2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（天津卷含答案）(1)

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1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（天津卷） 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷 注意事項： 1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。 2．本卷共8小題，每小題5分，共40分。 參考公式： ·如果事件 A

2、，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的體積公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高． ·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面積，h表示棱錐的高. 一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. （1）設(shè)集合，，，則 （A） （B） （C） （D） （2）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 （A）6 （B）19 （C）21 （D）45 （3）設(shè)，則“”是“” 的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件

3、 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 （4）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為20，則輸出的值為 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）已知，則的大小關(guān)系為 （A） （B） （C） （D） （6）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù) （A）在區(qū)間 上單調(diào)遞增 （B）在區(qū)間 上單調(diào)遞減 （C）在區(qū)間 上單調(diào)遞增 （D）在區(qū)間 上單調(diào)遞減 （7）已知雙曲線 的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且 則雙曲線的方程為 （A） （

4、B） （C） （D） （8）在如圖的平面圖形中，已知,則的值為 （A） （B） （C） （D）0 第Ⅱ卷 注意事項： 1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2．本卷共12小題，共110分。 二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. （9）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=__________． （10）已知函數(shù)f(x)=exlnx，f?′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f?′（1）的值為__________． （11）如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則四棱柱A1–BB1D1D的體積為__________

5、． （12）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為__________． （13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為__________． （14）已知a∈R，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 三．解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． （15）（本小題滿分13分） 已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動． （Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)

6、生志愿者中分別抽取多少人？ （Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． （i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； （ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率． （16）（本小題滿分13分） 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c．已知bsinA=acos(B–)． （Ⅰ）求教B的大??； （Ⅱ）設(shè)a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值． （17）（本小題滿分13分） 如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，

7、AD=，∠BAD=90°． （Ⅰ）求證：AD⊥BC； （Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值． （18）（本小題滿分13分） 設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值． （19）（本小題滿分14分） 設(shè)橢圓 的右頂點為A，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直

8、線與橢圓交于兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限.若的面積是面積的2倍，求k的值. （20）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，其中,且是公差為的等差數(shù)列. （I）若 求曲線在點處的切線方程； （II）若，求的極值； （III）若曲線 與直線 有三個互異的公共點，求d的取值范圍. 參考答案 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分40分． （1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）A （7）A （8）C 二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分30分． （9）4–i

9、（10）e （11） （12） （13） （14）［，2］ 三、解答題 （15）本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識．考查運(yùn)用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）解：從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}

10、，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． （ii）解：由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=． （16）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)

11、算求解能力．滿分13分． （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=． （Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=． 由，可得．因為a

12、角）為異面直線BC與MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=． 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得． 所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為． （Ⅲ）解：連接CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD==4． 在Rt△CMD中，． 所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為． （18）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列

13、的通項公式及前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分. （I）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由b1=1，b3=b2+2，可得. 因為，可得，故.所以. 設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得.由，可得 從而，故，所以. （II）解：由（I），知 由可得， 整理得 解得（舍），或.所以n的值為4. （19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.滿分14分. （I）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得 由,從而. 所以，橢圓的方程為. （II）解：

14、設(shè)點P的坐標(biāo)為，點M的坐標(biāo)為 ，由題意，， 點的坐標(biāo)為 由的面積是面積的2倍，可得， 從而，即. 易知直線的方程為，由方程組 消去y，可得.由方程組消去，可得.由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或. 當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，，，符合題意. 所以，的值為. （20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法，考查函數(shù)思想和分類討論思想，考查綜合分析問題和解決問題的能量，滿分14分. （Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x?1)(x+1)=x3?x，故f‵(x)=3x?1，因此f(0)=0，=?1，又因為曲線y=f(x)在點(0， f(0)

15、)處的切線方程為y?f(0)= (x?0)，故所求切線方程為x+y=0. （Ⅱ）解：由已知可得 f(x)=(x?t2+3)( x?t2) (x?t2?3)=( x?t2)3?9 ( x?t2)=x3?3t2x2+(3t22?9)x? t22+9t2. 故= 3x3?6t2x+3t22?9.令=0，解得x= t2?，或x= t2+. 當(dāng)x變化時，f‵(x)，f(x)的變化如下表： x (?∞，t2?) t2? (t2?，t2+) t2+ (t2+，+∞) + 0 ? 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2

16、?)=(?)3?9×(?)=6；函數(shù)小值為f(t2+)=()3?9×()=?6. （III）解：曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點等價于關(guān)于x的方程(x?t2+d) (x?t2) (x?t2?d)+ (x?t2)+ 6=0有三個互異的實數(shù)解，令u= x?t2，可得u3+(1?d2)u+6=0. 設(shè)函數(shù)g(x)= x3+(1?d2)x+6，則曲線y=f(x)與直線y=?(x?t2)?6有三個互異的公共點等價于函數(shù)y=g(x)有三個零點. =3 x3+(1?d2). 當(dāng)d2≤1時，≥0，這時在R上單調(diào)遞增，不合題意. 當(dāng)d2>1時，=0，解得x1=，x2=. 易得，g(x)在(?∞，x1)上單調(diào)遞增，在[x1， x2]上單調(diào)遞減，在(x2， +∞)上單調(diào)遞增， g(x)的極大值g(x1)= g()=>0. g(x)的極小值g(x2)= g()=?. 若g(x2) ≥0，由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)y=f(x)至多有兩個零點，不合題意. 若即，也就是，此時， 且，從而由的單調(diào)性，可知函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，符合題意. 所以的取值范圍是