2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、一 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題. 知識點 數(shù)學(xué)歸納法 在學(xué)校,我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象:排成一排的自行車,如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了,那么整排自行車就會倒下. 思考1 試想要使整排自行車倒下,需要具備哪幾個條件? 答案?、俚谝惠v自行車倒下;②任意相鄰的兩輛自行車,前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下. 思考2 由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法,那么,數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問題? 答案 適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題. 梳理 數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟 (1)數(shù)學(xué)歸納法

2、的定義 一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟: ①證明當(dāng)n=n0時命題成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,且k≥n0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法. (2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明. (3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程 類型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明+++…++=1-(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=1-=,等式成立. (2

3、)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,等式成立, 即++…+=1-. 當(dāng)n=k+1時, ++…++=1-+=1-, 即當(dāng)n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)可知,原等式對n∈N+均成立. 反思與感悟 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準(zhǔn)確表述n=n0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時,必須使用歸納假設(shè). 跟蹤訓(xùn)練1 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=12=1,右邊==1,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈

4、N+)時,等式成立, 即12+22+32+…+k2 =. 當(dāng)n=k+1時,12+22+32+…+k2+(k+1)2 =+(k+1)2 = = =. 所以當(dāng)n=k+1時等式也成立. 由(1)(2)可知,等式對任何n∈N+都成立. 類型二 證明與整除有關(guān)的問題 例2 求證:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除. 證明 (1)當(dāng)n=1時,x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除. (2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,x2k-y2k能被x+y整除, 那么當(dāng)n=k+1時,x2k+2-y2k+2 =x2·x2k-y2·y2k-x2y2k+x2y2k =x2(x

5、2k-y2k)+y2k(x2-y2). ∵x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除, ∴x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除. 即當(dāng)n=k+1時,x2k+2-y2k+2能被x+y整除. 由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n,命題均成立. 反思與感悟 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時,關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出n=k時的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題得證. 跟蹤訓(xùn)練2 用數(shù)學(xué)歸納法證明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,13+23+33=36能被9

6、整除, 所以結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時結(jié)論成立, 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 則當(dāng)n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =[k3+(k+1)3+(k+2)3]+[(k+3)3-k3] =[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9k2+27k+27 =[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3). 因為k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除, 9(k2+3k+3)也能被9整除, 所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除, 即當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立. 由(1)(2)知,命題對一

7、切n∈N+成立. 類型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題 例3 有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2個部分(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,一個圓將平面分成兩個部分, 且f(1)=1-1+2=2, 所以n=1時命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥1)時命題成立, 即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分. 則當(dāng)n=k+1時, 在k+1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成k段弧,每段弧將原平面一分為二, 故得f(k+1)=f(k)+2k

8、=k2-k+2+2k =(k+1)2-(k+1)+2. 所以當(dāng)n=k+1時,命題成立. 綜合(1)(2)可知,對一切n∈N+,命題成立. 反思與感悟 (1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚n=k與n=k+1時二者的差異,這時常常借助于圖形的直觀性,然后用數(shù)學(xué)式子予以描述,建立起f(k)與f(k+1)之間的遞推關(guān)系,實在分析不出的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可. (2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式,還要注意結(jié)論要有必要的文字說明. 跟蹤訓(xùn)練3 平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條

9、不共點,求證:這n條直線把平面分割成(n2+n+2)個區(qū)域(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,一條直線把平面分成兩個區(qū)域, 又×(12+1+2)=2,∴n=1時命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2+k+2)個區(qū)域. 那么當(dāng)n=k+1時,k+1條直線中的k條直線把平面分成了(k2+k+2)個區(qū)域,第k+1條直線被這k條直線分成k+1段,每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊, 因此增加了k+1個區(qū)域, ∴k+1條直線把平面分成了(k2+k+2)+k+1=[(k+1)2+(k+1)+2]個區(qū)域. ∴當(dāng)n=k+1時命題也成

10、立. 由(1)(2)知,對一切的n∈N+,此命題均成立. 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)π”時,歸納奠基中n0的取值應(yīng)為(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形,故n0=3. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(n∈N+,a≠1),在驗證n=1成立時,左邊所得的項為(  ) A.1 B.1+a+a2 C.1+a D.1+a+a2+a3 答案 B 解析 當(dāng)n=1時,n+1=2,故左邊所得的項為1+a+a2. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除,當(dāng)n=k+1時,34(k+

11、1)+1+52(k+1)+1應(yīng)變形為__________. 答案 81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1(或25×(34k+1+52k+1)+56×34k+1) 解析 34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+…+(2n-1)=n2(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,等式成立, 即1+3+…+(2k-1)=k2,

12、 那么,當(dāng)n=k+1時, 1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2. 所以當(dāng)n=k+1時等式成立. 由(1)和(2)可知等式對任意正整數(shù)n都成立. 1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意的問題 (1)第一步中的驗證,對于有些問題驗證的并不是n=1,有時需驗證n=2,n=3. (2)對n=k+1時式子的項數(shù)以及n=k與n=k+1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障. (3)“假設(shè)n=k時命題成立,利用這一假設(shè)證明n=k+1時命題成立”,這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié),對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清,推導(dǎo)的

13、步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范. 2.判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題是否正確. (1)是要看有無歸納基礎(chǔ). (2)是證明當(dāng)n=k+1時是否應(yīng)用了歸納假設(shè). 3.與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中關(guān)鍵問題是從當(dāng)n=k+1時的表達式中分解出n=k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式,這樣才能得出結(jié)論成立. 一、選擇題 1.已知命題1+2+22+…+2n-1=2n-1及其證明: (1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,所以等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1成立,則當(dāng)n=k+1時,1+2+22+…+

14、2k-1+2k==2k+1-1,所以n=k+1時等式也成立. 由(1)(2)知,對任意的正整數(shù)n等式都成立.判斷以上評述(  ) A.命題、推理都正確 B.命題正確、推理不正確 C.命題不正確、推理正確 D.命題、推理都不正確 答案 B 解析 推理不正確,錯在證明當(dāng)n=k+1時,沒有用到假設(shè)當(dāng)n=k時的結(jié)論,命題由等比數(shù)列求和公式知正確. 2.在數(shù)列{an}中,a1=-1,前n項和Sn=-1先算出數(shù)列的前4項的值,再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是(  ) A.a(chǎn)n=-1 B.a(chǎn)n=n-1 C.a(chǎn)n=- D.a(chǎn)n=- 答案 D 解析 ∵a1=-1,S2=-1, ∴a

15、2=S2-S1=-, a3=S3-S2=-, a4=S4-S3=-, 猜想:an=-. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成(  ) A.假設(shè)n=2k+1(k∈N+)時正確,再推n=2k+3時正確 B.假設(shè)n=2k-1(k∈N+)時正確,再推n=2k+1時正確 C.假設(shè)n=k(k∈N+)時正確,再推n=k+1時正確 D.假設(shè)n=k(k∈N+)時正確,再推n=k+2時正確 答案 B 解析 ∵n為正奇數(shù), ∴在證明時,歸納假設(shè)應(yīng)寫成: 假設(shè)當(dāng)n=2k-1(k∈N+)時正確,再推出當(dāng)n=2k+1時正確,故選B. 4.設(shè)f

16、(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于(  ) A. B. C.+ D.- 答案 D 解析 因為f(n)=++…+, 所以f(n+1)=++…+++, 所以f(n+1)-f(n)=+- =-. 5.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)對一切正整數(shù)n都成立,則a,b的值可以等于(  ) A.a(chǎn)=1,b=3 B.a(chǎn)=-1,b=1 C.a(chǎn)=1,b=2 D.a(chǎn)=2,b=3 答案 D 解析 令n=1,2得到關(guān)于a,b的方程組,解得即可. 6.某個命題與正整數(shù)n有關(guān),若當(dāng)n=k(k∈N+)時該

17、命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立,那么可推得(  ) A.當(dāng)n=6時該命題不成立 B.當(dāng)n=6時該命題成立 C.當(dāng)n=4時該命題不成立 D.當(dāng)n=4時該命題成立 答案 C 解析 由已知得當(dāng)n=k時成立?n=k+1時成立. ∴當(dāng)n=k+1時不成立?當(dāng)n=k時不成立. ∴由當(dāng)n=5時不成立知,當(dāng)n=4時不成立. 二、填空題 7.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N+),則f(n+1)-f(n)=________. 答案?。? 解析 因為f(n)=1+++…+, 所以f(n+1)=1+++…++++, 所以f(n+1)-f(n)=+

18、+. 8.觀察式子1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第n個式子應(yīng)為________________. 答案 1-4+9-16+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1· 9.已知平面上有n(n∈N+,n≥3)個點,其中任何三點都不共線,過這些點中任意兩點作直線,設(shè)這樣的直線共有f(n)條,則f(3)=__________,f(4)=____________,f(5)=____________,f(n+1)=f(n)+____________. 答案 3 6 10 n 解析 當(dāng)n=k時,有f(k)條直線.當(dāng)n=k+1時,增加的第k+1個點與原k個點共連成k條直

19、線,即增加k條直線,所以f(k+1)=f(k)+k.所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10,f(n+1)=f(n)+n. 10.觀察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, …, 照此規(guī)律,第n個等式可為____________________. 答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 解析 由已知,得第n個等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n),右邊為2n×1×3×…×(2n-1). 所以第n個等式為(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…

20、×(2n-1). 三、解答題 11.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正整數(shù)時,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除. 證明 (1)當(dāng)n=1時,f(1)=34-8-9=64,命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即f(k)=32k+2-8k-9能被64整除. 當(dāng)n=k+1時, f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9×8k+9×9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1), 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1). ∴n=k+1時命題也成立. 綜合(1)(2)可知,對任意的n∈N+,命

21、題都成立. 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+). 證明 (1)當(dāng)n=1時,左邊=1-===右邊, 所以等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立,即 1-+-+…+-=++…+, 則當(dāng)n=k+1時,1-+-+…+-+-=+-=+=+…+++=++…+,所以當(dāng)n=k+1時等式也成立. 由(1)(2)知,對任意n∈N+等式都成立. 13.請觀察以下三個式子: (1)1×3=; (2)1×3+2×4=; (3)1×3+2×4+3×5=, 歸納出一般的結(jié)論,并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論. 解 結(jié)論:1×3+2×4+3×5+…+n(n+

22、2) =. 證明:①當(dāng)n=1時,左邊=3,右邊=3,所以命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立, 即1×3+2×4+3×5+…+k(k+2) =, 當(dāng)n=k+1時,1×3+2×4+…+k(k+2)+(k+1)(k+3) =+(k+1)(k+3) =(2k2+7k+6k+18) =(2k2+13k+18) = =, 所以當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由①②知,命題成立. 四、探究與拓展 14.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=時,由n=k(k∈N+,k≥1)的假設(shè)到證明n=k+1時,等式左邊應(yīng)添加的式

23、子是________. 答案 (k+1)2+k2 解析 當(dāng)n=k時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12. 當(dāng)n=k+1時,左邊=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12, 所以左邊添加的式子為(k+1)2+k2. 15.已知數(shù)列,,,,…,,…,計算數(shù)列和S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結(jié)果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明. 解 S1==,S2=+=, S3=+=,S4=+=. 上面四個結(jié)果中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1,于是可以猜想Sn=.其證明如下: (1)當(dāng)n=1時,左邊=S1=,右邊==,猜想成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時猜想成立, 即++…+=成立, 則當(dāng)n=k+1時, ++…++ =+ = ==, 所以當(dāng)n=k+1時,猜想成立. 由(1)(2)知,猜想對任意n∈N+,Sn=都成立. 11

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