2020年高考數(shù)學總復習 第五章 第5課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時闖關(guān)（含解析） 新人教版

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1、2020年高考數(shù)學總復習 第五章 第5課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時闖關(guān)（含解析） 新人教版 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}是首項為a1＝4的等比數(shù)列，且4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列，則其公比q等于(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　 B．－1 C．1或－1 D. 解析：選C.依題意有2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1(q2＝－2舍去)，所以q＝1或－1，故選C. 2．(2020·高考福建卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n等于(　　) A．6

2、B．7 C．8 D．9 解析：選A.設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 則由a4＋a6＝－6得2a5＝－6， ∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2， ∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故當n＝6時Sn取最小值，故選A. 3．(2020·德州調(diào)研)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S9＝－18，S13＝－52，等比數(shù)列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，則b15的值為(　　) A．64 B．－64 C．128 D．－128 解析：選B.因為S9＝(a1＋a9)＝9a5＝－18，S13＝(a1＋a13)＝13a7＝－52，所以a5

3、＝－2，a7＝－4，又b5＝a5，b7＝a7，所以q2＝2，所以b15＝b7·q8＝－4×16＝－64. 4．數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于x的不等式x2－x

4、) A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘 解析：選C.設(shè)每一秒鐘通過的路程依次為a1，a2，a3，…，an，則數(shù)列{an}是首項a1＝2，公差d＝2的等差數(shù)列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15. 二、填空題 6．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，點(an－1，an)(n>1且n∈N)滿足y＝2x－1，則a1＋a2＋…＋a10＝________. 解析：an＝2an－1－1?an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比數(shù)列，則an＝2n－1＋1. ∴a1＋a2＋…＋a10 ＝10＋(20＋21＋22＋…＋29

5、) ＝10＋＝1033. 答案：1033 7．(2020·高考浙江卷)在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列， 那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________． 解析：由題中數(shù)表知：第n行中的項分別為n,2n,3n，…，組成一等差數(shù)列，所以第n行第n＋1列的數(shù)是：n2＋n. 答案：n2＋n 8．兩個相距234厘米的物體相向運動，甲第一秒經(jīng)過3厘米，以后每秒比前一秒多行4厘米．乙第一秒經(jīng)過2厘米，以后每秒行的路程是前一秒的倍，則經(jīng)過________秒兩物體相遇． 解析：第n秒甲、乙兩物體各行an、bn厘米， an＝4n－1，bn＝2·()n－1(n∈N*)．

6、 {an}的前n項和Sn＝2n2＋n， {bn}的前n項和為Tn＝4·()n－4. 由題意知：234＝Sn＋Tn?n＝8. 答案：8 三、解答題 9．(2020·高考廣東卷)設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明：對于一切正整數(shù)n，an≤＋1. 解：(1)∵an＝(n≥2)， ∴＝， ∴＝＝＋. 令cn＝， ∴cn＝＋cn－1(n≥2)，c1＝. ①當b＝2時，cn＝＋cn－1，即cn－cn－1＝. ∴數(shù)列{cn}是以c1＝＝為首項，為公差的等差數(shù)列． ∴cn＝＋(n－1)×＝. 又∵cn＝， ∴＝

7、，即an＝2. ∴當b＝2時，an＝2. ②當b＞0且b≠2時，由cn＝cn－1＋(n≥2)得 cn＋＝cn－1＋＋， ∴cn＋＝cn－1＋， 即cn＋＝(n≥2)． ∵c1＋＝＋＝≠0， ∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列． ∴cn＋＝·n－1＝n. ∴cn＝n－＝－＝. 又∵cn＝， ∴an＝. 即當b＞0且b≠2時，an＝. 綜上所述，an＝ (2)證明：當b＝2時，an＝2，此時an≤＋1顯然成立． 當b＞0且b≠2時，an≤＋1?≤＋1?≤＋ ?≤＋?≤＋ ?n≤(＋)(2n－1＋2n－2b＋…＋2bn－2＋bn－1)． 令A＝(2n－1＋2n－2b＋

8、…＋2bn－2＋bn－1) ＝＋＋…＋＋＋＋…＋＋， 則A＝＋＋…＋≥1＋1＋…＋1＝n，即A≥n得證． 即當b＞0且b≠2時，an≤＋1對于一切正整數(shù)n成立． 綜上所述，an≤＋1對于一切正整數(shù)n成立． 10．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝6，a5＝18，數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，且Tn＋bn＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (3)記cn＝an·bn，求證：cn＋1≤cn. 解：(1)由已知 解得a1＝2，d＝4， ∴an＝2＋(n－1)×4＝4n－2. (2)證明：由于Tn＝1－bn，① 令n＝1，得b1＝1－b

9、1，解得b1＝. 當n≥2時，Tn－1＝1－bn－1，② ①－②得bn＝bn－1－bn， ∴bn＝bn－1.又b1＝≠0，∴＝， ∴數(shù)列{bn}是以為首項，為公比的等比數(shù)列． (3)證明：由(2)可得bn＝. cn＝an·bn＝(4n－2)＝， cn＋1－cn＝－＝. ∵n≥1，故cn＋1－cn≤0，∴cn＋1≤cn. 11．(探究選做)某商店投入38萬元經(jīng)銷某種紀念品，經(jīng)銷時間共60天，為了獲得更多的利潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中，市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤an＝(單元：萬元，n∈N*)，記第n天的利潤率bn＝，例如b3＝. (1)求

10、b1，b2的值； (2)求第n天的利潤率bn； (3)該商店在經(jīng)銷此紀念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率． 解：(1)當n＝1時，b1＝； 當n＝2時，b2＝. (2)當1≤n≤25時， a1＝a2＝…＝an－1＝an＝1. ∴bn＝＝＝. 當26≤n≤60時， bn＝ ＝＝， ∴第n天的利潤率bn＝(n∈N*)． (3)當1≤n≤25時， bn＝是遞減數(shù)列，此時bn的最大值為b1＝； 當26≤n≤60時， bn＝＝≤＝(當且僅當n＝，即n＝50時，“＝”成立)． 又∵>，∴n＝1時，(bn)max＝. ∴該商店經(jīng)銷此紀念品期間，第1天的利潤率最大，且該天的利潤率為.