大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

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1、4.在某種環(huán)境下貓頭鷹的主要食物是田鼠，設(shè)田鼠的年平均增長(zhǎng)率為 ，貓頭鷹的存在引起的田鼠增長(zhǎng)率的減少與貓頭鷹的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為 ；貓頭鷹的年平均減少率為 ；田鼠的存在引起的貓頭鷹減少率的增加與田鼠的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為 。建立差分方程模型描述田鼠和貓頭鷹共處時(shí)的數(shù)量變化規(guī)律，對(duì)以下情況作圖給出50年的變化過程。 （1）設(shè) 開始時(shí)有100只田鼠和50只貓頭鷹。 （2） 同上，開始時(shí)有100只田鼠 和200只貓頭鷹。 （3）適當(dāng)改變參數(shù) （初始值同上） （4）求差分方程的平衡

2、點(diǎn)，它們穩(wěn)定嗎？ 解： 記第k代田鼠數(shù)量為xk ，第k代貓頭鷹數(shù)量為yk，則可列出下列方程： xK+1=xK+(r1-yK*a1)*xK K+1=yK+(-r2+xK*a2)*yK 運(yùn)用matlab計(jì)算，程序如下： function z=disiti(x0,y0,a1,a2,r1,r2) x=x0;y=y0; for k=1:49 x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k); end z=[x',y']; （1） z=disiti(100,50,0.

3、001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1));hold on; plot(1:50,z(:,2),'r') 得到如下結(jié)果： z = 100.0000 50.0000 115.0000 45.0000 132.8250 41.8500 153.8313 40.4125 178.3808 40.7221 206.7930 43.0336 239.2525 47.9216 275.6376 56.4758 315.1983 70.6668 355.9639 9

4、4.0149 393.6908 132.7422 420.1696 197.4383 421.2459 304.1220 377.3850 469.1057 275.8285 682.4408 142.7576 854.1819 49.3682 841.8092 17.6832 672.3836 9.3300 494.4483 6.5828 355.3402 5.5602 253.4164 5.2632 180.2096 5.3674 128.0436 5.

5、7536 91.0051 6.3807 64.7508 7.2437 46.1518 8.3581 32.9749 9.7541 23.6336 11.4744 17.0046 13.5742 12.2935 16.1221 8.9392 19.2024 6.5457 22.9172 4.8333 27.3899 3.6049 32.7691 2.7209 39.2338 2.0829 46.9988 1.6215

6、 56.3224 1.2875 67.5143 1.0463 80.9465 0.8737 97.0651 0.7530 116.4051 0.6733 139.6077 0.6280 167.4416 0.6150 200.8269 0.6364 240.8645 0.7011 288.8685 0.8286 346.4029 1.0587 415.3167 1.4745 497.7677 2.2570 紅線為貓頭鷹數(shù)量曲

7、線,藍(lán)線為田鼠曲線 (2) z=disiti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1));hold on; plot(1:50,z(:,2),'r') z = 100.0000 200.0000 100.0000 180.0000 102.0000 162.0000 105.8760 146.4480 111.5459 133.5243 118.9610 123.2551 128.0906 115.6037 138.9010 110.5381 151.327

8、3 108.0844 165.2367 108.3713 180.3771 111.6737 196.3091 118.4584 212.3165 129.4298 227.2997 145.5610 239.6737 168.0647 247.3278 198.2066 247.7713 236.7886 238.6561 283.0909 218.8260 333.2864 189.6595 379.1639 155.6793 409.2388 123.1052 413.8872

9、 96.7745 391.6244 78.2302 349.9356 66.5007 299.7060 59.8702 249.6555 56.8973 204.6527 56.6326 166.5452 58.5272 135.4454 62.3054 110.6663 67.8714 91.2566 75.2519 76.2671 84.5631 64.8654 95.9905 56.3762 109.7770 50.2865 126.2121 46

10、.2412 145.6183 44.0412 168.3287 43.6553 194.6461 45.2556 224.7665 49.2965 258.6395 56.6680 295.7109 68.9807 334.4547 89.0832 371.5513 121.9469 400.5521 175.9818 410.1726 264.1671 383.8530 401.6251 306.4586 589.4677 187.1029 773.9222 79.7

11、204 831.3517 紅線為貓頭鷹數(shù)量曲線,藍(lán)線為田鼠曲線 (3) 當(dāng)a1,a2分別取0.002,0.002時(shí)，得到如下圖像： 可見，當(dāng)a1,a2參數(shù)在一定范圍內(nèi)改變時(shí)，貓頭鷹與田鼠數(shù)量在一定范圍內(nèi)震蕩，且不滅絕。 (4) 令xK=xK+1=x; yK=yK+1=y 解方程得到如下結(jié)果： x=150 y=200 經(jīng)matlab驗(yàn)證如下： z=disiti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1));hold on; plot(1:50,z(:,2),'r') z = 1

12、50 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 2

13、00 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200

14、 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 150 200 由此可知：平衡點(diǎn)為：x=150 y=200 5.研究將鹿群放入草場(chǎng)后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長(zhǎng)遵從Logistic規(guī)律，年固有增長(zhǎng)率0.8，最大密度為3000（密度單位），在草最茂盛時(shí)每只鹿每年可吃掉1.6（密度單位）的草。若沒有草，鹿群的年死亡率高達(dá)0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以補(bǔ)償，在草最茂盛時(shí)補(bǔ)償率為1.5。作一些簡(jiǎn)化假設(shè)，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數(shù)量的變化過程

15、，就以下情況進(jìn)行討論： （1）比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場(chǎng)兩種情況。 （2）適當(dāng)改變參數(shù)，觀察變化趨勢(shì)。 解：設(shè)1．草獨(dú)立生存，獨(dú)立生存規(guī)律遵從Logistic規(guī)律； 2．草場(chǎng)上除了鹿以外，沒有其他以草為食的生物； 3．鹿無(wú)法獨(dú)立生存。沒有草的情況下，鹿的年死亡率一定； 4．假定草對(duì)鹿的補(bǔ)償率是草場(chǎng)密度的線性函數(shù)； 5．每只鹿每年的食草能力是草場(chǎng)密度的線性函數(shù)。 記草的固有增長(zhǎng)率為r，草的最大密度為N，鹿獨(dú)立生存時(shí)的年死亡率為d，草最茂盛時(shí)鹿的食草能力為a，草對(duì)鹿的年補(bǔ)償作用為b；第k＋1年草的密度為 ，鹿的數(shù)量為 ，第k年草的密度為 ，鹿的數(shù)量為

16、。 草獨(dú)立生存時(shí)，按照Logistic規(guī)律增長(zhǎng)，則此時(shí)草的增長(zhǎng)差分模型為 ，但是由于鹿對(duì)草的捕食作用，草的數(shù)量會(huì)減少，則滿足如下方程： ? （ ）?? ????（1） 鹿離開草無(wú)法獨(dú)立生存，因此鹿獨(dú)立生存時(shí)的模型為 ，但是草的存在會(huì)使得鹿的死亡率得到補(bǔ)償，則滿足如下差分方程： ?? （ ）?????????????? ? （2） 另外，記初始狀態(tài)鹿的數(shù)量為 ，草場(chǎng)密度初值為 。 各個(gè)參數(shù)值為： ， ， ， ， 利用MATLAB編程序分析計(jì)算該差分方程模型，源程序如下： %定義函數(shù)diwuti，實(shí)現(xiàn)diwuti-Logistic綜合模型的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果返回種群量 funct

17、ion B =diwuti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic綜合模型的函數(shù) ???????? x(1) = x0;???????????????????? % 草場(chǎng)密度賦初值 ???????? y(1) = y0;???????????????????? % 鹿群數(shù)量賦初值 ???????? for k = 1 : n; ???????????? x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; ???????????? y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(

18、k); ???????? end ???????? B = [x;y]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all C1 =diwuti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); C2 = diwuti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); k = 0 : 50; plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:)

19、,'r',),... axis([0 50 0 3000]); xlabel('時(shí)間/年') ylabel('種群量/草場(chǎng)：?jiǎn)挝幻芏?，鹿：頭') title('圖1.草和鹿兩種群數(shù)量變化對(duì)比曲線') gtext('x0=1000') gtext('x0=3000') gtext('草場(chǎng)密度') gtext('鹿群數(shù)量')? 》比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場(chǎng)兩種情況（繪制曲如圖1所示）： 由圖中可以看到，藍(lán)色曲線代表草場(chǎng)密度的初始值為1000時(shí)，兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場(chǎng)密度的初始值為3000時(shí)，兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變

20、情況，可以發(fā)現(xiàn)大約40-50年左右時(shí)間后，兩種群的數(shù)量將達(dá)到穩(wěn)定。 使用MatLab計(jì)算可以得到，當(dāng) ，即兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)為（1800，600）。 為進(jìn)一步驗(yàn)證此結(jié)論，下面通過改變相關(guān)參數(shù)，研究?jī)煞N群變化情況，找到影響平衡點(diǎn)的因素： （1）改變草場(chǎng)密度初始值； 從圖2中可以看到，改變草場(chǎng)的初始密度不會(huì)對(duì)兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)造成影響。 ? （2）改變鹿的數(shù)量初值 由圖2可以看到，鹿初始的數(shù)量的改變?cè)诶碚撋弦膊粫?huì)改變最終種群數(shù)量的平衡值。 但是，我們可以看到，y0=2000的那條曲線（紫色曲線），在5－15區(qū)間內(nèi)降低到了非常小的值，這顯然是不符合鹿的現(xiàn)實(shí)繁殖規(guī)律的，因?yàn)槁沟?/p>

21、種群可持續(xù)繁殖的最小數(shù)量是存在域值的。當(dāng)種群數(shù)量低于這個(gè)值時(shí)，在實(shí)際情況下，鹿的種群就要滅絕。 同樣道理，草場(chǎng)的密度也存在一個(gè)最小量的域值，低于這個(gè)閾值，草也將滅絕。 綜合上面分析，可以在此得出一個(gè)結(jié)論：最大密度一定的草場(chǎng)所能承載的鹿的數(shù)量存在上限。 （3）改變草場(chǎng)的最大密度N，畫圖比較結(jié)果； 如圖4所示，如果草場(chǎng)密度的最大值N發(fā)生變化，則最終兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。結(jié)論：N值越大，平衡點(diǎn)兩種群的數(shù)量就越大；N越小，平衡點(diǎn)兩種群的數(shù)量就越小。 （4）改變鹿群獨(dú)立生存時(shí)的死亡率 ? 實(shí)驗(yàn)中，改變了鹿單獨(dú)生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖，可以得出結(jié)論

22、：鹿單獨(dú)生存的死亡率越大，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間越短；相反，鹿單獨(dú)生存的死亡率越小，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間越長(zhǎng)（甚至有可能會(huì)出現(xiàn)分叉、混沌）。 ?????? （5）草場(chǎng)密度對(duì)鹿數(shù)量的補(bǔ)償作用變化（b變化） 從圖中可以看到，如果b增大，則達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)的時(shí)間會(huì)加長(zhǎng)，但如果b減小則會(huì)有一個(gè)域值，當(dāng)b低于域值時(shí)，草－鹿種群數(shù)量的平衡時(shí)將不收斂于同一個(gè)平衡點(diǎn)，出現(xiàn)多值性。 6. Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型 已知一種昆蟲每?jī)芍墚a(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給出了變化過程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵發(fā)

23、育成2周齡成蟲的概率為0.09，（稱為成活率），2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為0.2。假設(shè)開始時(shí)，0~2，2~4，4~6周齡的昆蟲數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù)目； 討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢(shì)：各周齡的昆蟲比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值？昆蟲是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡？ 假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？ 解：將兩周分成一個(gè)時(shí)段，設(shè)k時(shí)段2周后幼蟲數(shù)量為：x1(k), 2到4周蟲的數(shù)量為：x2(K), 4到6周蟲數(shù)量為：x3(K)。 據(jù)題意可列出下列差分方程： x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*

24、150 x2(k+1)=x1(k)*0.09 x3(k+1)=x2(k)*0.2 運(yùn)用matlab編寫的程序如下： function z=diliuti(a,r1,r2,n) x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a; for k=1:n x(k+1)=y(k)*100+w(k)*150; y(k+1)=x(k)*r1; w(k+1)=y(k)*r2; end z=[x',y',w']; for k=1:n+1 m=x(k)+y(k)+w(k) end plot(1:n+1

25、,x);hold on plot(1:n+1,y,'r');hold on plot(1:n+1,w,'k'),grid 計(jì)算前三年的結(jié)果為： z=diliuti(100,0.009,0.2,2) m = 300 m = 2.5021e+004 m = 3.3152e+003 z = 1.0e+004 * 0.0100 0.0100 0.0100 2.5000 0.0001 0.0020 0.3090 0.0225 0.0000 （藍(lán)線為0

26、~2周的蟲，紅線為2~4周的蟲，黑線為4~6周的蟲） 其中，m表示三個(gè)不同生長(zhǎng)周期的蟲的總數(shù)，可見蟲并未滅絕。當(dāng)年份足夠長(zhǎng)時(shí)，可觀察到各年齡段蟲的數(shù)量變化： >> z=diliuti(100,0.009,0.2,20) m = 300 m = 2.5021e+004 m = 3.3152e+003 m = 2.2600e+004 m = 9.7393e+003 m = 2.1235e+004 m = 1.4867e+004 m =

27、 2.1741e+004 m = 1.9114e+004 m = 2.3581e+004 m = 2.3073e+004 m = 2.6384e+004 m = 2.7132e+004 m = 2.9975e+004 m = 3.1543e+004 m = 3.4303e+004 m = 3.6482e+004 m = 3.9389e+004 m = 4.2095e+004

28、 m = 4.5301e+004 m = 4.8521e+004 z = 1.0e+004 * 0.0100 0.0100 0.0100 2.5000 0.0001 0.0020 0.3090 0.0225 0.0000 2.2527 0.0028 0.0045 0.9531 0.0203 0.0006 2.1109 0.0086 0.0041 1.4660 0.0190 0.0

29、017 2.1571 0.0132 0.0038 1.8893 0.0194 0.0026 2.3372 0.0170 0.0039 2.2828 0.0210 0.0034 2.6136 0.0205 0.0042 2.6856 0.0235 0.0041 2.9686 0.0242 0.0047 3.1227 0.0267 0.0048 3.3969 0.0281 0.0053 3.6

30、120 0.0306 0.0056 3.9003 0.0325 0.0061 4.1679 0.0351 0.0065 4.4855 0.0375 0.0070 4.8042 0.0404 0.0075 由此可見，0~2周的蟲的數(shù)量急劇增多，2~4周的蟲的數(shù)量也增多，而4~6周 的蟲的數(shù)量相對(duì)很少。三者并無(wú)太多比例關(guān)系。最終整個(gè)種群數(shù)量增多。 當(dāng)使用殺蟲劑時(shí)： z=diliuti(100,0.0045,0.1,20) m = 300 m =

31、 2.5010e+004 m = 1.6575e+003 m = 1.1275e+004 m = 2.4341e+003 m = 5.1856e+003 m = 1.8564e+003 m = 2.4978e+003 m = 1.1854e+003 m = 1.2493e+003 m = 702.0383 m = 642.2136 m = 400.2470 m =

32、 336.3837 m = 223.4606 m = 178.3893 m = 123.2632 m = 95.3588 m = 67.5097 m = 51.2317 m = 36.8161 z = 1.0e+004 * 0.0100 0.0100 0.0100 2.5000 0.0000 0.0010 0.1545 0.0112 0.0000

33、 1.1257 0.0007 0.0011 0.2383 0.0051 0.0001 0.5170 0.0011 0.0005 0.1832 0.0023 0.0001 0.2487 0.0008 0.0002 0.1173 0.0011 0.0001 0.1243 0.0005 0.0001 0.0696 0.0006 0.0001 0.0639 0.0003 0.0001 0.0397

34、 0.0003 0.0000 0.0334 0.0002 0.0000 0.0222 0.0002 0.0000 0.0177 0.0001 0.0000 0.0122 0.0001 0.0000 0.0095 0.0001 0.0000 0.0067 0.0000 0.0000 0.0051 0.0000 0.0000 0.0037 0.0000 0.0000 可見蟲的數(shù)量受到控制，殺蟲劑效果很好。