開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明

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開普勒三定律的數(shù)學(xué)證明 摘 要：本文依次對(duì)開普勒第二，第三和第一定律進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)證明，并用物理學(xué)中角動(dòng)量守恒的方法對(duì)開普勒第二定律進(jìn)行證明。 關(guān)鍵字：開普勒定律；角動(dòng)量守恒 Mathematical Proofs of Kepler’s Law Du Yonghao (Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China) Abstract: My paper particularly derives Kepler’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler’s Second Law. Key words: Kepler’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum 1 前言 開普勒第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等的時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)中的行星的連線（向量半徑）所掃過的面積都是相等的。這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量守恒。開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律、周期定律：各個(gè)行星繞太陽(yáng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方和它們公轉(zhuǎn)周期的平方成正比[1]。 2 開普勒第二定律證明 2.1 數(shù)學(xué)方法 圖1[2] 令為行星在時(shí)刻的位失，令為行星在時(shí)刻的位失。面積為在時(shí)刻與時(shí)刻間行星位失掃過的面積，即與所圍成的三角形面積，如圖1，得： 所以： 令，得： 行星與太陽(yáng)之間的萬(wàn)有引力是作用在行星上的唯一的力，引力大小為，其中為行星的質(zhì)量。根據(jù)牛頓第二定律得： 兩邊同時(shí)除以得： 所以： 可知向量是一個(gè)常數(shù)，所以其大小也是一個(gè)常數(shù)。所以為一常數(shù)。 2.2 物理方法 行星在太陽(yáng)的引力作用下繞日運(yùn)動(dòng)，所以行星受到的引力對(duì)太陽(yáng)的力矩為零，即行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒（為常矢量）。根據(jù)角動(dòng)量守恒，的大小為： 為常數(shù)（其中為與的夾角） 設(shè)在足夠小的時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)到行星的位矢掃過的的角度很小，于是在時(shí)間內(nèi)位矢掃過的三角形面積為： 所以位矢掃過的面積的速度為： 所以得： 根據(jù)角動(dòng)量守恒定律為常量，所以為常量。所以行星運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積為定值。 3 開普勒第三定律證明 將太陽(yáng)置為原點(diǎn)（太陽(yáng)在行星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上），橢圓長(zhǎng)軸在軸上，如圖2。根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，又因?yàn)椋郧摇? 根據(jù)勾股定理： 圖2[2] ， 如圖3 因?yàn)?，所以? 化簡(jiǎn)得： 又因?yàn)?，所以? 圖3[2] 與軸夾角為，根據(jù)開普勒第一定律得： 因?yàn)椋? 所以： 所以開普勒第三定律指出周期的立方和行星與太陽(yáng)間距的平方成正比。 4 開普勒第一定律證明 圖4[2] 令為時(shí)刻行星的位失，為行星和太陽(yáng)的距離，所以為時(shí)刻行星的極坐標(biāo)。令 ，得： 所以： 因?yàn)樾行鞘苋f(wàn)有引力方向與其位置方向相反。所以： 令，得： 將代入,當(dāng)時(shí)，且成立，可證： 為任意值時(shí)都有 令，根據(jù)： 兩邊同時(shí)對(duì)進(jìn)行積分得： 令，代入得： 對(duì)分離變量并積分得： 最后，我們得到關(guān)于的函數(shù)： 所以為行星繞太陽(yáng)橢圓軌道的離心率。 參考文獻(xiàn) [1] 李敏君, 邱荒逸. 用矢量法證明開普勒三定律[ J]. 高師理科學(xué)刊, 2000, 20 (4 ): 49- 52. [2] [美]Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon. 微積分[ M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2009.585- 588. 第5頁(yè)，共5頁(yè)