（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 綜合仿真練（二） 理（通用）

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1、綜合仿真練(二)(理獨(dú)) 1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] (2020·南京鹽城二模)已知矩陣A＝，B＝，AB＝. (1)求a，b的值； (2)求A的逆矩陣A－1. 解：(1)因?yàn)锳＝，B＝，AB＝， 所以即 (2)由(1)知，A＝，所以|A|＝2×3－1×4＝2， 所以A－1＝＝. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2020·蘇錫常鎮(zhèn)一模)在極坐標(biāo)系中，已知直線l：ρsin＝0.在平面直角坐標(biāo)系(原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正方向?yàn)闃O軸的正方向)中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)． 解

2、：由題意知，直線ρsin＝0的直角坐標(biāo)方程為y＝x，① 將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得其普通方程為y2－x2＝1，② 聯(lián)立①②，得 解得或 不妨令A(yù)，B， ∴AB＝＝2. C．[選修4－5：不等式選講] (2020·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝2.求證：＋＋≥1. 證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，所以由柯西不等式得： [(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝[()2＋()2＋()2]2＋2＋2≥＋＋2 ＝(a＋b＋c)2＝22， 則＋＋≥＝＝1. 所以＋＋≥1. 2．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝

3、CF＝1. (1)求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值； (2)求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值． 解：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示， 則A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，＝(－3,3,3)，＝(0，－3,2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－， 故兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值為. (2)由(1)知＝(0，－3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)， 所以＝(3,0，－1)，＝(0,0,3)． 設(shè)平面BED1F的法向量為

4、n＝(x，y，z)， 則即令x＝1，得y＝2，z＝3，n＝(1,2,3)是平面BED1F的一個(gè)法向量． 設(shè)直線BB1與平面BED1F所成的角為α，則 sin α＝＝＝， 所以直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值為. 3．對(duì)于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)x＝a0＋a1n＋a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1，2，…，n－1，n，且an≠0，記滿足條件的所有x的和為An. (1)求A2； (2)設(shè)An＝，求f(n)． 解：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1， 故滿足條件的x共有4個(gè)， 分

5、別為x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它們的和是22，所以A2＝22. (2)由題意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法；an有n－1種取法， 由分步計(jì)數(shù)原理可得a0，a1，a2…，an－1，an的不同取法共有n·n·…·n·(n－1)＝nn(n－1)， 即滿足條件的x共有nn(n－1)個(gè)， 當(dāng)a0分別取0,1,2，…，n－1時(shí)，a1，a2，…，an－1各有n種取法，an有n－1種取法， 故An中所有含a0項(xiàng)的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)＝； 同理，An中所有含a1項(xiàng)的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n＝·n； An中所有含a2項(xiàng)的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·n2＝·n2； An中所有含an－1項(xiàng)的和為(0＋1＋2＋…＋n－1)·nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1； 當(dāng)an分別取i＝1,2，…，n－1時(shí)，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法， 故An中所有含an項(xiàng)的和為(1＋2＋…＋n－1)nn·nn＝·nn. 所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn ＝·＋·nn ＝(nn＋1＋nn－1)， 故f(n)＝nn＋1＋nn－1.