
∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，
∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8.
綜上所述，線段CQ的長為2或8.
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