2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補(bǔ)漏系列 熱點(diǎn)02 新問題新情景如何面對高考中新定義問題？

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1、新問題新情景，如何面對高考中新定義問題？ 在近幾年全國、各省的高考數(shù)學(xué)命題中,“新定義”問題越來越受到關(guān)注和重視.所謂“新定義”問題,是相對于高中教材而言,指在高中教材中不曾出現(xiàn)過的概念、定義.它的一般形式是:由命題者先給出一個(gè)新的概念、新的運(yùn)算法則,或者給出一個(gè)抽象函數(shù)的性質(zhì)等,然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題.“新定義”問題總的來說題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.掌握好下列幾種解題的思路與方法,為我們在宏觀上把握這類題型提供了思維方向. 一．以集合為背景的新問題 已知集合, .若存在實(shí)數(shù)使得成立,稱點(diǎn)為“￡”點(diǎn)，則“￡”點(diǎn)在平面區(qū)

2、域內(nèi)的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 無數(shù)個(gè) 【答案】A 代入（1）可得方程無整數(shù)解，故滿足條件的點(diǎn)不存在，選A. 例2 [2020·福建卷] 在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論： ①2020∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整a，b屬于同一‘類’”的

3、充要條件是“a－b∈[0]”． 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C　 二．以函數(shù)為背景考查新定義 例3[2020·天津卷] 對實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”；a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)c的取值范圍是(　　) A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2] C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1] 則f(x)的圖象如圖， ∵函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴函數(shù)y＝f(x)與y＝c的圖象有

4、兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得－2

5、】1 【解析】設(shè)、、為長方體的共頂點(diǎn)的三條棱的方向向量，因非零向量，故可為長方體體對角線的方向向量，則、、分別為 則有 解：由“線性相關(guān)”的定義，知存在不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得 ． 即k1(1，0)＋k2(－1，1)＋k3(2，2)＝(0，0)． 不妨取k3＝1，則k2＝2，k1＝－4． ∴ k1，k2，k3依次可?。?，2，1． 分析2：根據(jù)線性相關(guān)的定義和向量加法的運(yùn)算法則，我們可以得該題的一般解法． 解法2：設(shè)存在3個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得． 則，不妨設(shè)k3≠0，于是解得． 故存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)－4k3，2k3，k3使得 ， 于是線性

6、相關(guān)，特殊地，取k3＝1． 四．以數(shù)列為背景的新定義 例7【湖南省衡陽八中2020屆高三第三次月考】 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，定義函數(shù)表示的最大奇因數(shù)．如，…．記． 則（1） ．（2） ． 【答案】86； （2） ，． 例8 [2020·北京卷] 若數(shù)列An：a1，a2，…，an(n≥2)滿足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)充分性：由于a2000－a1999≤1. a1999－a1998≤1. …… a2－a1≤1. 所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999. 又因?yàn)閍1＝12，a2000＝2020. 所以

7、a2000＝a1＋1999. 故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即E數(shù)列An是遞增數(shù)列． 綜上，結(jié)論得證． (3)對首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，由于 a2≥a1－1＝3， a3≥a2－1≥2， …… a8≥a7－1≥－3， …… 所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2,3，…，8)． 所以對任意的首項(xiàng)為4的E列An，若S(An)＝0，則必有n≥9. 又a1＝4的E數(shù)列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4滿足S(A9)＝0， 所以n的最小值是9. 【最新模擬試題訓(xùn)練】 【答案】A　 【解析】 T全部是偶數(shù)，V全部是奇數(shù)，那么T，V對乘法是

8、封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時(shí)T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對乘法不封閉．排除B、C、D選項(xiàng)，所以“至少一個(gè)”是對的． 2.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 對向量，定義一種運(yùn)算“”． ，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q分別在曲線和上運(yùn)動(dòng)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，若，則的最大值為 A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】設(shè) 又顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值為3. 3.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】 對于使成立的所有常數(shù)中，我們把的最小值1叫做的 上確界

9、,若，且，則的上確界為（ ） A． B． C． D．-4 【答案】B 4.【山東省日照市2020屆高三12月月】若數(shù)列，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是 A.10 B.100 C.200 D.400 【答案】B 【解析】由已知得為等差數(shù)列，且所以 6.【寧夏銀川2020年高三教學(xué)質(zhì)量檢測】若直線坐標(biāo)系平面內(nèi)的兩點(diǎn)P,Q滿足條件：（1）P,Q都在函數(shù)的圖像上；（2）P、O關(guān)于原點(diǎn)對稱。則稱點(diǎn)[P,Q]是函數(shù)的一對“友好點(diǎn)對”。（注：點(diǎn)[P,Q]與[Q，P]看作同一對“友好點(diǎn)對”）。已知函數(shù)則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有 A.0對

10、B.1對 C.2對 D. 3對 【答案】C 7.【河南豫西五校2020屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試】設(shè)S是實(shí)數(shù)解R的非空子集，如果則稱S是一個(gè)“和諧集”。下面命題為假命題的是 A.存在有限集S，S是一個(gè)“和諧集” B．對任意無理數(shù)a，集合都是“和諧集” C．若且均為“和諧集”，則 D．對任意兩個(gè)“和諧集”，若 【答案】D 8. 【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】已知點(diǎn)．若曲線上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線： y y=-x+3 O A ① ； ② ； ③ ． 其中，型曲線的個(gè)數(shù)是（ ） x （A）（

11、B）（C）（D） 【答案】C x y A O 【解析】對于①，的圖像是一條線段，記為如圖（1）所示，從圖中可以看出：在線段上一定存在兩點(diǎn)B,C使△ABC為正三角形，故①滿足型曲線；對于②， 的圖象是圓在第二象限的部分，如圖（2）所示，顯然，無論點(diǎn)B、C在何處，△ABC都不可能為正三角形，所以②不是型曲線。 y O A x 對于③，表示雙曲線在第四象限的一支，如圖（3）所示，顯然，存在點(diǎn)B,C，使△ABC為正三角形，所以③滿足； 綜上，型曲線的個(gè)數(shù)為2，故選C. 10.(浙江省寧波市鄞州區(qū)2020年3月高考適應(yīng)性考試)對于正項(xiàng)數(shù)列，定義,若則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

12、 . 【答案】 【解析】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法的問題。 的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列 “光陰”值為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【答案】 【解析】由可得 ①， ② ①－②得，所以。 12.【湖北省武漢市2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】 定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對一 切實(shí)數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).現(xiàn)有如下函數(shù)： ① ② ③ ④ 對于④，注意到，因此存在函數(shù)，使得對一切實(shí)數(shù)都成立，存在承托函數(shù).綜上所述，存在承托函數(shù)的的序號為②④. 13.【2020延吉市質(zhì)檢理15】曲線Ｃ：與軸交點(diǎn)關(guān)于

13、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”，以“望點(diǎn)”為圓心，凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓，皆稱之為“望圓”，則當(dāng)a=1，b=1時(shí)，所有的“望圓”中，面積最小 “望圓”的面積為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)榍€Ｃ：與軸交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)稱為“望點(diǎn)”，以“望點(diǎn)”為圓心，凡是與曲線C有公共點(diǎn)圓，皆稱之為“望圓”，所以當(dāng)時(shí)望圓的方程可設(shè)為，面積最小 “望圓”的半徑為（0,1）到上任意點(diǎn)之間最小距離， ，所以半徑，最小面積為 14、【山東省微山一中2020屆高三10月月考數(shù)學(xué)（文）】已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)a、b滿足，有以下結(jié)論： ①②為偶函數(shù)；③數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列；④數(shù)列｛bn｝為

14、等差數(shù)列。其中正確結(jié)論的序號是 。 【答案】 ①③④ 解析:因?yàn)槿〉萌〉萌〉萌〉? 由得代入（1）得 。該題通過函數(shù)方程考查函數(shù)性質(zhì)與遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式，既考查函數(shù)方程問題一般的研究方法：賦值，又考查轉(zhuǎn)化化歸，對能力要求較高，是難題。 12.【2020海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)】 （Ⅰ）寫出和的值，并用列舉法寫出集合； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求的最小值； （Ⅲ）有多少個(gè)集合對（P，Q），滿足，且？ 解：（Ⅰ），，. ………………………………………3分 （Ⅱ）根據(jù)題意可知：對于集合，①若且，則 所以 要使的值最

15、小，2，4，8一定屬于集合；1，6，10，16是否屬于不影響的值；集合不能含有之外的元素. 所以 當(dāng)為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時(shí)，取到最小值4. ………………………………………8分 所以 . 所以 . 由 知：. 所以 . 所以 . 所以 ，即. 因?yàn)?， 所以 滿足題意的集合對（P，Q）的個(gè)數(shù)為. ………………………………………14分 13.【北京市西城區(qū)2020屆高三4月第一次模擬考試試題】 對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù) 列，其中，且，這種“變換”記

16、作.繼續(xù)對數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束． 數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；． ……………3分 （Ⅱ）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．……4分 若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．……5分 當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”． 證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則． 令，，其中． 因?yàn)椋? 所以， 故，證畢．

17、 ……………9分 現(xiàn)將數(shù)列分為兩類． 若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為 或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列； 若，則； ，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列．③ 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則， ，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列． 總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會(huì)得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少．又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束． ………………13分 14.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末

18、檢測】 （Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時(shí)，. 【命題分析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題，考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明?？疾閷W(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提，解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。 （Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，， 則，. 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在， 滿足. 因?yàn)?，，且，所? 與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根， 所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. …………10分 （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立； 綜上，對于任意符合條件的,總有成立.……14分 15.【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】

19、 已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，， 其中，則稱為的“衍生數(shù)列”. （Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求； （Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是； （Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列. 證明：是等差數(shù)列. 【命題分析】本題考查新概念的數(shù)列問題，考查學(xué)生的自學(xué)能力.試題特點(diǎn)是設(shè)問很有層次性，基本上前兩個(gè)問題學(xué)生只要耐心認(rèn)真做答都能夠解答出來，考察學(xué)生代數(shù)推理能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維. （Ⅰ）解：. ………………3分 （Ⅱ）證法一：

20、 證明：由已知，，. 因此，猜想. ………………4分 故當(dāng)時(shí)猜想也成立. 由 ①、② 可知，對于任意正整數(shù)，有. ………………7分 設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知 因此，數(shù)列即是數(shù)列. ………………9分 證法二： 因?yàn)?， ， ， …… ， 由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得 即，. ………………7分 由于，， 根據(jù)“衍生數(shù)

21、列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”. ………………9分 （Ⅲ）證法一： 證明：設(shè)數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可. ……10分 由（Ⅱ）中結(jié)論可知 ， 所以，，即成等差數(shù)列， 所以是等差數(shù)列. ………………13分 證法二： 因?yàn)?， 所以 . 所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可. ………………10分 對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”， 因?yàn)?， ， ， …… ， 因?yàn)?，， 所以 ， 即成等差數(shù)列. 同理可證，也成等差數(shù)列. 即 是等差數(shù)列. 所以 成等差數(shù)列. ………………13分