2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第五章 數(shù)列 第三節(jié) 等比數(shù)列學案 理（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　等比數(shù)列 2019考綱考題考情 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義： ①文字語言：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(非零)。 ②符號語言：＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))。 (2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab。 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式：an＝a1qn－1。 (2)前n項和公式：Sn＝ 3．等比數(shù)列的性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。 (2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則am·

2、an＝ap·aq。 特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝a。 (3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。 (4)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列。 (5)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk。 (6)若或則等比數(shù)列{an}遞增。 若或則等比數(shù)列{an}遞減。 　 1．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|

3、}，{a}，也是等比數(shù)列。 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0。 3．在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤。 一、走進教材 1．(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________。 解析　設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4。所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12,12×4＝48。 答案　12,48 2．(必修5P62B組T2改編)等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前

4、n項和為Sn，若＝，則{an}的通項公式an＝________。 解析　因為＝，所以＝－，因為S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，所以q5＝－，q＝－，則an＝－1×n－1＝－n－1。 答案　－n－1 二、走近高考 3．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻。十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于。若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　　) A．f B．f C.f D.f 解析　

5、從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于，第一個單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個單音的頻率構(gòu)成一個首項為f，公比為的等比數(shù)列，記為{an}，則第八個單音頻率為a8＝f·()8－1＝f，故選D。 答案　D 4．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1, a1－a3＝－3，則a4＝________。 解析　根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得①兩式相除可得＝，由①式解得所以a4＝a1q3＝(－2)3＝－8。 答案?。? 三、走出誤區(qū) 微提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b”成等比數(shù)列的必要不充分條件；②忽視q＝1的特殊情況；③對數(shù)的運算性

6、質(zhì)不熟練。 5．在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項為________。 解析　設(shè)a3與a7的等比中項為G，因為a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8。 答案　±8 6．數(shù)列{an}的通項公式是an＝an(a≠0)，則其前n項和為Sn＝________。 解析　因為a≠0，an＝an，所以{an}是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列。當a＝1時，Sn＝n；當a≠1時Sn＝。 答案　 7．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。 解析　因為數(shù)列{a

7、n}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。 答案　50 考點一等比數(shù)列的基本運算 【例1】　(1)(2018·福建泉州一模)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，a1＋a7＝65，a2a6＝64，則公比q＝(　　) A．±4 B．4 C．±2 D．2 (2)(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。 ①求{an}的通項公式； ②記Sn為{a

8、n}的前n項和。若Sm＝63，求m。 (1)解析　由得又等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以所以q＝＝2。故選D。 答案　D (2)解?、僭O(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1。 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2。 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1。 ②若an＝(－2)n－1，則Sn＝。 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解。 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1。 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6。 綜上，m＝6。 1．等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，

9、Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解。 2．等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·贛州摸底)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則{an}的公比q的值為(　　) A． B．2 C．－ D．－2 (2)(2019·安徽質(zhì)量檢測)中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬?！瘪R主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨瑔柛鞒鰩缀?？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了

10、別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半。”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半?！贝蛩惆创吮嚷蕛斶€，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(　　) A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝ B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝ C．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且a＝ D．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且c＝ 解析　(1)由S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－

11、2。故選D。 (2)由題意可得，a，b，c成公比為的等比數(shù)列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。 答案　(1)D　(2)D 考點二等比數(shù)列的判定與證明 【例2】　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)。 (1)求a2，a3的值； (2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列。 解　(1)因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， 所以當n＝1時，a1＝2×1＝2； 當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， 所以a2＝4； 當n＝3時，a1

12、＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， 所以a3＝8。 綜上，a2＝4，a3＝8。 (2)證明：因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，① 所以當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。② ①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。 所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， 所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。 因為S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0， 所以＝2， 故{Sn＋

13、2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列。 1．證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可。 2．利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進行驗證。 【變式訓(xùn)練】　已知數(shù)列{an}的首項a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝。 (1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和Tn。 解　(1)記bn＝－1，則＝＝＝＝＝， 又b1＝－1＝－1＝， 所以是首項為，公比為的等比數(shù)列。 所以－1＝·n－1， 即an＝。 所以數(shù)列{an}的通項

14、公式為an＝。 (2)由(1)知，－1＝·n－1， 即＝·n－1＋1。 所以數(shù)列的前n項和 Tn＝＋n＝＋n。 考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用微點小專題 方向1：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用 【例3】　(1)(2019·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　) A．－ B．－ C. D．－或 (2)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________。 解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所

15、以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－。故選B。 (2)由題意知a1a5＝a＝4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以a3＝2。所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25。所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5。 答案　(1)B　(2)5 1．在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度。

16、2．在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形。此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用。 方向2：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 【例4】　(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________。 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝________。 解析　(1)由題意，得解得所以q＝＝＝2。 (2)因為S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1。由÷＝，得q3＝－，所以＝＝。 解析：因為{an}是等比數(shù)列，且＝，所以公比q≠1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S

17、3)2＝S3·(S9－S6)，將S6＝S3代入得＝。 答案　(1)2　(2) 1．項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q。 (1)若共有2n項，則S偶∶S奇＝q； (2)若共有2n＋1項，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q。 2．等比數(shù)列的項經(jīng)過適當?shù)慕M合后組成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如在等比數(shù)列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比數(shù)列，公比為qk(q≠－1)。 【題點對應(yīng)練】　 1．(方向1)已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋

18、…＋a110)＝________。 解析　因為log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100。 答案　100 2．(方向2)已知等比數(shù)列{an}的公比不為－1，設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，S12＝7S4，則＝________。 解析　由題意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，則(S

19、8－S4)2＝S4·(S12－S8)，又S12＝7S4，所以(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，可得S－6S－S8S4＝0，兩邊都除以S，得2－－6＝0，解得＝3或－2，又＝1＋q4(q為{an}的公比)，所以>1，所以＝3。 解析：因為S12＝7S4，顯然q≠1， 所以＝7×， 即q8＋q4－6＝0，解得q4＝2。 又＝＝1＋q4＝3，所以＝3。 答案　3 1．(配合例1使用)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6。 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前n項和T

20、n。 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝， 由條件可知an>0，故q＝。 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝， 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n(n∈N*)。 (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－(n∈N*)。 故＝－＝－2(n∈N*)， 則Tn＝＋＋…＋＝－2＝－(n∈N*)。 所以數(shù)列的前n項和Tn＝－(n∈N*)。 2．(配合例2使用)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*。已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1

21、。 (1)求a4的值； (2)證明：為等比數(shù)列。 解　(1)當n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝。 (2)證明：因為4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， 所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)。 又因為4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2， 所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)， 所以＝ ＝＝＝， 所以數(shù)列是以a2－a1＝1為首項，為公比的等比數(shù)列。 3．(拓展型)已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且－2

22、S2，S3,4S4成等差數(shù)列。 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：Sn＋≤(n∈N*)。 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以2S3＝4S4－2S2， 即S3＝2S4－S2，即S4－S3＝S2－S4， 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－。 又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為 an＝×n－1＝(－1)n－1·。 (2)由(1)知，Sn＝1－n， Sn＋＝1－n＋ ＝ 當n為奇數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S1＋＝。 當n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S2＋＝。 故對于n∈N*，有Sn＋≤。 10