高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)專題
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三角函數(shù)復(fù)習(xí)專題 一、核心知識(shí)點(diǎn)歸納： ★★★1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 函 數(shù) 性 質(zhì) 圖象 定義域 值域 最值 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng) 時(shí)，． 當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)，． 既無最大值也無最小值 周期性 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在 上是增函數(shù)． 對(duì)稱性 對(duì)稱中心 對(duì)稱軸 對(duì)稱中心 對(duì)稱軸 對(duì)稱中心 無對(duì)稱軸 ★★2.正、余弦定理：在中有: ①正弦定理：（為外接圓半徑） 注意變形應(yīng)用 ②面積公式： ③余弦定理： 二、方法總結(jié)： 1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。 （1）注意隱含條件的應(yīng)用：1＝cos2x＋sin2x。 （2）角的配湊。α＝（α＋β）－β，β＝－等。 （3）升冪與降冪。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。 （5）引入輔助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan＝確定。 2.解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。 （3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。 三、例題集錦： 考點(diǎn)一：三角函數(shù)的概念 1.（2011年東城區(qū)示范校考試文15）如圖，設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn)，是 單位圓上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，． （1）若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的值域． 2．（2011年西城期末文15）已知函數(shù).（Ⅰ）若點(diǎn) 在角的終邊上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域. 考點(diǎn)二：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 3.（2011年東城區(qū)期末文15）函數(shù)部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 考點(diǎn)三、四、五：同角三角函數(shù)的關(guān)系、 誘導(dǎo)公式、三角恒等變換 4．（2010年海淀期中文16）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（3）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心 5.（2011年豐臺(tái)區(qū)期末文15）已知函數(shù) （），相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的x值． 6、（2011朝陽二模文15）已知函數(shù) . （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，，求的值. 7、（2011東城二模問15）（本小題共13分）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的值域． 考點(diǎn)六：解三角形 8．（2011年朝陽期末文15）已知△中，. （Ⅰ）求角的大??；20070316 （Ⅱ）設(shè)向量，，求當(dāng)取最 小值時(shí)， 值. 9．（2011年石景山期末文15）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若， ，求的值． 10、（2011東城一模文15）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，分，且滿足． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面積的最大值． 11、(2011豐臺(tái)一模文15). 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┰O(shè)函數(shù)，當(dāng)取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀． 12、(2011海淀一模文15). 在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知，，且. (Ⅰ)求； (Ⅱ)求的面積. 13、（2011石景山一模文15）． 在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且． （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）求的最大值． 例題集錦答案： 1.（2011年東城區(qū)示范?？荚?yán)?5）如圖，設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn)，是 單位圓上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，． （1）若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的值域． ★★單位圓中的三角函數(shù)定義 解：（Ⅰ）由已知可得……………2分 ………3分 …………4分 （Ⅱ） ………6分 ………………7分 ………………8分 ………9分 …………12分 的值域是………………………………13分 2．（2011年西城期末理15）已知函數(shù).（Ⅰ）若點(diǎn) 在角的終邊上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域. ★★三角函數(shù)一般定義 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上， 所以，， ………………2分 所以 ………………4分 . ………………5分 （Ⅱ） ………………6分 ， ………………8分 因?yàn)?，所以? ………………10分 所以， ………………11分 所以的值域是. ………………13分 3.（2011年東城區(qū)期末理15）函數(shù)部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由圖可得，， 所以． ……2分 所以． 當(dāng)時(shí)，，可得 ， 因?yàn)椋裕? ……5分 所以的解析式為． ………6分 （Ⅱ） ． ……10分 因?yàn)?，所以? 當(dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為； 當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為．……13分 相鄰平衡點(diǎn)（最值點(diǎn)）橫坐標(biāo)的差等； ； ;φ----代點(diǎn)法 4．（2010年海淀期中文16）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（3）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心 解：（1） ...3分（只寫對(duì)一個(gè)公式給2分） ....5分 由，可得 ......7分 所以 ......8分 .......9分 （2）當(dāng)，換元法 ..11 即時(shí)，單調(diào)遞增. 所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ... 13分 5.（2011年豐臺(tái)區(qū)期末理15）已知函數(shù) （），相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的x值． 解：（Ⅰ）． 意義 ……4分 因?yàn)?，所以 ，． ……6分 所以 ．所以 ………7分 （Ⅱ） 當(dāng) 時(shí)， ， 無范圍討論扣分 所以 當(dāng)，即時(shí)，， …10分 當(dāng)，即時(shí)，． ………13分 6、（2011朝陽二模理15）已知函數(shù) . （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，，求的值. 解: ……………………………………1分 ……………………………………2分 . 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函數(shù)的最小正周期. ……………………………………5分 令， ……………………………………6分 所以. 即. 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 . ……………8分 （Ⅱ）解法一：由已知得， …………………9分 兩邊平方，得 同角關(guān)系式 所以 …………11分 因?yàn)?，所? 所以. ……………………………………13分 解法二：因?yàn)?，所? …………………………9分 又因?yàn)椋? 得 . ……………………………………10分 所以. ……………………………………11分 所以， . 誘導(dǎo)公式的運(yùn)用 7、（2011東城二模理15）（本小題共13分）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的值域． 解：（Ⅰ）因?yàn)椋遥? 所以，． 角的變換因?yàn)? ． 所以． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 所以此結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題 ，． 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取最大值； 當(dāng)時(shí)，取最小值． 所以函數(shù)的值域?yàn)椋? 8．（2011年朝陽期末理15）已知△中，. （Ⅰ）求角的大??；20070316 （Ⅱ）設(shè)向量，，求當(dāng)取最 小值時(shí)， 值. 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 和差角公式逆用 所以. ……… 3分 因?yàn)?，所?所以. ……… 5分 因?yàn)?，所? …………7分 （Ⅱ）因?yàn)椋? ………………… 8分 所以. …10分 所以當(dāng)時(shí)，取得最小值. 此時(shí)（），于是. 同角關(guān)系或三角函數(shù)定義……12分 所以. …………… 13分 9．（2011年石景山期末理15）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若， ，求的值． 解：（Ⅰ）． 4分 （Ⅱ） ． …6分 ， ． 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為．…8分 （Ⅲ）， 若是三角形的內(nèi)角，則，∴． 令，得 ，此處兩解 解得或． ……10分 由已知，是△的內(nèi)角，且， ∴，， ∴． …11分 又由正弦定理，得． ……13分 10、（2011東城一模理15）（本小題共13分） 在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，分，且滿足． （Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求△面積的最大值． 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以 由正弦定理，得．邊化角 整理得． 所以． 在△中，． 所以，． （Ⅱ）由余弦定理，． 所以 均值定理在三角中的應(yīng)用 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=” ． 取等條件別忘 所以三角形的面積． 所以三角形面積的最大值為． ……………………13分 11、(2011豐臺(tái)一模理15). 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀． 解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)閎2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必須有一個(gè)，否則扣1分) ……3分 ∵ 0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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