2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷1含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國(guó)卷1） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．設(shè)，則 A． B． C． D． 2．已知集合，則 A．

2、 B． C． D． 3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例 建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例 則下面結(jié)論中不正確的是 A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半 4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 A．

3、 B． C． D． 5．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 A． B． C． D． 6．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 A． B． C． D． 7．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為 A． B． C．3 D．2 8．設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則= A．5

4、 B．6 C．7 D．8 9．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2

5、=p3 D．p1=p2+p3 11．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|= A． B．3 C． D．4 12．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________． 14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____________． 15．從2位女生，4位男生中選

6、3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案） 16．已知函數(shù)，則的最小值是_____________． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：60分。 17．（12分） 在平面四邊形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 18．（12分） 如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且. （1）證明：平面平面； （2）求與平面所成角的正弦值.

7、 19．（12分） 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. （1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：. 20．（12分） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)． （2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)

8、用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． （i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求; （ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 21．（12分） 已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：． （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （

9、1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程. 23．[選修4–5：不等式選講]（10分） 已知. （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍. 參考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14. 15.16 16. 17.（12分） 解：（1）在中，由正弦定理得. 由題設(shè)知，，所以. 由題設(shè)知，

10、，所以. （2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 18.（12分） 解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得. 則為平面ABFD的法向量. 設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則. 所以DP與平面ABFD所成角的正

11、弦值為. 19.（12分） 解：（1）由已知得，l的方程為x=1. 由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或. 所以AM的方程為或. （2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，. 當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以. 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，， 則，直線MA，MB的斜率之和為. 由得 . 將代入得 . 所以，. 則. 從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以. 綜上，. 20.（12分） 解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此 . 令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以的最大值點(diǎn)為. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品

12、件數(shù)，依題意知，，即. 所以. （ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元. 由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 21.（12分） 解:（1）的定義域?yàn)椋? （i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減. （ii）若，令得，或. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng). 由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于 ， 所以等價(jià)于. 設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，. 所以，即. 22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為． （2

13、）由（1）知是圓心為，半徑為的圓． 由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)． 綜上，所求的方程為． 23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即 故不等式的解集為． （2）當(dāng)時(shí)成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)成立． 若，則當(dāng)時(shí)； 若，的解集為，所以，故． 綜上，的取值范圍為．