2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知集合A={(𝑥||𝑥|<2)},B={?2,0,1,2},則 （A）{0,1} （B）{?1,0,1} （C）{?2,0,1,2} （D）{?1,0,1,2} （2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

2、位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 （A） （B） （C） （D） （4）設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （5）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，

3、從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率f，則第八個(gè)單音頻率為 （A） （B） （C） （D） （6）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （7）在平面坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)𝑥為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是 （A） （B） （C） （D） （8）設(shè)集合則 （A）對(duì)任意實(shí)數(shù)a， （B）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，

4、（2,1） （C）當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1） （D）當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),（2,1） 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）設(shè)向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，則m=_________. （10）已知直線l過點(diǎn)（1,0）且垂直于𝑥軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________. （11）能說明“若a﹥b，則”為假命題的一組a，b的值依次為_________. （12）若雙曲線的離心率為，則a=_________. （13）若𝑥,y滿足，則2y?𝑥的最小值

5、是_________. （14）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=_________；的取值范圍是_________. 三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 設(shè)是等差數(shù)列，且. （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求. （16）（本小題13分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值. （17）（本小題13分） 電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 2

6、00 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率； （Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率； （Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論） （18）（本小題1

7、4分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：PE⊥BC； （Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求證：EF∥平面PCD. （19）（本小題13分） 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a； （Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍. （20）（本小題14分） 已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）若，求 的最大值； （Ⅲ）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M

8、的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線，求k. 參考答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D 9． 10． 11．（答案不唯一） 12．4 13．3 14． 15．（共13分） 解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為， ∵， ∴， 又，∴. ∴. （II）由（I）知， ∵， ∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. ∴ . ∴. 16.（共13分） 【解析】（Ⅰ）， 所以的最小正周期為. （Ⅱ）由（Ⅰ）知.

9、 因?yàn)?，所? 要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1. 所以，即. 所以的最小值為. 17.（共13分） （Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000. 第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50， 故所求概率為. （Ⅱ）方法一：由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估計(jì)為. 方法二：設(shè)“隨機(jī)選取1部電影,這部電影沒有獲得好評(píng)”為事件B. 沒有獲

10、得好評(píng)的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部. 由古典概型概率公式得. （Ⅲ）增加第五類電影的好評(píng)率, 減少第二類電影的好評(píng)率. 18.（共14分） 【解析】（Ⅰ）∵，且為的中點(diǎn)，∴. ∵底面為矩形，∴， ∴. （Ⅱ）∵底面為矩形，∴. ∵平面平面，∴平面. ∴.又, ∵平面，∴平面平面. （Ⅲ）如圖，取中點(diǎn)，連接. ∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且. ∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)， ∴， ∴，且，∴四邊形為平行四邊形， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 19. （13分） 解：（

11、Ⅰ）因?yàn)椋? 所以. ， 由題設(shè)知，即，解得. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得. 若a>1，則當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 所以在x=1處取得極小值. 若，則當(dāng)時(shí)，， 所以. 所以1不是的極小值點(diǎn). 綜上可知，a的取值范圍是. 方法二：. （1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1. 隨x的變化情況如下表： x 1 + 0 ? ↗ 極大值 ↘ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. （2）當(dāng)a>0時(shí)，令得. ①當(dāng)，即a=1時(shí)，， ∴在上單調(diào)遞增， ∴無極值，不合題意. ②當(dāng)，即0

12、 ? 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. ③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表： x + 0 ? 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意. （3）當(dāng)a<0時(shí)，令得. 隨x的變化情況如下表： x ? 0 + 0 ? ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ ∴在x=1處取得極大值，不合題意. 綜上所述，a的取值范圍為. 20．（共14分） 【解析】（Ⅰ）由題意得，所以， 又，所以，所以， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）設(shè)直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設(shè)，，則，， 則， 易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為． （Ⅲ）設(shè)，，，， 則 ①， ②， 又，所以可設(shè)，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故，， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得，即．