2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 解析幾何初步 2-2-1 圓的標準方程學案 北師大版必修2

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1、2．1　圓的標準方程 1．確定圓的條件 圓的幾何特征是圓上任一點到圓心的距離等于定長，這個定長稱為半徑，一個圓的圓心位置和半徑一旦給定，這個圓就被確定下來了． 2．圓的標準方程 已知圓的圓心為(a，b)，半徑為r，則圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特別地，圓心在坐標原點，半徑為r的圓的標準方程為x2＋y2＝r2. 　判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的標準方程需要三個獨立的條件，即圓心的橫、縱坐標及半徑．(　　) (2)圓心在坐標原點，半徑為r的圓的標準方程為x2＋y2＝r2.(　　) (3)點與圓的位置關系有三種：點在圓內(nèi)

2、、點在圓上和點在圓外．(　　) (4)圓(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圓心坐標為(－1,2)，半徑為m.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 題型一點與圓的位置關系 【典例1】　已知點A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍． [思維導引]　不在圓的內(nèi)部，即在圓上或在圓外，即到圓心的距離大于等于半徑． [解]　由題意，點A在圓C上或圓C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0， ∴a的取值范圍是∪(0，＋∞)． 判斷點P(x0，y0)與圓(

3、x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系有幾何法與代數(shù)法兩種，對于幾何法，主要是利用點與圓心的距離與半徑比較大?。? 對于代數(shù)法，主要是把點的坐標直接代入圓的標準方程，具體判斷方法如下： (1)當(x0－a)2＋(y0－b)2r2時，點在圓外． [針對訓練1]　點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　) A．在圓外　　　　　　B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定 [解析]　把點P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點P

4、在圓外． [答案]　A 題型二求圓的標準方程 【典例2】　求過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標準方程． [思路導引]　由已知該圓圓心為線段AB的垂直平分線與直線x＋y－2＝0的交點，可通過解方程組求出圓心坐標． [解]　解法一：設點C為圓心， ∵點C在直線x＋y－2＝0上， ∴可設點C的坐標為(a,2－a)． 又∵該圓經(jīng)過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1. ∴圓心坐標為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2. 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二：由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0)，

5、kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點， 由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為＝2， 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 直接法求圓的標準方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐標和半徑，然后直接寫出圓的標準方程． [針對訓練2]　(1)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25

6、 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 (2)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為__________________． [解析]　(1)∵AB為直徑， ∴AB的中點(1,2)為圓心， 半徑為|AB|＝＝5， ∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切， ∴該圓的半徑為5, ∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. [答案]　(1)D　(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 題型三圓的標準方程的應用 【典例3】　已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，

7、一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？ [思路導引]　首先建立適當?shù)淖鴺讼?，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題． [解]　以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系，那么半圓的方程為x2＋y2＝16(y≥0)． 　 將x＝2.7代入，得 y＝＝<3. 即在離中心線2.7 m處，隧道的高度低于貨車的高度．因此，貨車不能駛?cè)脒@個隧道． [引申探究]　一輛卡車寬1.6 m要經(jīng)過半徑為3.6 m的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車篷頂距地面的高度不得超過(　　) A．1.4 m　　B．3.5 m　　C．3.6 m　　D．2.0 m [解析]　

8、 如圖，建立直角坐標系，則半圓方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，當x＝0.8時，y＝≈3.5(m)．故選擇B. [答案]　B 　求曲線方程的一般步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，?x，y) 表示曲線上任意一點M的坐標； (2)寫出適合條件P的點M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式； (5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點． [針對訓練3]　△ABC的頂點為A(4,0)，B(0,4)，C(0,0)，則△ABC的內(nèi)切圓圓心的橫坐標是(　　) A．2－4

9、B．4－2 C．4＋2 D．4 [解析]　設△ABC內(nèi)切圓圓心為O(x，y)，半徑為r，△ABC為直角三角形， ∴x＝r＝(|AC|＋|BC|－|AB|) ＝(4＋4－4)＝4－2， 故△ABC內(nèi)切圓圓心的橫坐標為4－2. 故應選B. [答案]　B 1．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 [解析]　由圓的標準方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9. [答案]　D 2．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過原

10、點，則(　　) A．a(chǎn)2＋b2＝0 B．a(chǎn)2＋b2＝r2 C．a(chǎn)2＋b2＋r2＝0 D．a(chǎn)＝0，b＝0 [解析]　由題意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2. [答案]　B 3．圓x2＋y2＝1上的點到點M(3,4)的距離的最小值是(　　) A．1 B．4 C．5 D．6 [解析]　圓心(0,0)到M的距離|OM|＝＝5，所以所求最小值為5－1＝4. [答案]　B 4．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　(－a，－b)為圓的

11、圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限內(nèi)點的坐標的性質(zhì)得解，D正確． [答案]　D 課后作業(yè)(二十三) (時間45分鐘) 學業(yè)水平合格練(時間20分鐘) 1．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心與半徑分別為(　　) A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 [答案]　A 2．已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的標準方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)

12、2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 [解析]　如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，原點在圓上， 圓的半徑為r＝＝. 故所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13. [答案]　B 3．圓(x－3)2＋(y＋4)2＝1關于直線x＋y＝0對稱的圓的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1 [解析]　圓心(3，－4)關于直線x＋y＝0的對稱點為(4，－3)， ∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝1，故選B. [答案]　B 4．點(5a＋1

13、,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．|a|＜1 B．a(chǎn)＜ C．|a|＜ D．|a|＜ [解析]　依題意有(5a)2＋144a2＜1， 所以169a2＜1， 所以a2＜，即|a|＜，故選D. [答案]　D 5．方程y＝表示的曲線是(　　) A．一條射線 B．一個圓 C．兩條射線 D．半個圓 [解析]　由y＝知，y≥0，兩邊平方移項，得x2＋y2＝9.∴選D. [答案]　D 6．圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，則點(2,3)到圓上的最大距離為________． [解析]　點(2,3)與圓心連線的延長線與圓的交點到點(

14、2,3)的距離最大，最大距離為點(2,3)到圓心(3,4)的距離加上半徑長5，即為5＋. [答案]　5＋ 7．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是___________________． [解析]　∵圓心在第一象限，而且與x軸相切， ∴可設圓心坐標為(a,1)， 則圓心到直線4x－3y＝0的距離為1， 即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)， ∴該圓的標準方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1. [答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝1 8．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則的最小值是________． [解析]　的幾何意義是

15、兩點(x，y)與(1,2)連線的斜率，而點(x，y)在圓x2＋y2＝1上， 過點P(1,2)作圓的切線， 由圖知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，則PB的斜率即為所求． ∴設PB的方程為y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0. 又∵PB和圓相切， ∴＝1，得k＝. ∴的最小值是. [答案]　 9．已知圓C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，試判斷點M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)與圓C的位置關系． [解]　圓心C(5,6)，半徑r＝. |CM|＝＝， |CN|＝＝>， |CQ|＝＝3<. 因此點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內(nèi)． 10．已知直線l與圓C

16、相交于點P(1,0)和點Q(0,1)． (1)求圓心所在的直線方程； (2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程． [解]　(1)PQ的方程為x＋y－1＝0， PQ中點M，kPQ＝－1， 所以圓心所在的直線方程為y＝x. (2)由條件設圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝1. 由圓過P，Q點得： 解得或 所以圓C方程為：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1. 應試能力等級練(時間25分鐘) 11．設P(x，y)是圓C：(x－2)2＋y2＝1上任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　　) A．6　　　B．25 C．26　　　D．36 [解析]　(x

17、－5)2＋(y＋4)2的幾何意義是點P(x，y)到點Q(5，－4)的距離的平方． 因為點P在圓(x－2)2＋y2＝1上，且點Q在圓外， 所以其最大值為(|QC|＋1)2＝36. [答案]　D 12．已知實數(shù)x，y滿足y＝，則t＝的取值范圍是________． [解析]　y＝表示上半圓，t可以看作動點(x，y)與定點(－1，－3)連線的斜率．如圖： A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，則kAB＝， kAC＝－，∴t≤－或t≥. [答案]　t≤－或t≥ 13．已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值為________，最小值為________． [解析]

18、　因為點P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點，所以表示點A(－1，－1)與該圓上點的距離．因為(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以點A(－1，－1)在圓外，如圖所示．設圓心為C，則 |AC|＝＝， 所以的最大值為|AC|＋r＝＋2，最小值為|AC|－r＝－2. [答案]?。?　 14．已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A(－1,0)和B(3,4)，且圓心在直線x＋3y－15＝0上． (1)求圓C的方程； (2)設點P在圓C上，求△PAB面積的最大值． [解]　(1)AB的垂直平分線方程為x＋y－3＝0， 由解得 ∴圓心C(－3,6)，半徑r＝＝2，∴圓C的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)|AB|＝＝4， 直線AB的方程為x－y＋1＝0. ∴圓心C到直線AB的距離d＝＝4. ∵點P在圓C上，∴點P到直線AB距離的最大值為 d＋r＝4＋2， ∴△PAB面積的最大值為×|AB|×(4＋2)＝×4×(4＋2)＝16＋8. 11