（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十五）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（普通生含解析）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十五）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（普通生，含解析） 一、選擇題 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　∵a2＝4＋22＝8， ∴a＝2，∴e＝＝＝. 2．一個焦點(diǎn)為(，0)且與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選B　設(shè)所求雙曲線方程為－＝t(t≠0)，因?yàn)橐粋€焦點(diǎn)為(，0)，所以|13t|＝26.又焦點(diǎn)在x軸上，所以t＝－2，即雙曲線方程為

2、－＝1. 3．若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選B　設(shè)P(x0，y0)，依題意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1,2)，則△OFP的面積為×1×2＝1. 4．(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　∵e＝＝＝，∴＝1. ∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝0. ∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 5．

3、已知雙曲線x2－＝1 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．2＋1 解析：選C　設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為a，依題意可得a＝1，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 6．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　) A．

4、1－ B．2－ C. D.－1 解析：選D　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°， 不妨設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且焦距|F1F2|＝2， 則|PF2|＝1，|PF1|＝， 由橢圓的定義可知，方程＋＝1中， 2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1， 所以離心率e＝＝＝－1. 二、填空題 7．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±x，則其焦距為________． 解析：由漸近線方程y＝±x，可得＝，解得a＝，故c＝＝2，故焦距為4. 答案：4 8．設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C

5、的離心率為________． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 由題意可知，直線l過焦點(diǎn)，且垂直于x軸，將x＝c代入雙曲線方程，解得y＝±， 則|AB|＝，由|AB|＝2×2a， 則b2＝2a2，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 9．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝－1，直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)為(1,1)，則直線l的方程為________． 解析：依題意易得拋物線的方程為y2＝4x，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則x1≠x2，由兩式相減得y－y＝4(x1－

6、x2)，所以＝＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 三、解答題 10．(2018·石家莊模擬)設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為2. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2， 故直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝x. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x3＝1，于是M. 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(1

7、,1＋m)，|MN|＝. 將y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0. 由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x1,2＝1±. 從而|AB|＝|x1－x2|＝2. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝， 所以直線AB的方程為y＝x＋. 11．(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4

8、)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 12．已知直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8. (1)求橢圓

9、C的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1，試證：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓C上運(yùn)動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點(diǎn)是(3,0)， 即點(diǎn)F(3,0)． 因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8， 所以a＋3＝8，a＝5，所以b2＝52－32＝16， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓C上， 所以＋＝1，即n2＝16－. 又原點(diǎn)到直線l：mx＋ny＝1的距離d＝＝<1， 所以直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2

10、＝1恒相交． 則l2＝4(12－d2)＝4， 因?yàn)椋?≤m≤5，所以≤l≤. 故直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍為. B組——大題專攻補(bǔ)短練 1．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，過焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)． (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線的方程； (2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過M作l的垂線，垂足為N. 證明：直線AN與拋物線相切． 解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p. 又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1. ∴p＝1，故拋物線C的方程為x2＝2y. (2)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋， 由消去y

11、得，x2－2kpx－p2＝0. ∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 其中A，B. ∴M，N. ∴kAN＝＝＝＝＝. 又x2＝2py，即y＝，∴y′＝. ∴拋物線x2＝2py在點(diǎn)A處的切線斜率k＝. ∴直線AN與拋物線相切． 2．(2018·貴陽適應(yīng)性考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M為短軸的上端點(diǎn)，·＝0，過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)且不經(jīng)過點(diǎn)M的直線l與C相交于G，H兩點(diǎn)．若k1，k2分別為直線MH，MG的斜率，求k1＋k2的值． 解：(1)由·

12、＝0，得b＝c.① 因?yàn)檫^F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)， 且|AB|＝，所以＝.② 又a2＝b2＋c2，③ 聯(lián)立①②③，解得a2＝2，b2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即y＝kx－2k－1， 將y＝kx－2k－1代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0， 由題設(shè)可知Δ＝－16k(k＋2)>0， 設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－(2k＋1)＝－1， 所以k1＋k2＝－1. 3．(2019屆高三·

13、唐山五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上滑動，＝ .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時，求直線l的方程． 解：(1)設(shè) C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋， 知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)． 易知直線

14、l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2. 此時直線l的方程為y＝±x＋1. 4.如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若點(diǎn)M在橢圓C的內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程． 解：(1)由已知|AB|＝|BF|， 得 ＝a

15、， 即4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2， 所以e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2， 所以橢圓C的方程可化為＋＝1. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1， 可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2， 所以直線l的方程為y－＝2， 即2x－y＋2＝0. 聯(lián)立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0. 則Δ＝322＋16×17×(b2－4)>0?b>， x1＋x2＝－，x1x2＝. 因?yàn)镺P⊥OQ，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 從而－＋4＝0，解得b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 綜上，直線l的方程為2x－y＋2＝0，橢圓C的方程為＋y2＝1.