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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測（十八）小題考法——函數(shù)的概念與性質(zhì)
一、選擇題
1．(2019屆高三·杭州四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(4))的值為( )
A．－ B．－9
C． D．9
解析：選C 因為f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
2．已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
B．函數(shù)f(x)是減函數(shù)
C．函數(shù)f(x)是周期函數(shù)
D．函數(shù)f(x)的值域為[－1，＋∞)
解析：選D 由函數(shù)f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－
2、1)，則f(x)不是偶函數(shù)．當x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，且函數(shù)值f(x)>1；當x≤0時，f(x)＝cos x，則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f(x) ∈[－1,1]．所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域為[－1，＋∞)．故選D.
3．(2018·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為( )
解析：選D 法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
則f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
則f′(x)>0的解集為∪，
f(x)單調(diào)遞增；f′(x)<0的解集為∪，f(
3、x)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象知選D.
法二：當x＝1時，y＝2，所以排除A、B選項．當x＝0時，y＝2，而當x＝時，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C選項．故選D.
4．已知函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析：選B 函數(shù)f(x－1)的圖象向左平移1個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象．因為函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－1,0)對稱，排除A、C、D，故選B.
5．(2019屆高三·鎮(zhèn)海中學測試)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x
4、)＝log2(x＋2)－3x＋a(a∈R)，則f(－2)＝( )
A．－1 B．－5
C．1 D．5
解析：選D 因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝1＋a＝0，即a＝－1.
故f(x)＝log2(x＋2)－3x－1(x≥0)，
所以f(－2)＝－f(2)＝5.故選D.
6．(2018·諸暨高三期末)已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則下列四個命題中錯誤的是( )
A．y＝g(f(x)＋1)為偶函數(shù)
B．y＝g(f(x))為奇函數(shù)
C．函數(shù)y＝f(g(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱
5、D．y＝f(g(x＋1))為偶函數(shù)
解析：選B 由題可知
選項A，g(f(－x)＋1)＝g(－f(x)＋1)＝g(1＋f(x))，
所以y＝g(f(x)＋1)為偶函數(shù)，正確；
選項B，g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(2＋f(x))，
所以y＝g(f(x))不一定為奇函數(shù)，錯誤；
選項C，f(g(－x))＝f(g(2＋x))，所以y＝f(g(x))的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，正確；
選項D，f(g(－x＋1))＝f(g(x＋1))，所以y＝f(g(x＋1))為偶函數(shù)，正確．
綜上，故選B.
7．函數(shù)y＝＋在[－2,2]上的圖象大致為( )
解析：選B 當x∈(0,
6、2]時，函數(shù)y＝＝，x2>0恒成立，令g(x)＝ln x＋1，則g(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，當x＝時，y＝0，則當x∈時，y＝<0，x∈時，y＝>0，∴函數(shù)y＝在(0,2]上只有一個零點，排除A、C、D，只有選項B符合題意．
8．(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：選C 法一：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－
7、f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝
8、2.
法二：由題意可設f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
9．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的圖象經(jīng)過點A(m1，f(m1))和點B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]a＋f(m1)·f(m2)＝0，則( )
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0
解析：選A ∵函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b
9、>c)，
滿足f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
若a≤0，∵a>b>c，∴b<0，c<0，
則有a＋b＋c<0，這與a＋b＋c＝0矛盾，∴a>0成立．
若c≥0，則有b>0，a>0，
此時a＋b＋c>0，這與a＋b＋c＝0矛盾，
∴c<0成立．
∵a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，
∴[a＋f(m1)]·[a＋f(m2)]＝0，
∴m1，m2是方程f(x)＝－a的兩根，
∴Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，
而a>0，c<0，
∴3a－c>0，∴b≥0.故選A.
10．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)的值域為R，
10、則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1,2] B．(－∞，2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：選A 依題意，當x≥1時，f(x)＝1＋log2x單調(diào)遞增，f(x)＝1＋log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函數(shù)f(x)的值域是R，則需函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M?(－∞，1)．①當a－1<0，即a<1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，顯然此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a<1不滿足題意；②當a－1＝0，即a＝1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此時不能滿足
11、M?(－∞，1)，因此a＝1不滿足題意；③當a－1>0，即a>1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M?(－∞，1)得解得1時，f ＝f ，則f(0)＝________，f(6)＝________.
解析：函數(shù)f(x)在[－1,1]上為奇函數(shù)，故f(0)＝0，
又由題意知當x>時，f ＝f ，
則f(x＋1)＝f(x)．
12、又當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又當x<0時，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.
答案：0 2
12．(2018·臺州第一次調(diào)考)若函數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則a＝________，函數(shù)f(x)的值域為____________．
解析：函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
∴a－＝－恒成立，
∴a＝＋＝＋＝＝－1.
∴f(x)＝－1－，當x∈(0，＋∞)時，2x>1，
∴2x－1>0，∴>0，∴f(x)<－1；
13、當x∈(－∞，0)時，0<2x<1，
∴－1<2x－1<0，∴<－1，
∴－>2，∴f(x)>1，
故函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：－1 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
13．(2018·紹興柯橋區(qū)模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0，若f(x－2)>0，則x的取值范圍是________．
解析：∵偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，
且f(2)＝0，
∴f(2)＝f(－2)＝0，
則不等式f(x－2)>0，等價為f(|x－2|)>f(2)，
∴|x－2|<2，
即－2
14、圍是(0,4)．
答案：(0,4)
14．已知函數(shù)f(x)＝e|x|，函數(shù)g(x)＝對任意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是________．
解析：作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當x＝1時，y1＝g(1)，又當x＝4時，y1＝e24時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，
∴1
15、＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
關(guān)于函數(shù)f(x)＝x★，有如下說法：
①函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3；
②函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
③函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；
④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)．
其中正確說法的序號為________．
解析：對于新運算“★”的性質(zhì)(3)，令c＝0，則(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，當x>0時，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，當且僅
16、當x＝，即x＝1時取等號，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值為3，故①正確；函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故②③錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，知函數(shù)f(x)＝1＋x＋的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正確；由④知，函數(shù)f(x)＝1＋x＋不是周期函數(shù)，故⑤正確．綜上所述，所有正確說法的序號為①④⑤.
答案：①④⑤
16．(2018·鎮(zhèn)海中學階段性測試)已知函數(shù)f(x)＝ln－2，g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，將函數(shù)g
17、(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位長度，再向下平移b(b>0)個單位長度，若對于任意實數(shù)a，平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個交點，則b的最小值為________．
解析：由f(x)＝ln－2，知x>0，f(x)≥ln e－2＝－1，∴f(x)min＝－1，此時x＝.
在同一直角坐標系中，作出f(x)，g(x)的圖象(圖略)，若對于任意的a，平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個交點，則平移后g(x)的圖象的最高點不能在f(x)圖象的最低點的上方，則1－b≤－1，則b的最小值為2.
答案：2
17．(2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e＝2.718 28…是自然對
18、數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；
④f(x)＝x2＋2.
解析：設g(x)＝exf(x)，對于①，g(x)＝ex·2－x，
則g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故①符合要求；
對于②，g(x)＝ex·3－x，
則g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，故②不符合要求；
對于③，g
19、(x)＝ex·x3，
則g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
顯然函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)，故③不符合要求；
對于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，
則g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故④符合要求．
綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④.
答案：①④
B組——能力小題保分練
1．(2019屆高三·浙江新高考名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ln |x|＋x2的大致圖象是( )
解析：選A 因為f(－x)＝ln |－x|＋(－x)2＝ln |x
20、|＋x2＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，于是其圖象關(guān)于y軸對稱，排除D；當x>0時，f(x)＝ln x＋x2，f′(x)＝＋x≥2，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，排除B；當x∈(0,1)時，f′(x)>2，且f′(x)是減函數(shù)，當x>1時，f′(x)>2，且f′(x)是增函數(shù)，因此，當x趨近于0或x趨近于＋∞時，曲線較陡，因此排除C.故選A.
2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)
21、
D．f(－25)
22、的解析式可能是( )
A．f(x)＝x2－2ln |x|
B．f(x)＝x2－ln |x|
C．f(x)＝|x|－2ln |x|
D．f(x)＝|x|－ln |x|
解析：選B 由圖象知，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，四個選項都是偶函數(shù)，故只需考慮x>0時的圖象即可．對于選項A，當x>0時，f(x)＝x2－2ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝1處取得極小值，故A錯誤；對于選項B，當x>0時，f(x)＝x2－ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝處取得極小值，故B正確；對于選項C，當x>0時，f(x)＝x－2ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在
23、x＝2處取得極小值，故C錯誤；對于選項D，當x>0時，f(x)＝x－ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝1處取得極小值，故D錯誤．故選B.
4．定義：F(x)＝max{f(t)|－1≤t≤x≤1}，G(x)＝min{f(t)|－1≤t≤x≤1}，其中max{m，n}表示m，n中的較大者，min{m，n}表示m，n中的較小者．已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋bx，則下列說法一定正確的是( )
A．若F(－1)＝F(1)，則f(－1)>f(1)
B．若G(1)＝F(－1)，則F(－1)G(1)
D．若G(－1)＝G(1)
24、，則f(－1)>f(1)
解析：選B 依據(jù)題意，由≤4可得f(x)＝2ax2＋bx的圖象的對稱軸x＝－∈[－1,1]，由F(－1)＝F(1)知f(－1)＝F(1)，F(xiàn)(1)為f(t)在t∈[－1,1]上的最大值，無法排除f(－1)＝f(1)的可能，所以A錯誤；由G(1)＝F(－1)＝f(－1)知，f(t)在t∈[－1,1]上的最小值為f(－1)，所以F(－1)＝f(－1)
25、(－1)＝f(1)的可能，所以D錯誤．
5．(2018·杭州模擬)設集合A＝{x|x2－|x＋a|＋2a＜0，a∈R}，B＝{x|x＜2}．若A≠?且A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意知x2－|x＋a|＋2a＜0?x2＜|x＋a|－2a，其解集A≠?時，可設A＝{m＜x＜n}．
首先，若n＝2時，則|2＋a|－2a＝4，
解得a＝－2，滿足A?B.
由函數(shù)y＝|x＋a|－2a的圖象可知，當a＜－2時，n＞2，不滿足A?B，不合題意，即可知a≥－2；考慮函數(shù)y＝|x＋a|－2a的右支與y＝x2相切時，則x＋a－2a＝x2，即x2－x＋a＝0，解得a＝.
又當
26、a≥時，A＝?，即可知a＜.
綜上可知：－2≤a＜.
或考慮函數(shù)y＝|x＋a|和函數(shù)y＝x2＋2a進行數(shù)形結(jié)合．
答案：
6．在平面直角坐標系xOy中，設定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．
解析：設P ，則|PA|2＝(x－a)2＋2＝2－2a＋2a2－2，
令t＝x＋，則t≥2(x>0，當且僅當x＝1時取“＝”)，則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
①當a≤2時，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，
由題意知，2a2－4a＋2＝8，
解得a＝－1或a＝3(舍去)．
②當a>2時，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由題意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍去)，
綜上知，a＝－1，.
答案：－1，
（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 課時跟蹤檢測（十八）小題考法——函數(shù)的概念與性質(zhì)
